寻路者:阿拉伯科学的黄金时代

第七章 数字 从现在起，我将绝口不提印度人的科学成就，不提他们在天文学方面的精细发现——这甚至比希腊人和巴比伦人的天文学成就更具独创性，也不提他们那无法用语言形容的、熟练的计算方法。这些印度人并不是叙利亚人。我只想说，这种计算用9个符号就能完成。 ——塞维鲁斯·塞伯赫特（Severus Sebokht），叙利亚主教 电影中经常会出现囚犯用“五杆门”（ five-bar gate）计数法，在牢房的墙上刻出道道痕迹，以标记在狱中挨过的每一天的桥段。“五杆门”计数法用不断重复的记号来记录不断更新的数字。它和其他形式的计数符号一样，都是我们*古老的计算方式，可追溯至成千上万年前。旧石器时代晚期（前4万—前1万年）的穴居人就首次把动物骨骼作为计算时的计数棒。现存*早的例子可能是距今3.5万年、明确标记有29个凹痕的列彭波骨（Lebombo bone），这些狒狒的小块肋骨发现于斯威士兰（Swaziland）列彭波山上的边界山洞（Border Cave）里。 即便在灵敏的数字系统发明之前，人们也有使用刻痕计数的需求——比如，牧人需要记录羊群的数量。每只外出吃草的羊穿过大门时，牧人就会在木棍上刻下一道凹痕。到黄昏时分羊群归来时，他就会根据木棍上的刻痕检查羊的数量，每进来一只羊就把手指移至下一处刻痕。他用这种方式可以知道是否有羊丢失，而不必知道他的羊群中有多少只羊。计数棒在当时的用途就像今天计算对牧人的用途一样，它能像数字一样在人际间口口相传，也可以通过书写流传下去。 简单改进一下原始计数棒，就能显著扩大其适用范围。人们所需的只是另外一根计数棒，这可不只是倍增了我们可资利用的凹槽数量那么简单。其工作原理如下：其中一根棒子为标准棒（the standard），上面已刻有很多凹痕，比如20道，而另外一根为未刻痕的计数棒（tally stick），上面画了一条分割线，将计数棒区分为上半截和下半截。牧人在标准棒上顺着凹槽移动手指数羊。他的手指很快就移动至标准棒的底部了，于是，他就在计数棒的下半截划上一道凹痕，以表示数完了1个单位的20。然后，牧人又重新在标准棒上计数。每当手指摩挲至第20个凹痕后，他就在计数棒的下半截刻上一道。当标准棒记录下*后一只羊后，牧人便在计数棒的上半截刻下*后得出的不足20只羊的凹痕数。现在，如果计数棒下半截上有4道凹痕，上半截有7道，则计得的数值为4×20＋7＝87。不过，他当然不必知道这个实际总数是多少，只要他能够在羊群返回时，在两根棍子上做好标记，逆向推进这个过程即可。 当然，标准棒上的凹痕数量是十分任意的，设定其为20也没什么特别的优势。尽管如此，在计数棒上刻痕，设定单位数为20来数羊，本身就是古英语中“刻痕”（score）一词的起源。在《圣经》中，数字70写作“60和10”，表示60的语词“threescore”可追溯至14世纪时期——在约翰·威克里夫（John Wyclif）翻译的《圣经》里有这么一句：Thre scoor and sixe daies（66天）。这是**本从拉丁文翻译为英语的《圣经》。 这种以20为基数的计数系统又称二十进制计数法。现代法国的编号方式仍然部分地采用了二十进制：20（vingt）便被用作从60—99之间数字的基本单位。法语中的80就是quatre-vingts，其字面意思为“4个20”，而soixante-quinze（字面意思为“60又15”）则表示75。此项惯例在法国大革命之后引入，目的是统一当时法国各地的多种计数系统。 其他计数系统的基数各有不同。基数为12的十二进制系统则是*早出现的计数系统之一。