积分变换与场论

第1篇 积分变换 积分变换无论是在数学理论还是在工程应用中都是一种非常有用的理论与方法，特别是求解复杂的微积分方程。常见的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换、梅林变换和Z-变换，本书主要介绍傅里叶变换和拉普拉斯变换及其在实际问题中的应用。 傅里叶变换是一种分析信号的方法，用正弦波作为信号的成分，既可以用来分析信号成分，也可以用这些成分来合成信号。通俗地说，傅里叶变换能将满足一定条件的函数表示成三角函数(正弦函数或余弦函数)或它们积分的线性组合，在不同研究领域，傅里叶变换具有不同的形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换等。拉普拉斯变换是为简化计算而建立的介于实变函数和复变函数之间的一种函数变换，对一个实变量函数做拉普拉斯变换，并在复数域中求出相应的结果，在计算上容易很多。在经典控制论中，用直观简单的图解方法来确定控制系统的特性，分析系统的运动过程，对系统的综合校正，都建立在拉普拉斯变换的基础上。 第1章 傅里叶变换 1.1 傅里叶级数 1.1.1 历史与背景 历史上，傅里叶于1804年首先提出在有限区间上由任意图形定义的任意函数都可以表示为单纯的正弦函数与余弦函数之和的思想。然而，在18世纪有很多数学家针对傅里叶的思想提出很多质疑与反例。1822年，傅里叶在研究热传导理论时发表了《热的解析理论》，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，使得傅里叶级数和傅里叶积分的理论得到了逐步发展。傅里叶的论著为热传导方程、傅里叶级数、傅里叶积分及应用提供了现代数学理论。1829年，狄利克雷证明了收敛性定理，奠定了傅里叶级数的理论基础。1854年，黎曼给出了一个函数的傅里叶级数收敛的充分必要条件。1926年，柯尔莫哥洛夫证明了存在傅里叶级数处处收敛的勒贝格可积函数。1966年，卡尔松证明了连续函数的傅里叶级数几乎处处收敛。 拉普拉斯和柯西在早期的研究工作中已经意识到了傅里叶的思想。另外，泊松在研究水波传播问题时也独立发现并使用了傅里叶变换的方法。 1.1.2 周期现象 人类很早就注意到了大自然中的周期现象，例如，月球和其他特定星球运动轨迹的周期性、海洋潮汐的周期性以及季节的循环。牛顿通过万有引力定律解释了潮汐的周期性。傅里叶及其后来者通过发展傅里叶分析，深入研究自然现象的周期性，并应用于信号和数据处理过程。 周期现象在自然界中大量存在。一般来说，周期性依赖于两个变量，一个是时间的周期性，另一个是空间的周期性。 我们经常会见到关于时间的周期现象。比如，当某人处于海洋中一点(或电路中一点)，水波(或者电流)从该点经过时，波峰和波谷会按同一模式不停重复。波的高度就是关于时间的周期函数。声音也有周期性，声音是以纵向压力波形式传入人的耳朵，对空气进行周期性压缩。事实上，在波的传播过程中会同时体现出空间和时间的周期性。 空间的周期性有时会表现为某种特定的模式在一定空间区域内的对称性。比如晶体，其原子结构在空间中就重复同一种模式，所有原子的位置描述为格子，格子密度分布函数也是关于空间的周期函数。 首先考虑周期函数，我们称一个函数f(t)是以T>0为周期的，如果对任意的有 若存在使上式成立的*小的T，那么这个*小值就称为函数f(t)的基本周期。f(t)在一个周期T内的图像称为一个环。从几何上看，周期条件意味着通过一个环即可确定整个空间的图像。 两个周期函数之和是否还是周期函数。从数学角度来看，答案是否定的，因为无理数的存在。从工程角度来看，答案是肯定的，因为此时采用近似计算，不考虑无理数的情形。比如，是周期函数，而不是周期函数。 *经典的周期现象就是简谐振动。假设质点在单位圆周上做匀速圆周运动，如图1.1所示，考察其纵坐标y的变化规律。已知单位圆的方程为 设质点运动的角速度为，t=0时质点所在位置的幅角为。则t时刻的质点纵坐标为 这是以为周期的周期函数。注意，y在-1和1之间以频率振动，即单位时间内往返-1和1之间次，因此称为角频率。 图1.1 简谐振动 1.1.3 傅里叶级数 如上的正弦运动是容易分析的，自然界中很多振动都是这些简单振动的合成。比如，其图像(图1.2)是比较复杂的，但是单独分析每一个正弦振动(图1.3和图1.4)都很简单，因此我们只需研究每个振动，然后合成即可。 图1.2 正弦运动的叠加 图1.3 图1.4 有限个正弦振动叠加之后，可以得到复杂的振动。反之，复杂的振动是否能够分解为有限的正弦振动呢？一般来讲是不能的。 那么，对于非正弦运动如何处理呢？即那些不能写成有限个正弦运动之和的振动如何考察呢。这就需要用傅里叶级数将其化为形式类似的无穷级数，即无限个正弦运动的叠加，此时需要判断级数收敛性。 1829年，狄利克雷证明如下定理，奠定了傅里叶级数的理论基础，在信号、图像处理中有广泛应用。 狄利克雷定理 一个以T为周期的函数，在上满足狄利克雷条件： (1) 连续或只有有限个**类间断点; (2) 只有有限个极值点。 则在区间内，在连续点处可以展开成傅里叶级数，三角形式为 (1.1.1) 在间断点处等式左边换为 其中 (1.1.2) 而表示的左极限，表示的右极限。 注意：当m≠n时