物理学(第五版)

**章刚体力学及物体的弹性物理学 在中学物理中，我们所讨论的力学原理主要是对质点而言的，当然我们所研究的物体有它的大小与形态，但是只要这个物体的大小和形状与所讨论的问题无关紧要时，我们都可以用质点这个模型来表示这个物体。 但是，质点这个模型在很多问题中并不适用，如物体做转动时，物体上各个点的运动规律并不相同，物体上各个点的运动与物体的大小、形状都有关，这样就不能再把这个物体看做质点了，为了研究这类物体的运动，我们再引入另外一个理想模型——刚体。所谓刚体是指形状完全确定并且在外力作用下，它的形状及大小都不发生改变的物体。这是一个理想模型，因为真实的物体受到力的作用时，它的形状总是或多或少地发生改变，但是当物体的形变很小时，我们可以把它近似看成刚体。 **节刚体的转动 一、 刚体的平动与转动 1.刚体的平动 刚体在运动过程中，若刚体上任意两点的连线始终与初始位置平行，如图1-1中AC连线，则此刚体的运动就称为平动。 图1-1刚体的平动 由图1-1可知，当刚体做平动时，因各个点的运动情况与质心的运动情况完全一样，所以此时可以把这个刚体看成一个质点。关于质点的运动在中学物理学中已涉及，在此就不再赘述。因此，描述质点运动的物理量以及质点运动学的规律对刚体的平动都是适用的。 2.刚体的转动 若刚体内的各个点在运动过程中都围绕同一直线做圆周运动，这种运动就称为转动。这一直线称为转轴。若转轴是固定不动的，则刚体的转动就称为定轴转动。例如，电动机的转子绕其转轴的运动。 二、刚体定轴转动的描述 图1-2刚体的转动 1.角坐标、角位移 为了描述刚体的转动，取一垂直于转轴的平面作为转动平面，如图1-2所示，OO′为转轴，Ox轴是位于转动平面内的一条与OO′轴垂直的参考线。我们研究该转动平面上的一点P，从圆心O到P点的连线即P点的矢径r，它与Ox线的夹角θ就是角坐标，该参量可以描写刚体的位置。在转动过程中，角θ随时间变化，设在Δt时间内，P点移到P′的位置，P点的矢径扫过Δθ角，也就是刚体转过Δθ角，则Δθ称为刚体在Δt时间内的角位移。它是描述刚体转动程度的物理量，而且是一个矢量。角位移的单位是弧度。 2.角速度 描述刚体转动快慢的物理量是角速度，用ω表示。角位移的变化量Δθ与所经过的时间Δt的比值，称为这段时间的平均角速度，用表示，即 当时，平均角速度的极限值称为t时刻的瞬时角速度，简称角速度，用ω表示，即 (1-1) 角速度的单位为弧度/秒(rad/s)，角速度也是矢量。 图1-3螺旋法则角位移、角速度都是矢量，它们的方向常用右手螺旋定则表示，如图1-3所示。例如，角速度矢量的表示方法是：在转动轴上取一有向线段，当右手四指与大拇指相垂直时，让四个手指代表刚体转动的方向，这时大拇指所指的方向即代表角速度矢量的正方向，而所取的有向线段长度即可按一定比例代表角速度的大小。 3.角加速度 如果刚体在t1时刻的角速度为ω1，经过Δt时间后，角速度变为ω2，则在Δt时间内，刚体角速度的变化量为Δω＝ω2-ω1，我们把Δω与这段时间间隔Δt的比值，称为刚体在这段时间内的平均角加速度，用β—表示，即 当时，平均角加速度的极限值称为瞬时角加速度，简称角加速度，并用β表示，即 (1-2) 角加速度的单位为弧度/秒2(rad/s2)，角加速度也是矢量，角加速度的方向与dω方向一致。 4.角量与线量的关系 我们通常把描写质点运动的量称为线量，把描写刚体转动的量称为角量。 当刚体做定轴转动时，刚体上各点在做圆周运动，所以刚体上某一点的运动可以用中学物理学学过的位移、速度、加速度等来加以描述，既然角量与线量都可以用来描述刚体的运动规律，那么线量与角量之间必然有一定的关系。 如图1-2所示，刚体上某点P在Δt时间内转过的角位移为Δθ，从而到达P′处，此时点P发生的位移大小为Δs，当Δt很小时，弦长可近似等于弧长，即 或 (1-3) 式中，r为P点到转轴的垂直距离。根据速度的定义，P点的速度为 即 (1-4) (1-4)式若写成矢量式则为 (1-5) 若将(1-4)式两侧对时间t求导数，又可得 上式等号左侧是质点的切向加速度，用at表示，为刚体的角加速度，故有 (1-6) 由于向心加速度an＝v2/r，即an＝rω2，所以刚体上任一点的总加速度a=at+an，其大小为 (1-7) 第二节转动动能转动惯量 一、 刚体的转动动能 当刚体绕固定轴转动时，我们可以将刚体看成是由许许多多的质量元组成的，假设这些质量元的质量分别为Δm1，Δm2， ，Δmn，这些质量元对应于转轴的距离分别为r1，r2， ，rn，各质量元绕转轴转动的角速度都等于ω，但各质量元的线速度不同，分别为v1，v2， ，vn，刚体的动能就是各个质量元的动能之和，即 (1-8) 二、 转动惯量 (1-8)式中的∑Δmir2i用I来表示，称为刚体对某给定转轴的转动惯量。因此，刚体的动能又可写成 (1-9) 若把(1-9)式与质点的动能相对照，(1-9)式中的ω相当于质点运动的v，I相当于质点的质量