高等数学下册(第二版)

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作者：大学数学编写委员会《高等数学》编写组

出版社：科学出版社

本类榜单：自然科学

分类：自然科学 > 数学

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图文详情

ISBN：9787030728265
装帧：一般胶版纸
册数：暂无
重量：暂无
开本：其他
页数：444
出版时间：2022-09-01
条形码：9787030728265 ; 978-7-03-072826-5

本书特色

“十二五“普通高等教育本科国家级规划教材，河南省”十四五“普通高等教育规划教材，河南省首届教材建设奖（高等教育类）一等奖，国家混合式一流课程配套教材，适合高等院校非数学理工类等专业的高等数学新形态教材

内容简介

本教材根据高等学校非数学类专业高等数学课程的教学要求和教学大纲编写，分为上、下两册。本书为下册，共7章，内容包括空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分和曲面积分、无穷级数、MATLAB软件与多元函数微积分实验、数学建模初步等。书中节后配有习题，章后编有小结（包括内容概要与解题指导）、知识拓展（包括数学小知识、数学家小故事、数学思想与方法），且以二维码形式链接了重要知识点的讲解视频，书末附有习题答案与提示，以便读者预习和自学。

目录
前言
**版前言
第9章空间解析几何与向量代数 1
9.1 向量及其线性运算 1
9.1.1 向量的概念 1
9.1.2 向量的线性运算 2
9.1.3 空间直角坐标系 5
9.1.4 利用坐标作向量的线性运算 6
9.1.5 向量的模、方向角、投影 8
9.2 数量积向量积 *混合积 11
9.2.1 两向量的数量积 11
9.2.2 两向量的向量积 14
*9.2.3 向量的混合积 16
9.3 曲面及其方程 19
9.3.1 曲面方程的概念 19
9.3.2 旋转曲面 21
9.3.3 柱面 23
9.3.4 二次曲面 24
9.4 空间曲线及其方程 27
9.4.1 空间曲线的一般方程 27
9.4.2 空间曲线的参数方程 28
9.4.3 空间曲线在坐标面上的投影 30
9.5 平面及其方程 32
9.5.1 平面的点法式方程 32
9.5.2 平面的一般方程 33
9.5.3 两平面的夹角 35
9.6 空间直线及其方程 37
9.6.1 空间直线的一般方程 37
9.6.2 空间直线的对称式方程与参数方程 38
9.6.3 两直线的夹角 39
9.6.4 直线与平面的夹角 40
9.6.5 线面综合题 41
*9.7 几何模型的应用 44
9.7.1 下料问题 44
9.7.2 曲面上的蚂蚁寻路问题 45
9.7.3 礼花绽放问题 47
本章小结 49
知识拓展 49
复习题9 51
第10章多元函数微分法及其应用 53
10.1 平面点集与多元函数 53
10.1.1 平面点集 53
10.1.2 二元函数的概念 55
10.1.3 多元函数的极限 56
10.1.4 多元函数的连续性 58
10.2 偏导数 61
10.2.1 偏导数的定义及其计算方法 61
10.2.2 高阶偏导数 64
10.3 全微分 66
10.3.1 全微分的定义 66
*10.3.2 全微分在近似计算中的应用 69
10.4 复合函数微分法 71
10.4.1 多元复合函数的求导法则 71
10.4.2 多元复合函数的全微分 75
10.5 隐函数的求导公式 77
10.5.1 一个方程的情形 77
10.5.2 方程组的情形 80
10.6 多元函数微分学的几何应用 83
10.6.1 空间曲线的切线与法平面 84
10.6.2 曲面的切平面与法线 87
10.7 方向导数与梯度 89
10.7.1 方向导数 89
10.7.2 梯度 92
10.8 多元函数的极值 95
10.8.1 多元函数的极值与判定方法 96
10.8.2 多元函数的*大值与*小值 98
10.8.3 条件极值拉格朗日乘数法 100
*10.9 *小二乘法 106
本章小结 109
知识拓展 110
复习题10 111
第11章重积分 113
11.1 二重积分的概念和性质 113
11.1.1 二重积分的概念 113
11.1.2 二重积分的性质 116
11.2 二重积分的计算法 (一) 118
11.2.1 利用直角坐标计算二重积分 118
11.2.2 利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算 123
11.3 二重积分的计算法 (二) 127
11.3.1 利用极坐标计算二重积分 127
*11.3.2 二重积分的换元法 132
11.4 三重积分 (一) 136
11.4.1 三重积分的概念 136
11.4.2 直角坐标系下三重积分的计算 137
11.4.3 利用对称性和奇偶性化简三重积分的计算 143
11.5 三重积分 (二) 144
11.5.1 利用柱面坐标计算三重积分 144
11.5.2 利用球面坐标计算三重积分 147
*11.5.3 三重积分的换元法 149
11.6 重积分应用 152
11.6.1 重积分元素法 152
11.6.2 几何应用 152