它被付诸使用可能是因为一年大约会出现12次月相周期（阴历月），也可能因为数字12的倍数和因数都方便求得：12=2×2×3=3×4=2×6, 60=12×5，360=12×30，依此类推。十二进制计数法在欧洲广为使用，“一打”（dozen）一词就来自古法语词douzaine，意为“12个一组”。计数单位“罗”（gross）源自拉丁词汇表示“庞大的”grossus，gross常用来表示数字144，意为“一大打”或者“12打”。 *终，人类手上的10个数字提供了十分便于理解和使用的计数标准，进而十进制系统被普遍采用。 毕达哥拉斯（约前580—前500年）当之无愧是历史上**位伟大的数学家，尽管以他的名字命名的思想流派发展壮大的过程更像是一场宗教运动而非数学运动，但该流派还是取得了丰硕的成果。在毕达哥拉斯哲学的基础观念里，数字与宇宙的实质紧密相连；他把数字视为抽象存在，也视为构成物质的基石。然而，我们应指出，他的生活笼罩着神秘的面纱，一些历史学家甚至认为历史上并无此人。 甚至在早于毕达哥拉斯的公元前18世纪，古巴比伦人就使用了“六十进制”计数法，与每10个单位进一位的十进制不同，它是每60个单位向更高的单位进一位。因此，我们正是从古巴比伦人那里继承了1小时为60分钟，1分钟为60秒的计时方式。同样，将角度分为弧度、弧分和弧秒都基于六十进制。古巴比伦人的数字符号*高到59，超过这一数值，下一个单位就又从1开始计数。因此，若用六十进制计数法表示我们现在的数字，我们可在单位之间用逗号隔开。于是，数字61便写作（1，1）。同样，数字123写作（2，3），因为它的构成方式为60×2+3。由此可得，数字4321写作（1，12，1），因为4321=3600×1+60×12+1，以此类推。这种六十进制计数法也用于表示分数，分号可用来隔开整数与分数。因此，虽然（1，30）表示数字90（1×60+30），但（1；30）则表示数字1.5，因为30/60与1/2等值。类似的，（2；45）表示2.75，因为45/60与3/4等值。 古巴比伦时期的一小块泥板（现存于美国耶鲁大学）很好地表示了数字2平方根的近似值。其写作形式为包含分号的六十进制（1；24，51，10）。我们可用完整分数的形式写出这个数字，并将所有分数加总起来： 并且，鉴于的精确值是1.414213……，可以看出，上述数值与精确值十分近似。不过，数值近似本身并不能真正令人印象深刻。十分谨慎保守的古代科学史学者奥托·诺伊格鲍尔（Otto Neugebauer）捍卫着古巴比伦科学的价值，根据他的说法，藏于耶鲁大学的小泥板和许多其他已知的古巴比伦泥板都证明古巴比伦人通晓“毕达哥拉斯定理”：他们已经知道从正方形的边长确定其对角线的长度这一方法——这比毕达哥拉斯还要早1000年！因此，边长为1个单位的正方形的对角线长度恰好为两个边长平方之和的平方根。而在直角三角形中，此对角线则构成其斜边： 古代印度数学家也熟知解出平方根的技巧，我们可从一本1881年在巴赫沙利村（今巴基斯坦境内）附近发现的、写在桦树皮上的《巴赫沙利手稿》（Bakhshali Manuscript）中看到这方面的记载。该手稿的成书时间可追溯至公元前2世纪到公元3世纪之间，其中包含了各种数学问题的解法，比如求解平方根的技巧等。 同样，《周髀算经》是一本古代中国数学文献，成书年代可追溯至周朝（前1046—前256年）。该书收集了246个未命名的数学问题，每一个都附有详细的解答步骤和答案，其中包含了对毕达哥拉斯定理的证明，这是世界上关于该定理证明的*早记载之一，周公曾为该证明配图（见上页图），这是展示以三角形斜边为边长的正方形面积等于另两边平方之和的*直观的方法之一。 