工程数学(第三版)

第1章 行列式 在生产实践和科学研究中，许多变量之间的关系可以直接地或近似地表示为线性函数及线性函数的集合，这是一个复杂的数学对象.在线性代数中，线性方程组的理论是其重要的组成部分，而研究线性方程组需要行列式这一重要工具.本章的主要内容从二阶、三阶行列式出发，重点介绍n阶行列式的定义、性质及其计算方法. 1.1 线性方程组与行列式 二阶、三阶行列式与二元、三元线性方程组的公式解是中学代数里学习过的内容，本节引述它的目的是介绍行列式的来源，同时也是为引进n阶行列式的概念提供直观背景. 设 二元线性方程组 (1.1.1) 用乘式(1.1.1)的**式，再减去乘式(1.1.1)的第二式，得 当时，有 同理，用a11乘式(1.1.1)的第二式，用a21乘式(1.1.1)的**式，然后相减，得 当时，有 故线性方程组(1.1.1)只要适合条件a11a22？a12a21≠0，则其解为 (1.1.2) 这就是一般的二元线性方程组(1.1.1)解的公式.式(1.1.2)不易记忆，应用时也不方便，因而引入新的符号(下面称为行列式)来表示式(1.1.2)，这就是行列式的起源. 令 (1.1.3) 称为二阶行列式(其实算出来就是一个数).它有两行、两列，其中:横写的称为行，竖写的称为列.行列式中的数aij称为行列式的元素.aij的**个附标i称为行标，表示它在第i行;第二个附标j称为列标，表示它在第j列.二阶行列式是这样两个项的代数和:一项是从左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上两个元素的乘积，带正号;另一项是从右上角到左下角的对角线(称为次对角线)上两个元素的乘积，带负号. 于是，利用二阶行列式，当式(1.1.3)即方程组(1.1.1)的系数行列式时，方程组(1.1.1)的**解式(1.1.2)可以写成 (1.1.4) 式中， 注意式(1.1.4)中两式的分母均为方程组(1.1.1)的系数行列式D，而分子D1，D2分别为方程组(1.1.1)右边常数列替代所求未知数的系数列所得的行列式，这样，方程组(1.1.1)的解的公式就整齐易记了. 对于三元线性方程组 (1.1.5) 类似地，采用从三个未知数中消去两个的方法求解，可以得到，当时，方程组(1.1.5)有**解 (1.1.6) 同前面一样，为了便于记忆，引进三阶行列式的概念，令 (1.1.7) 它的6个项以及所带的符号可以由一个很简单的规则来说明，这就是三阶行列式的对角线规则(又称为沙流氏规则):即(图1.1.1)实线上的位于不同行不同列的3个元素所组成的乘积前加正号，虚线上的位于不同行不同列的3个元素所组成的乘积前加负号. 图1.1.1 对角线法则示意图 于是，利用三阶行列式，当式(1.1.7)即方程组(1.1.5)的系数行列式时，方程组(1.1.5)的**解也能写成与式(1.1.4)相仿的简单形式 (1.1.8) 式中，Dj(j=1，2，3)是把D的第j列(xj的系数列)依次换成常数项列b1，b2，b3所得到的行列式. 注意:当二元线性方程组(1.1.1)与三元线性方程组(1.1.5)存在**解时(系数行列式不为零)，利用行列式，可把它们的解的表达式从形式上统一起来，而且明显地展示解与系数之间的关系.这里自然会问:对于n个方程的n元线性方程组，它的解是否也同样可以用行列式来表示，而且形式上与二元、三元的情况类似呢？答案是肯定的.这就首先需要将二阶、三阶的行列式概念推广到n阶. 1.2 n阶行列式 为了能给出n阶行列式的定义，要先引入排列及其逆序数的概念. 1.排列及其逆序数 由组成的有序数组称为一个n阶排列.例如，132是一个三阶排列，45312是一个五阶排列.事实上，这里所说的n阶排列就是我们所熟悉的由n个不同元素组成的全排列.