11.6.3 物理应用 156
*11.7 反常二重积分 163
11.7.1 无界区域上的反常二重积分 163
11.7.2 无界函数的反常二重积分 165
*11.8 含参变量积分 166
本章小结 172
知识拓展 173
复习题11 176
第12章曲线积分和曲面积分 180
12.1 对弧长的曲线积分 180
12.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 180
12.1.2 对弧长的曲线积分的计算 182
12.2 对坐标的曲线积分 187
12.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 187
12.2.2 对坐标的曲线积分的计算 190
12.2.3 两类曲线积分之间的联系 195
12.3 格林公式及其应用 198
12.3.1 区域的连通性及边界曲线的正向 198
12.3.2 格林公式 199
12.3.3 平面上曲线积分与路径无关的条件 203
*12.3.4 曲线积分的基本定理 209
12.4 对面积的曲面积分 211
12.4.1 对面积的曲面积分的概念和性质 211
12.4.2 对面积的曲面积分的计算 212
12.5 对坐标的曲面积分 217
12.5.1 有向曲面及其投影 217
12.5.2 对坐标的曲面积分的概念和性质 218
12.5.3 对坐标的曲面积分的计算 221
12.5.4 两类曲面积分之间的联系 224
12.6 高斯公式 *通量与散度 228
12.6.1 高斯公式 228
*12.6.2 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 233
*12.6.3 通量与散度 234
12.7 斯托克斯公式 *环流量与旋度 237
12.7.1 斯托克斯公式 237
*12.7.2 空间曲线积分与路径无关的条件 240
*12.7.3 环流量与旋度 241
本章小结 243
知识拓展 246
复习题12 249
第13章无穷级数 252
13.1 常数项级数的概念和性质 252
13.1.1 常数项级数的概念 252
13.1.2 收敛级数的基本性质 257
*13.1.3 柯西审敛原理 260
13.2 常数项级数的审敛法 262
13.2.1 正项级数及其审敛法 262
13.2.2 交错级数及其审敛法 272
13.2.3 绝对收敛与条件收敛 274
13.3 幂级数 277
13.3.1 函数项级数的概念 277
13.3.2 幂级数及其收敛性 278
13.3.3 幂级数的运算 283
13.4 函数展开成幂级数 288
13.4.1 泰勒级数 288
13.4.2 函数展开成幂级数的方法 291
13.5 函数的幂级数展开式的应用 299
13.5.1 近似计算 299
13.5.2 高阶导数值的幂级数解法 303
13.5.3 欧拉公式 304
*13.5.4 微分方程的幂级数解法 306
13.6 傅里叶级数 310
13.6.1 三角级数三角函数系的正交性 310
13.6.2 函数展开成傅里叶级数 312
13.6.3 正弦级数和余弦级数 318
13.7 一般周期函数的傅里叶级数 322
13.7.1 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 322
*13.7.2 傅里叶级数的复数形式 326
*13.8 傅里叶变换和傅里叶积分 330
13.8.1 傅里叶变换及其逆变换 330
13.8.2 傅里叶变换的性质 335
13.8.3 卷积 337
本章小结 339
知识拓展 341
复习题13 347
*第14章 MATLAB 软件与多元函数微积分实验 349
14.1 多元函数微分学实验 349
14.1.1 曲面绘图 349
14.1.2 MATLAB求极限 351
14.1.3 MATLAB求偏导数及全微分 353
14.1.4 MATLAB与微分法的几何应用 355
14.1.5 MATLAB求多元函数的极值 359
14.2 多元函数积分学实验 360
14.2.1 MATLAB求二重积分 360
14.2.2 MATLAB求三重积分 362
14.3 泰勒级数和傅里叶级数实验 365
14.3.1 泰勒级数 365
14.3.2 傅里叶级数 366
本章小结 368
复习题14 369
*第15章数学建模初步 370
15.1 数学建模的方法与步骤 370
15.1.1 数学模型的分类 370
15.1.2 数学建模的基本方法 371
15.1.3 数学建模的过程及一般步骤 371
15.2 微积分模型 373
15.2.1 椅子问题 373
15.2.2 洗衣服中的数学 375
15.2.3 雨中行走 377
15.2.4 通信卫星的电波覆盖的地球面积 381
15.2.5 万有引力定律的发现 383
15.3 微分方程模型 386
15.3.1 传染病的传播 386
15.3.2 交通问题模型 393
15.4 简单的经济数学模型 395
15.4.1 边际成本与边际收益 396
15.4.2 效用函数 397
15.4.3 商品替代率 397
15.4.4 效用分析 398
15.4.5 一个*优价格模型 398
15.4.6 *大货币供应量的计算 400
本章小结 403
习题答案与提示 404