另外一个数学造诣超过古希腊人的例子则由古巴比伦人和古埃及人共享殊荣，即确定π值（圆的周长与直径之间的恒定比率）。π值是一个“无理数”，它无法刚好写成两个整数之比，这在早先是一个仅有古希腊数学家才完全理解的概念。因此，用十进制计数法表示的精确π值是一连串无限的数字。我们受古希腊人对数学做过较大贡献的观念影响颇深，以至于许多人认为是古希腊人首次发现了这个常数的存在。这主要是由于我们普遍使用古希腊字母π表示这个常数。它有时候也称“阿基米德常数”，这是为了纪念这位用几何方法首次对其进行严格估算的古希腊科学家。然而，其他民族在古希腊人登上历史舞台之前便知道了这个常数。古代科学家解出这个常数的方法十分有趣。根据十分粗糙的估算，π的值为3，即任何圆形的周长均为其直径长度的3倍。这个数值已足够应付诸多场合了，但巴比伦人和埃及人还需做得更好。 古人并未给这个常数命名，甚至不承认它是个实际存在的数学量，而是把它编入估测圆形面积的数学规则中。我们在学校学习的圆面积计算法则πr2就表达了这层含义，就像我们学习圆周长等于2πr一样。古巴比伦人经常写道，圆面积为周长平方的1/12。这听起来可能相当奇怪，但通过一些不太复杂的代数运算，我们可以看到他们用于计算的π值恰好为3。一块成于公元前2000年早期的泥板表明，当时的人使用了更为精确的π值3??或3.125，这比精确值3.1415……略小。 古埃及人使用了不同的公式表示圆的面积为半径8/9长度的平方。我们对这个公式稍做调整之后可以看出，他们使用的π值为3.16，尽管这一取值稍大，但仍好过3这个粗略值。 古巴比伦人，尤其是汉谟拉比王朝时期（约前1780年）的古巴比伦人在数学领域取得了重大进步，成千上万块楔形文字泥板有力地证明了这一点。例如，他们的乘法表是如此独特，以至于2000年后托勒密的同类表格都无法望其项背。当然，我们也不应夸大古巴比伦人的数学能力和成就；尽管比古埃及人取得了更高的造诣，但他们仍不可避免地被古希腊人，特别是毕达哥拉斯、阿基米德和欧几里得等天才人物超越。然而，我们也应该指出，托勒密在其《天文学大成》里用到了巴比伦的六十进制计数法，尽管仅用于写作分数。直到伊斯兰时代，所有天文学著作里的整数总是写成与罗马数字极其相似的字母。 仿照古希腊和希伯来传统的阿拉伯符号法可追溯至伊斯兰世界早期。这套符号称为辅音音素系统（abjad system），因为数字系统中的前4位（1，2，3，4）分别由字母表中的前4个字母表示：alif(a)，bā (b)，jīm(j)和dāl(d)。例如，托勒密会将数字365写作τξε，而伊斯兰数学家则会将其写作。他们都用3个字母代表数字300、60和5。需要注意的是，这与我们如今使用的十进制符号有较大不同，十进制计数法由9个符号加上0组成，可用于表示任何数字。相反，在辅音音素系统中，数字3、30和300都要用不同的字母表示。 穆斯林数学家甚至在继承了古印度的十进制计数法之后，仍继续使用经过改进的古巴比伦六十进制算术，在天文计算中尤其如此，以至于这种算术又称“天文学家的算术”。 我们今天使用的数字符号的原型都来自古印度。公元前3世纪阿育王时期的铭文、前2世纪的纳纳加特（Nana Ghat）铭文，以及公元1—2世纪的纳西克洞穴（Nasik Caves）均刻有这些数字符号，它们全都与今天使用的数字符号十分相似。例如，数字2和3被公认为古代符号=和≡的草书派生形式。