可知，n阶排列共有n！个. 在n！个n阶排列中，是**的一个按自然数顺序排成的排列，称为标准排列.而在其他的排列中，总会出现较大的数排在较小的数前面的情形，为描述这种情形，下面引入逆序数的概念. 在一个排列中的两个数，如果排在前面的数大于排在后面的数，那么称它们构成了一个逆序.一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数. 例如，在排列231中，21，31都构成逆序，而23是顺序，所以排列231的逆序数为2.一般地，设为n个自然数的一个排列.考虑元素，若比pi大且排在pi前面的元素有ti个，就说pi这个元素的逆序数为ti.于是，全体元素的逆序数之和 就是这个排列的逆序数. 例1.2.1 求排列415362的逆序数. 解 在排列415362中， 4排在首位，其逆序数t1总为0; 1的前面比1大的数有一个(4)，故t2=1; 5的前面比5大的数有0个，故t3=0; 3的前面比3大的数有2个(4，5)，故t4=2; 6的前面比6大的数有0个，故t5=0; 2的前面比2大的数有4个(4，5，3，6)，故t6=4. 于是，这个排列的逆序数为 在这里，我们关心的是一个排列的逆序数的奇偶性.逆序数为奇数的排列，称为奇排列;逆序数为偶数的排列，称为偶排列.由此，排列231和排列是偶排列;而排列415362是奇排列. 例1.2.2 指出所有6个三阶排列中，哪些是偶排列？哪些是奇排列？ 解 排列123，231，312的逆序数分别为0，2，2，故均为偶排列;排列132，213，321的逆序数分别为1，1，3，故均为奇排列. 把一个排列中的某两个数的位置互换，而其余数的位置不变，就得到一个新的排列，这样的一个变换称为对换.如果互换位置的两个数是相邻的，那么称为相邻对换.对换将影响排列的奇偶性.例如，偶排列2431经2与3对换变成奇排列3421.我们可以得到下面一般性的结论. 定理1.2.1 一次对换改变排列的奇偶性. 证 先证相邻对换情形. 设排列，对换a与b，变成排列.显然，这些元素的逆序数经过对换后并不改变，可能改变的只有a，b两元素的逆序数:当a＜b时，经对换后a的逆序数增加1而b的逆序数不变;当a＞b时，经对换后a的逆序数不变而b的逆序数减少1.所以，排列经过一次相邻对换后，其逆序数将增加或减少1，奇偶性因此改变. 再证一般对换情形. 设排列，经a与b对换，变成排列.可以用相邻对换完成这个对换.排列，经元素b依次与前面相邻元素的m次相邻对换，变成排列，再经元素a依次与后面相邻元素的(m+1)次相邻对换，变成排列.可见，这个a与b的对换可以用(2m+1)次相邻对换替代，而奇数次相邻对换*终会改变排列的奇偶性.所以，经一次对换后，排列的奇偶性将改变. 推论1.2.1 奇数次对换改变排列的奇偶性，偶数次对换不改变排列的奇偶性. 推论1.2.2 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 2.n阶行列式的定义 有了上述关于排列的预备知识，就可以给出n阶行列式的定义.首先，研究二阶、三阶行列式的结构.三阶行列式的定义为 容易看出: (1)上式右边的每一项都是3个元素的乘积，这3个元素位于不同的行、不同的列.因此，上式右边的各项除正负号外，都可以写成，这里行标排成标准排列123;而列标排成p1p2p3，它是1，2，3的某个排列，这样的排列共有3!=6个，对应的上式右边共有6项. (2)各项的正负号与列标的奇偶性相对应.带正号的3项的列标排列为123，231，312，均为偶排列;带负号的3项的列标排列为132，213，321，均为奇排列.可见，当行标排成标准排列时，各项所带的正负号可由列标排列的奇偶性确定.