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节选

第9章空间解析几何与向量代数在平面解析几何中，通过坐标法把平面上的点与一对有次序的数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数的方法来研究几何问题.用代数方法研究空间几何图形就是空间解析几何，它是平面解析几何的拓广.平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的，空间解析几何的知识对学习多元函数的微积分同样也是不可缺少的. 向量代数是解决许多数学、物理及工程技术问题的有力工具，本章先引进向量的概念，根据向量的线性运算建立空间坐标系，然后利用坐标讨论向量的运算，并介绍空间解析几何的有关内容. 9.1 向量及其线性运算 9.1.1 向量的概念客观世界中有这样一类量，它们既有大小，又有方向，例如位移、速度、加速度、力、力矩等，这一类量叫做向量或矢量(vector). 在数学上，常用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作A →B(图9.1).有时也用一个黑体字母(或书写时，在字母上面加箭头)来表示向量，例如等. 图9.1 在实际问题中，一些向量与起点有关，一些向量与起点无关.由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，因此在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量(free vector)，以后简称向量，当遇到与起点有关的向量时，可在一般原则下作特别处理. 由于只讨论自由向量，所以如果两个向量a和b的大小相等，且方向相同，就说向量a和b是相等的，记为a=b，即经过平行移动后能完全重合的向量是相等的. 向量的大小叫做向量的模(norm).向量的模依次记作|a|.模等于1的向量叫做单位向量(unit vector).模等于0的向量叫做零向量(zero vector)，记作0.零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的. 图9.2 设有两个非零向量a，b，任取空间一点O，作，规定不超过π的∠AOB(设)称为向量a与b的夹角(图9.2)，记作或，即. 如果向量a与b中有一个是零向量，规定它们的夹角可以在0到π之间任意取值.如果或π，就称向量a与b平行，记作a//b;如果，就称向量a与b垂直，记作a⊥b.由于零向量与另一个向量的夹角可以在0到π之间任意取值，因此可以认为零向量与任何向量都平行，也可以认为零向量与任何向量都垂直. 当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共的起点在一条直线上.因此，两向量平行又称两向量共线. 类似还有向量共面的概念.设有个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果k个终点和公共起点在一个平面上，就称这k个向量共面. 9.1.2 向量的线性运算 1.向量的加法向量的加法运算规定如下: 图9.3 设有两个向量a与b，任取一点A，作，再以B为起点，作，连接AC(图9.3)，那么向量称为向量a与b的和，记作a+b，即c=a+b. 上述作出两向量之和的方法叫做向量相加的三角形法则. 力学上有求合力的平行四边形法则，仿此，也有向量加法的平行四边形法则，即当向量a与b不平行时，作，以AB，AD为邻边作一平行四边形ABCD，连接对角线AC(图9.4)，显然向量A.→C等于向量a与b的和a+b. 图9.4 向量的加法符合下列的运算规律. (1)交换律a+b=b+a; (2)结合律(a+b)+c=a+(b+c). 这是因为，按向量加法的规定(三角形法则)，从图9.4可见，所以符合交换律.又如图9.5所示，先作a+b再加上c，即得和(a+b)+c，如以a与b+c相加，则得同一结果，所以符合结合律. 图9.5 由于向量的加法符合交换律与结合律，故n个向量相加可写成. 图9.6 并按向量相加的三角形法则，可得n个向量相加的法则如下:使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量a1，a2，，an，再以**向量的起点为起点，*后一向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求的和.如图9.6，有. 设a为一向量，规定与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量(negative vector)，记作.a.由此，定义两个向量b与a的差，即把向量.a加到向量b上，便得b与a的差(图9.7(a)). 图9.7 特别地，当b=a时，有. 显然，任给向量及点O，有，因此，若把向量a与b移到同一起点O，则从a的终点A向b的终点B所引向量便是向量b与a的差(图9.7(b)). 由三角形两边之和大于第三边，有，其中等号在b与a同向或反向时成立. 2.向量与数的乘法向量a与实数λ的乘积记作λa，规定λa是一个向量，它的模 |λa|=|λ||a|，它的方向当λ>0时与a相同，当λ0，所以与ea的方向相同.