然而，这些古印度早期的铭文都不包含任何位值（place value）和零的概念，而正是零让现代位值计数法得以实现。古印度文献有证据表明，数字零可能出现得更早一些，但是任何现存的包含零所对应符号在内的铭文时间都不早于9世纪。 位值计数法是个数字系统，其中每个位置与紧邻位置的关系都是基数的恒定倍数。我们的十进制系统的基数自然为10，这套系统的发展可归于两位伟大的中世纪印度数学家，**位是提出位值观念的阿耶波多（??ryabhata，476—550年），第二位则是一个世纪之后的婆罗门笈多。*近有人在作品里指出，已知*古老的包含位值系统的文献是成书于458年的耆那教宇宙志《罗克维巴伽》（Lokavibhaga）。到670年前后，位值系统已传入今叙利亚北部，当地一位名叫塞维鲁斯·塞伯赫特的主教称赞发明这个系统的印度人比希腊杰出人物更独具慧眼，更具发明精神，他还提到了“9个符号”，但似乎他还不知道零这种观念。 人们目前并不清楚阿拔斯王朝的巴格达学者是何时得知印度数字的。也许，早在婆罗门笈多《悉檀多》（直接译自梵语，或转译自波斯语）首次翻译为阿拉伯文的曼苏尔时期，学者们就已对印度数字有所了解。两位*著名的巴格达学者——哲学家肯迪和数学家花剌子米在把印度数字引入伊斯兰世界期间自然发挥了关键作用。他们都在马蒙统治时期撰写了该主题的作品，而且也正是他们的作品后来被译为拉丁文而传入了西方世界，欧洲人因此得以了解十进制。中世纪的欧洲人还只当这些是阿拉伯数字呢。然而，直到若干世纪后，欧洲人才广泛接受了这一数字系统，其中一个社会原因是人们认为十进制是穆斯林的象征。 欧洲人接受十进制较为滞后还有一个更为重要的实际原因：罗马数字已足够应付日常生活的多数事务。只有在文艺复兴时期人们对科学产生兴趣之后，才理解了数学的重要性，也才意识到数字是数学的核心，因此也是现代科学的基石。 印度–阿拉伯数字系统*终由伟大的数学家、比萨的列奥纳多（Leonardo of Pisa，即斐波那契，1170—1250年）在欧洲普及开来，他曾在地中海世界四处游学，师从当时**的阿拉伯数学家。旅行归来2年后的1200年，时年32岁的斐波那契就用自己所学的知识写成了《计算之书》（Liber Abaci）。然而，历史学家乔治·萨顿指出：“一个例子就足以说明印度数字整体上在西方的普及程度之缓慢。直到18世纪，法国审计法院（Cour des Comptes of France）仍在使用罗马数字。” 考虑到罗马数字在进行乘法等运算时较为不便，人们可能认为印度–阿拉伯十进制系统会在欧洲受到热烈而真挚的欢迎。但这个计数系统真正重要之处并不在于表示9个数字的符号本身，甚至也不在于9个数字（外加0）。毕竟，罗马数字仅需要7个字母就能表示1000以内的任意整数。关键之点在于位值系统本身：印度–阿拉伯符号可定义大至无限的任意数字，它的运算效率远超罗马数字。我们以123乘以11为例。多数人可在纸上轻松地计算出结果，而如果善于此道，你甚至能心算得出答案。正确答案是1353。你也可以试试用罗马数字进行同样的乘法运算。你必须用CXXIII（123）乘以XI（11），得到MCCCLIII（1353）。这么做总是显得有点累赘。古埃及人可能是在偶然间*早发现了这种计算技巧，随着熟练运用，将算法提炼了出来。 让我们再回顾一下**批继承了印度十进制计数系统的巴格达数学家。花剌子米在825年左右写作了算术方面的伟大著作《印度算术中的加减法》（The Book of Addition and Subtraction According to the Hindu Calculation），该书阿拉伯文原版已不复存在，这个标题也只是猜测。