弯曲激波理论及其应用

第1章基本概念 在超声速流动中，虽然正激波和斜激波等直线激波理论已经非常完善，但是在高超声速内外流的设计工作中，人们遇到的激波往往是弯曲的。目前，对于弯曲激波仍然没有一个精确的理论解，且相关理论基础十分缺乏，弯曲激波的应用研究更是寥寥无几。因此，本书将重点针对弯曲激波进行介绍，包括弯曲激波的理论、方法和应用。在介绍弯曲激波之前，首先有必要介绍一些基本的数学概念与物理概念，本章内容主要为基本概念，包括基本数学概念、基本单位、热力学概念等。 1.1基本数学概念 1.1.1变量 y＝f（x）表示变量x和y之间存在函数关系，x是自变量，其值为在一个合适范围内取的任意值，y是因变量，一旦选择了x，其值便确定了。通常，一个变量将依赖多个其他变量，可以写为P＝f（x， y， z），确定了自变量x、 y、 z的值，因变量P的值便确定了。 1.1.2无穷小 在极限情况下*终允许趋近于零的量称为无穷小。对于任意的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ（或正数M）使得不等式0<|x－x0|M）对应的一切函数值x都满足不等式|f（x）－f（x0）|　　1.1.3导数 设函数y＝f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，x0＋Δx也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）；当Δx→0时，如果Δy与Δx之比的极限存在，则称函数y＝f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y＝f（x）在点x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0或dydxx＝x0，即f′（x0）＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx（1.1）需要指出的是f′（x0）＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x）－f（x－Δx）Δx（1.2）两者在数学上是等价的。 1.1.4偏导数 设有二元函数z＝f（x， y），点（x0， y0）是其定义域D内一点，把y固定在y0，而让x在x0有增量Δx，相应地函数z＝f（x， y）有增量（称为对x的偏增量）Δz＝f（x0＋Δx， y0）－f（x0， y0）。 x方向的偏导数： 当Δx→0时，如果Δz与Δx之比的极限存在，那么此极限值称为函数z＝f（x， y）在（x0， y0）处对x的偏导数，记作f′x（x0， y0）或函数z＝f（x， y）在（x0， y0）处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y0并看成常数后，一元函数z＝f（x， y0）在x0处的导数。 y方向的偏导数： 同样地，把x固定在x0，让y有增量Δy，如果极限存在，那么此极限称为函数z＝f（x， y）在（x0， y0）处对y的偏导数，记作f′y（x0， y0）。 1.1.5极大值与极小值 若函数y＝f（x）可导，则*大值和*小值可以表示为在这些点处dy/dx＝0。如果这个点是一个极大值点，那么d2y/dx2是负的；如果这个点是极小值点，那么d2y/dx2是正的。 1.1.6自然对数 自然对数是对数的一种，基本运算关系包括： （1.3a） （1.3b） （1.3c） 1.1.7泰勒级数 若函数关系y＝f（x）的表达方法未知，但y及其导数的值在特定点（如x1）是已知的，可能会发现其他任何时候（x2）的y值可以通过泰勒级数展开： （1.4） 要使用这种展开式，函数必须是连续的，并且在x1到x2的区间内具有连续的导数。应该注意的是，上面表达式中的所有导数都必须在x1点上求值［1，2］。 1.2物理量和单位 世界上大多数国家使用的是公制或国际单位制（SI）。本书将采用国际单位制进行物理量单位的标注，主要包含的物理量和单位见表1.1。 表1.1物理量和单位标注 1.2.1密度和比体积 密度是单位体积的质量，用符号ρ表示，单位是kg/m3。比体积是单位质量的体积，用符号vρ表示，单位是m3/kg。因此，ρ＝1/vρ。 1.2.2压强 压强是单位面积上的法向力，用符号p表示，单位是N/m2。还有其他一些单位，如兆帕斯卡（MPa，1×106N/m2）、bar（1×105N/m2）和大气压（0.101325MPa或14.69psi）。 