又因的模是，即|a|ea与a的模也相同，因此 a=|a|ea. 我们规定，当时，由此，上式又可写成，这表示一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 由于向量λa与a平行，因此我们常用向量与数的乘积来说明两个向量的平行关系.定理设向量a.=0，那么，向量b平行于a的充分必要条件是:存在唯一的实数λ，使b=λa. 证明条件的充分性是显然的，下面证明条件的必要性. 设b//a，取|λ|=|b||a|，当b与a同向时，λ取正值;当b与a反向时，λ取负值，即b=λa.这是因为此时b与λa同向，且. 再证明数λ的唯一性.设b=λa，又设b=μa，两式相减，便得，即，因，故，即λ=μ.证毕. 上述定理是建立数轴的理论依据.我们知道，给定一个点、一个方向及单位长度，就确定了一条数轴.由于一个单位向量既确定了方向，又确定了单位长度，因此，给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴.设点O及单位向量i确定了数轴Ox(图9.9)，对于数轴上任一点P，对应一个向量，由，根据上述定理，必有唯一的实数x，使(实数x叫做轴上有向线段的值)，并知与实数x一一对应.于是，从而数轴上的点P与实数x有一一对应的关系.据此，定义实数x为数轴上点P的坐标. 图9.9 由此可知，数轴上点P的坐标为x的充分必要条件是. 9.1.3 空间直角坐标系在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i，j，k，就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴，依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系，称为Oxyz坐标系或坐标系(图9.10).通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线;它们的正向通常符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以π2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向(图9.11). 图9.10 图9.11 图9.12 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样确定出的三个平面统称为坐标面.x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面，另两个由y轴及z轴和由z轴及x轴所确定的坐标面，分别叫做yOz面及zOx面.三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做一个卦限，含有x轴、y轴与z轴正半轴的那个卦限叫做**卦限，第二卦限、第三卦限和第四卦限在xOy面的上方，按从上方观察的逆时针方向确定.第五卦限至第八卦限，在xOy面的下方，由**卦限之下的第五卦限，按从上方观察的逆时针方向确定，这八个卦限分别用字母I，II，III，IV，V，VI，VII，VIII表示(图9.12). 任给向量r，对应有点M，使.以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体RHMK-OPNQ，如图9.13所示，有. 设，则. 图9.13 上式称为向量r的坐标分解式，xi，yj，zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量(sub-vector). 显然，给定向量r，就确定了点M及.三个分向量，进而确定了x，y，z三个有序数;反之，给定三个有序数x，y，z，也就确定了向量r与点M.于是点M，向量r与三个有序数x，y，z之间有一一对应的关系，即. 据此，有序数x，y，z称为向量r(在坐标系Oxyz中)的坐标(coordinator)，记作r= (x，y，z);有序数x，y，z也称为点M(在坐标系Oxyz中)的坐标，记作M(x，y，z). 向量称为点M关于原点O的向径.上述表明，一个点与该点的向径有相同的坐标.记号(x，y，z)既表示点M，又表示向量. 坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征.例如，点M在yOz面上，则x=0;同样，在zOx面上的点，有y=0;在xOy面上的点，有z=0.如果点M在x轴上，则y=z=0;同样在y轴上的点，有z=x=0;在z轴上的点，有x=y=0.如果点M为原点，则x=y=z=0. 9.1.4 利用坐标作向量的线性运算利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下: 设，利用向量加法的交换律与结合律以及向量与数的乘法的结合律与分配律，有即由此可见，对向量进行加、减及向量与数的相乘，只需对向量的各坐标分别进行相应的数量运算就行了. 9.1.2节定理指出，当向量a.=0时，向量b//a相当于b=λa，坐标表示式为.

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