这本书可能是**本翻译为拉丁文的有关十进制的书籍，拉丁版译名为《花剌子米的印度算术》（Liber Algorismi de Numero Indorum），开篇就道“花剌子米说”（Dixit algorismi）。接着，书里描述了各种计算指令的演算步骤，“算法”一词也源自本书，该词得自花剌子米的拉丁化名字。然而，他的这本著作和其他早期作品的译本在欧洲被当作危险的萨拉森魔法（Saracen magic），遭到了诸多反对。 伊斯兰世界也十分不愿意改弦更张。尽管肯迪和花剌子米已引进了印度十进制，但阿拉伯数学家却更乐于继续使用他们*熟知的方法：要么坚持巴比伦六十进制计数法，要么固守用字母指示数字的希腊、罗马传统。11这在天文历表中十分常见，天文学家以这种方式延续着他们从托勒密《天文学大成》等文献中习得的传统。花剌子米之后500年，十进制计数法仍被束之高阁，巴比伦的六十进制系统则继续广泛使用。我们以博学之人比鲁尼在1025年写成的地理学专著《城市坐标的确定》为例稍加说明。在该书中，比鲁尼十分严谨地推导着数学公式，并辅以适用的例子，比如展示如何确定比鲁尼生活的城市——阿富汗中部的加兹尼（Ghazna）的坐标，即根据巴格达和麦加的坐标来确定。纬度测定对比鲁尼这样的天才而言没有任何困难，并且他根据原始的转换技巧把所有六十进制整数转化为十进制整数进行计算。在当时计算经度难度更大，所有步骤都直接按照巴比伦的六十进制完成。 使用六十进制的传统和惯例持续了数百年之久。出版于中世纪的阿拉伯文数学、天文学和地理学图表几乎不包含任何十进制数字。到14世纪，阿拉伯地理学家阿布·菲达（Abū al-Fidā，1273—1331年）汇编的经纬度表格还在使用六十进制。因此，人们几乎无法批评欧洲人在如此长的时间里一直拒绝使用印度–阿拉伯数字，因为伊斯兰世界也一样。 很多科学观念的起源都笼罩着厚厚的历史迷雾，而在阿拉伯科学的语境下，这些观念上的困惑则包括从“他们不过传递了希腊和印度的知识”到“我们所知的一切都来自他们”等，不一而足，而*不确定也*迷人的一直都是数字0的起源问题。 争论的缘起与支撑某个论点的证据存有矛盾并没有多少联系，也与论点缺乏证据没有太大关系，争论的根源在于“谁*早发现了零？”。这个问题可能意味着不同的事情，问题的含义不同，答案自然也不同。因此，让我先把问题讲清楚： 问题到底是：人们在何时首次使用符号或标记来表示数字中的空白占位符？ 或者，更具体地说：我们目前的十进制计数系统使用的这种空白占位符（比如用来表示数字11和101的区别）是何时出现的？ 占位符是否意味着人们首次认可了零作为表示无物存在（空或虚无）的哲学观念？ 或者，它是否意味着人们首次把零当作一个真正的数字，与其他任意数字具有同等地位，位于正数和负数的边界处？ 很明显，理解零这个概念的难度有所不同。我们并非在寻找一位早晨醒来突发奇想的数学家：“我知道我们的数字系统缺少什么了，那就是会让算术变得更加通用和有用的数字：零。” 零的*粗浅定义是对一个数字内的进位制的定义。公元前2000年早期的古巴比伦人需要区别六十进制表格中的数字。他们从一开始就充分觉察到了使用的数字含义具有模糊性。以数字（1，20）为例。它可能指的是如下任何一组数字： （甲） （1,20）,它表示 60×1+20=80 （乙） （1,0,20）,它表示 3600×1+60×0+20=3620 （丙）（1,20,0）,它表示 3600×1+60×20+0=4800 如果人们并未把零放置在单元框的合适位置，我们何以知道其中的数字到底是多少？