绝对压力是相对于完全真空测量的，而表压是相对于周围（环境）压力测量的： Pabs＝Pamb＋Pgage（1.5） 当表压为负（绝对压力低于环境压力）时，通常称为真空度： Pabs＝Pamb－Pvac（1.6） 1.2.3温度 只有当涉及温度差异时，才可以安全地使用华氏度（或摄氏度）。然而，大多数方程要求使用兰金（或开尔文）热力学温度。 （1.7a） （1.7b） 1.2.4黏度 本书将讨论液体，它被定义为在承受切应力时会持续变形的任何物质。因此，变形量没有意义（就像固体一样），相反，变形速率是每个流体的特征，并由黏度表示： 黏度≡切应力/角变形速率。 黏度有时也称为绝对黏度，用符号η表示，单位为（N s）/m2。对于大多数常见的液体，因为黏度是流体的函数，所以它随流体状态的变化而变化。目前，温度对黏度的影响*大，所以大多数图表只显示温度这个变量。压力对气体的黏度有轻微的影响，其对液体的影响可以忽略不计。许多工程计算运动黏度来描述流体黏性，该运动黏度为（绝对）黏度和密度的组合，定义为ν＝η/ρ。 1.2.5状态方程 本书认为所有的液体都具有恒定的密度，所有的气体都遵循完全气体状态方程。从动力学理论出发可以导出忽略分子体积和分子间作用力的理想气体状态方程。在本书中通常使用的完全气体状态方程的形式为p＝ρRT，其中，p为绝对压强，单位为N/m2；ρ为密度，单位为kg/m3；T为热力学温度，单位为K；R为单个气体常数，单位为（N m）/（kg K）［3］。 1.3热力学概念 1.3.1一般定义 （1） 微观方法： 以统计为基础，研究单个分子及其运动和行为。它取决于人们在原子水平上对物质结构和行为的理解，因此这个观点被不断改进。 （2） 宏观方法： 通过可观察和可测量的性质（温度、压力等）直接处理分子的平均行为。这种经典的方法不涉及对物质分子结构的任何假设。 （3） 属性（性质）的类型： ① 可见的，容易测量（压力、温度、速度、质量等）；② 数学的，由其他属性的组合定义（密度、比热、焓等）；③ 导出的，通过分析得出的结果，如内能（由热力学**定律得出）和熵（由热力学第二定律得出）。 （4） 状态变化： 基于任何属性的变化而发生。 （5） 路径或过程： 表示一系列连续的状态，这些状态定义了从一个状态到另一个状态的唯一路径。 （6） 一些特殊的流程： 绝热的→无热传递；等温→T＝常数；等压→p＝常数；等熵→s＝常数。 （7） 循环： 系统恢复到初始状态的一系列过程。 （8） 点函数： 属性的另一种说法，它只依赖系统的状态，并且独立于获得状态的路径或过程。 （9） 路径函数： 不是系统状态函数的量，而是依赖从一种状态移动到另一种状态所采取的路径。热和功是路径函数，可以观察到它们在某个过程中跨越系统边界［4］。 1.3.2功、热量和热力学能 内部储存能（内能、热力学能）代表储存于系统内部的能量，用U表示。热力学能（或内能）由微观分子动能和分子位能组成，分子动能又分为移动动能、转动动能和振动动能。 外部储存能又称为机械能，由宏观动能和宏观位能组成，表示如下： （1.8） 系统的总能量＝内部储存能＋外部储存能，即 （1.9） 热力系统单位质量工质具有的总能量为 （1.10） 体积力做功W是系统体积膨胀或压缩时与外界交换的功量，对于可逆过程或准静态过程，有 （1.11） 一般规定系统膨胀对外界做功，则功为正；外界对系统做功，则功为负。 流动功Wf是系统维持物质流动所付出的代价，即Wf＝pv＝p/ρ（1.12）流动功与宏观流动有关，宏观流动停止，流动功不存在，在作用过程中，工质仅发生位置变化，无状态变化。流动功并非由工质本身的能量（动能、位能）变化引起的，而是由外界（泵与风机）引起的，可理解为，流动工质进出系统时所携带和传递的一种能量。 轴功ws是热力系统通过叶轮机械的轴和外界交换的功量，轴功不仅可以由叶轮机械的轴传入，也可以通过摆动等动作产生，可以理解为，轴功和非定常流动有关［5］。 1.3.3热力学**定律 热力学**定律是关于能量守恒的，可以用许多等价的方式来表示。热和功是能量传输的两种极端形式。如果系统经历的过程不是绝热过程，则在该过程中外界对系统所做的功W等于过程前后其内能的变化ΔU，两者之差就是系统从外界吸收的热量： （1.13） 当仅由两种系统之间的温度差而产生一种效应时，热量就从一个系统传递到另一个系统。热量总是从温度较高的系统传递到温度较低的系统。对于一个执行完整循环过程的封闭系统，有∑Q＝∑W（1.14）式中，Q为转移到系统的热量；W为系统对外界做的功。