线性代数(第二版)

第1章　行列式 行列式实质上是由一些数字按一定的方式排列成的方形数表按一定的法则计算得到的一个数.这个思想早在1683年和1693年就分别由日本数学家关孝和与德国数学家莱布尼茨提出，比成形的独立理论体系的矩阵理论大约早160年.行列式主要出现在线性方程组的讨论中.因此，行列式*初称为线性方程组的系数的结式.如今，它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是一种常用的计算工具.特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具. 本章主要学习行列式的计算.为了简化行列式的计算就必须研究行列式的性质.对行列式的性质重点是要学会应用.不必太多地关注其证明过程.在计算技巧上重点掌握化三角形法和降阶法.不要过多地追求行列式的计算技巧. 1.1　二阶与三阶行列式 1.1.1　二元线性方程组与二阶行列式 首先我们通过求解二元线性方程组来引入二阶行列式的概念. 引例1　首先我们用消元法求解二元线性方程组 (1.1) 为了消去未知数，我们以a22与a12分别乘上式两个方程的两端，可得 将两式相减消去x2，可得 类似地可以消去x1，得 当＊时，原二元方程组有唯一解 (1.2) (1.2)式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得到，其中分母是由线性方程组(1.1)的四个系数所确定的，把这四个数按它们在方程组(1.1)中的相对位置不变，排成2行2列(横排称行，竖排称列)的数表: (1.3) 下面给出二阶行列式的定义. 定义1　由个数，按下列形式排成2行2列的方形: ，记作其被定义为一个数 (1.4) 称之为二阶行列式，其中数aij称为行列式(1.4)的元素，它的**个下标i称为该元素的行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j称为该元素的列标，表明该元素位于第j列.位于第i行，第j列的元素称为行列式(1.4)的(i，j)元. 利用二阶行列式的概念，在(1.2)式之中的分子也可写成二阶行列式的形式，即 记 我们看到，在引入行列式这样的代数符号后，可以用非常简洁的形式来表示线性 方程组的解，更为关键的是，这种符号系统有一个好处:当行列式＊时，得到二元方程组的解(1.2)式可以直接写成 (1.5) 例1　求解二元线性方程组 解＊因为＊故而所给出的二元线性方程组有唯一的解 例2　求解二元线性方程组 解 1.1.2　三阶行列式 引例2　与二元线性方程组完全类似，利用消元法解三元线性方程组 (1.6) 用加减消元法分别消去方程组(1.6)中的＊与＊与＊与＊，当＊时，方程组＊有 唯一一组解: (1.7) 我们用记号＊ 表示代数和＊ 得到三阶行列式的定义如下. 定义2　由＊个数，按下列形式排成行3列的方形: 记作D3，其被定义为一个数 (1.8) 称(1.8)式为数表所确定的三阶行列式. 上述定义表明三阶行列式含有6项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号，其规律遵循图1.1所示的对角线法则:图中每一条实线上的三个元素的乘积冠以正号，每一条虚线上的三个元素的乘积冠以负号，所得的六项的代数和就是所求的三阶行列式的值. 图1.1　三阶行列式的对角线法则 对角线法则只适合用于二阶与三阶行列式，并不能推广到更高阶的行列式. 例3　计算三阶行列式 解 例4　若＊，求x. 解＊ 可以利用消元法证明，当三元线性方程组的系数行列式不等于零时三元线性方程组有唯一解，＊且有类似于二元线性方程组的求解公式成立，即 其中D为系数行列式，Dj是利用常数列分别替换掉系数行列式的第j列(j=1，2，3)，得到新的行列式. 例5　求解三元线性方程组 解　由于方程组的系数行列式 故所求方程组的解为: 现在的问题是，对于n元线性方程组，是否也有类似的求解公式.但要讨论n 元线性方程组，首先就要把二阶和三阶行列式加以推广，引入n阶行列式的概念. 习题　1.1 1.　计算下列二阶行列式的值. 2.　计算下列三阶行列式的值. (1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8) 3.　当λ为何值时，行列式D= 的值为. 4.　已知D= 求x. 5.　a，b满足什么条件时，有 6.　a满足什么条件时，有 7.　已知D= 求λ. 8.　求解二元线性方程组 9.　求解线性方程组