古巴比伦人用两种方式解决了这个问题。1和10的楔形符号分别是 和，因此，数字20写作，数字80或（1，20）写作。但为了与数字3620或（1，0，20）进行区分，他们会直接在符号间留出足够的空隙表示零或空位： 。当然，这仍未解决如何写作数字4800（1，20，0）的问题。他们的解决办法就是像写作（1，20）时一样直接写出，并根据该数字书写的上下文，解释清楚该符号表示4800而非意指80。 很久以后，塞琉古巴比伦人以亚历山大大帝继承人的身份统治了美索不达米亚，他们发明了一个可取代古巴比伦人使用的这种模棱两可的“空隙”的符号。因此，在公元前300年的众多巴比伦楔形文字泥板上发现了已知的*早表示零的符号（）。然而，它仅用于分隔其他数字符号，这就像我们如今用零来区分25、205、2005一样。奇怪的是，塞琉古人与早先的巴比伦人一样，从不把这个分隔符置于数字末尾，而是将其放在其他数字符号之间。 人们自然可以争论，首次使用表示零的符号究竟在何种程度上标志着数字零的真正发明。有趣的是，与十进制系统相比，六十进制很少需要用表示零的符号占据空位。在六十进制系统中，小于60的整数压根儿不会用到表示零的符号，小于3600的整数也仅用到59次（相比而言，十进制中则会用到917次）。因此，它对巴比伦人而言并非急需之物。 而在世界另一侧的中美洲，稍晚于巴比伦人的玛雅人则用很少的符号（一个点代表数字1，一条线代表数字5）发明出了自己的二十进制（基数为20）数字系统。他们的点线组合可达19种，之后就往下一个单位进一。而且他们和巴比伦人一样，都使用一个表示零的符号作为占位符。此类记录的*早例子出现于公元前36年。 受到古巴比伦天文学及相关的六十进制系统强烈影响的古希腊人，则用他们自己的字母表示整数，并用六十进制符号表示分数。为此，他们也需要一个表示零的符号，古希腊字母中第十五位omicron（类似于英语字母中的o）充当了此任。但在上述3种情况（古巴比伦人、玛雅人和古希腊人）中，表示零的符号都不是一个数字，甚至都未曾作为一个独立的概念出现。然而，在面对“谁首先发明了表示零的符号？”这种问题时，回答古巴比伦人就对了。 那么，零作为表示空无（nothingness）概念的情况又当如何？当然，哲学上谈到的“虚空”概念在某种程度上可等同于数学概念中的零。如果的确如此，那就是古希腊人先人一步。杰出的数学史家卡尔·博伊尔（Carl Boyer）曾主张说，亚里士多德在公元前400年时就把零作为数学概念用于思考和写作了。14亚里士多德在《物理学》（Physica）中从直线上的点的角度谈到数学上表示零的概念。亚里士多德还提到，由于物体的速度与其所在介质的阻力（或密度）呈反比，因而零无法作为被除数。如此，物体在真空（或虚空）中的速度会因为没有阻力而达到无限。亚里士多德声称，这证明了虚空不可能存在。因此，大约在同一时期，我们看到古巴比伦人发明了表示零的符号，而古希腊人首先描述了零的概念。 我们现在来讨论把零当作独立的数字本身这个更为复杂的问题，古希腊人和古巴比伦人的观念必然因此而产生关联。许多历史学家认为，零作为数字出现是比较晚近的情况，就连花剌子米列出的方程式中的代数量也不含有零。相反，他总会让等式两边的数量保持在非零状态。举一个符号表征更明确的例子，他绝不会建立x2+3x??10=0，而会建立x2+3x=10这种等式。x在这两种情况下的取值都是2，这两个等式之间不足道的区别只在于（根据花剌子米自己定义的规则）重新调整了数字10的位置。但前一个等式对他而言还相当陌生，因为“零”在当时尚不具备与其他数字同等的地位。