工程数学复变函数 矢量分析与场论 数学物理方法

第1篇 复变函数
第1章 复变函数及其导数与积分
1．1 引言
1．2 复数与复变函数
1．2．1 复数
1．2．2 复平面
1．2．3 复数加法的几何表示
1．2．4 复平面上的点集
1．2．5 复变函数
1．3 复变函数的极限与连续
1．4 复球面与无穷远点
1．5 解析函数
1．5．1 复变函数的导数与微分
1．5．2 解析函数的概念及其简单性质
1．5．3 柯西黎曼条件
1．6 复变函数的积分
1．6．1 复变函数积分的概念与计算
1．6．2 复变函数积分的简单性质
1．6．3 柯西积分定理及其推广
1．6．4 柯西积分公式及其推论
习题
第2章 复变函数的幂级数
2．1 复数序列和复数项级数
2．1．1 复数序列及其收敛性
2．1．2 复数项级数及其收敛性
2．1．3 复数项级数的绝对收敛性
2．2 复变函数项级数和复变函数序列
2．3 幂级数
2．4 幂级数和函数的解析性
2．5 解析函数的泰勒展开式
2．6 解析函数零点的孤立性及唯一性定理
2．7 解析函数的洛朗级数展开式
2．7．1 洛朗级数
2．7．2 解析函数的洛朗展开式
2．7．3 洛朗级数与泰勒级数的关系
2．7．4 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展开式
2．8 解析函数的孤立奇点及其分类
2．8．1 可去奇点
2．8．2 极点
2．8．3 本性奇点
2．8．4 复变函数在无穷远点的性态
习题
第3章 留数及其应用
3．1 留数与留数定理
3．2 留数的计算
3．2．1 一级极点的情形
3．2．2 高级极点的情形
3．3 无穷远点处的留数
3．4 留数在定积分计算中的应用
3．4．1 形如∫2π0R（cosθ，sinθ）dθ的积分
3．4．2 形如∫+∞-∞R(x）dx的积分
3．4．3 形如∫+∞-∞P(x）Q(x）eimxdx的积分
3．5 复变函数在物理中的应用简介
3．5．1 解析函数的物理解释
3．5．2 两种特殊区域上解析函数的实部和虚部的关系泊松积分公式
习题

第2篇 矢量分析与场论
第4章 矢量分析与场论初步
4．1 矢量函数及其导数与积分
4．1．1 场与矢量函数
4．1．2 矢量函数的极限与连续性
4．1．3 矢量函数的导数
4．1．4 矢量函数的积分
4．2 梯度、散度与旋度在正交曲线坐标系中的表达式
4．2．1 直角坐标系下“三度”及哈密顿算子
4．2．2 正交曲线坐标系下的“三度”
4．3 正交曲线坐标系下的拉普拉斯算符、格林**公式和格林第二公式
4．4 算子方程
习题

第3篇 数学物理方法
第5章 数学物理方程及其定解条件
5．1 数学物理基本方程的建立
5．1．1 波动方程
5．1．2 热传导方程和扩散方程
5．1．3 泊松方程和拉普拉斯方程
5．1．4 亥姆霍兹方程
5．2 定解条件
5．2．1 初始条件
5．2．2 边界条件
5．3 定解问题的提法
5．4 二阶线性偏微分方程的分类与化简解的叠加原理
5．4．1 含有两个自变量二阶线性偏微分方程的分类与化简
5．4．2 线性偏微分方程的叠加原理
习题
第6章 分离变量法
6．1 (1+1）维齐次方程的分离变量法
6．1．1 有界弦的自由振动
6．1．2 有限长杆上的热传导
6．2 二维拉普拉斯方程的定解问题
6．3 非齐次方程的解法
6．4 非齐次边界条件的处理
习题
第7章 二阶常微分方程的级数解法本征值问题
7．1 二阶常微分方程的级数解法
7．1．1 常点邻域内的级数解法
7．1．2 勒让德方程的级数解
7．1．3 正则奇点和非正则奇点附近的级数解
7．1．4 贝塞尔方程的级数解
7．2 施图姆刘维尔本征值问题
7．2．1 施图姆刘维尔方程
7．2．2 本征值问题的一般提法
7．2．3 本征值问题的一般性质
习题
第8章 贝塞尔函数及其应用
8．1 贝塞尔方程的引入
8．2 贝塞尔函数的性质
8．2．1 贝塞尔函数的基本形态及本征值问题
8．2．2 贝塞尔函数的递推公式
8．2．3 贝塞尔函数的正交性和模方
8．2．4 按贝塞尔函数的广义傅里叶级数展开
8．3 贝塞尔函数在定解问题中的应用
8．4 修正贝塞尔函数
8．4．1 **类修正贝塞尔函数
8．4．2 第二类修正贝塞尔函数
8．5 可化为贝塞尔方程的方程
8．5．1 开尔文方程
8．5．2 其他例子
8．5．3 含贝塞尔函数的积分
习题
第9章 勒让德多项式及其应用
9．1 勒让德方程与勒让德多项式的引入
9．2 勒让德多项式的性质
9．2．1 勒让德多项式的微分表示
9．2．2 勒让德多项式的积分表示
9．2．3 勒让德多项式的母函数
9．2．4 勒让德多项式的递推公式
9．2．5 勒让德多项式的正交归一性
9．2．6 按Pn(x）的广义傅里叶级数展开
9．2．7 一个重要公式
9．3 勒让德多项式的应用
9．4 关联勒让德多项式
9．4．1 关联勒让德函数的微分表示
9．4．2 关联勒让德函数的积分表示
9．4．3 关联勒让德函数的正交性与模方
9．4．4 按Pml(x）的广义级数展开
9．4．5 关联勒让德函数的递推公式
9．5 其他特殊函数方程简介
9．5．1 埃尔米特多项式
9．5．2 拉盖尔多项式
习题
第10章 行波法与积分变换法
10．1 一维波动方程的达朗贝尔公式
10．2 三维波动方程的泊松公式
10．2．1 三维波动方程的球对称解
10．2．2 三维波动方程的泊松公式
10．2．3 泊松公式的物理意义
10．3 傅里叶积分变换法求解定解问题
10．3．1 预备知识——傅里叶变换及性质
10．3．2 傅里叶变换法
10．4 拉普拉斯变换法求解定解问题
10．4．1 拉普拉斯变换及其性质
10．4．2 拉普拉斯变换法
习题
第11章 格林函数法
11．1 引言
11．2 δ函数的定义与性质
11．2．1 δ函数的定义
11．2．2 广义函数的导数
11．2．3 δ函数的傅里叶变换
11．2．4 高维δ函数
11．3 泊松方程的边值问题
11．3．1 格林公式
11．3．2 解的积分形式——格林函数法
11．3．3 格林函数关于源点和场点是对称的
11．4 格林函数的一般求法
11．4．1 无界区域的格林函数
11．4．2 用本征函数展开法求边值问题的格林函数
11．5 用电像法求某些特殊区域的狄利克雷格林函数
11．5．1 泊松方程的狄利克雷格林函数及其物理意义
11．5．2 用电像法求格林函数
习题
附录A 常微分方程简介
附录B Γ函数的定义和基本性质
附录C 通过计算留数求拉普拉斯变换的反演
附录D 傅里叶变换和拉普拉斯变换简表