好玩的数学:趣味随机问题 (修订版)

　　01概率论篇　　1.1全是不可测集惹的麻烦　　随机事件(简称为事件)、概率、随机变量是概率论中*基本的三个概念，它们是逐步形成与完善起来的。其中事件与随机变量这两个概念与不可测集合的关系非常紧密。如果不存在不可测集合，事件与随机变量的定义将会非常简洁易懂。由于不可测集合的存在，给这两个概念的定义带来了很大的麻烦，使初学者感到很困难。　　学过初等概率论的人都知道，随机事件是样本空间(由所有样本点或基本事件组成的集合)的子集，但是样本空间的子集却未必是随机事件。为什么一般教科书均不作解释，因为此问题说起来话长，又涉及较多的数学知识，一两句话是说不清楚的。　　如果样本空间Ω中的样本点只有可数(可列)多个，则Ω中的任一个子集都可测；如果Ω中的样本点有无穷不可数多个(如一个区间或一个区域)，则可人为地构造出Ω的不可测子集。什么叫做(集合)可测这涉及较深的测度论知识。通俗地说，所谓集合A可测，就是可以求出A的测度。什么叫做测度如果A是离散可数集合，则把A中的元素个数作为A的测度，如果A是非离散的区域而且是一维的(二维的、三维的)，就把A的长度(面积、体积)作为A的测度。关于如何构造Ω的不可测子集，有兴趣的读者可以参阅郑维行和王声望著的《实变函数与泛函分析概要》。初学者很难理解，一条曲线为什么会不可以测量它的长度呢美籍华人钟开来说，读者可以这样设想，这条曲线弯曲得非常厉害，我们无法测准它的长度，或者设想它离我们非常遥远，即使用*先进的仪器也无法对它进行测量。　　由于样本空间中的子集不一定都可测，那些不可测子集我们是无法求其概率的，当然，就不把它们看成事件，这是因为我们研究事件的主要目的是求其出现(发生)的概率。又因为在实际问题中我们往往要对事件进行各种运算(或变换)，我们自然会问：可测事件运算(或变换)的结果是否仍为可测为了保证可测事件运算(或变换)的结果仍为可测，我们在定义事件中引进了σ代数的概念。　　定义1.1设Ω为一个集合，如果Ω中的一些子集组成的集类(以集合为元素的集合)F满足：　　(i)Ω∈F。　　(ii)如果A∈F，则A的补集∈F。　　(iii)如果An∈F，n=1，2，3，，则∪∞n=1An∈F。　　则称F为Ω中的σ代数。　　有了σ代数的概念，可引入事件的如下的严密定义。　　定义1.2如果F是由样本空间Ω中一些(可测)子集组成的σ代数，则称F为事件域，称且仅称F中的元素为事件。通常称(Ω，F)为可测空间。　　由此定义可知：　　(i)σ代数未必是事件域，但是事件域一定是σ代数。　　(ii)｛，Ω｝为*小事件域(其中为不可能事件，即为不含有任何样本点的空集)。如果A为Ω中的可测子集，则｛，A，A，Ω｝是包含事件A的*小事件域。如果Ω中的子集都可测，则取事件域为｛A：AΩ｝(即如果AΩ，则称A为事件)，它也是*大的事件域。因此，事件域不是唯一的。　　(iii)在实际问题中，如果Ω中的样本点是可数的，通常就取事件域为｛A：AΩ｝，否则，通常取事件域为包含我们所关心的事件的σ代数。在一个问题中，事件域一经取定就不再变动　　如果不存在样本空间Ω中的不可测子集，随机变量就可以简单定义为：如果X(ω)是Ω上的单值实函数，则称X(ω)为随机变量。而现在随机变量的定义不仅复杂得多，而且使初学者很不容易理解。　　定义1.3设(Ω，F)是一个可测空间，X(ω)为定义于Ω上的单值实函数，如果对任意实数x，均有　　｛ω：X(ω)≤x，ω∈Ω｝∈F　　则称X(ω)为(Ω，F)上的一个随机变量。　　通常简记X(ω)为X，简记｛ω：X(ω)≤x，ω∈Ω｝为｛X≤x｝。｛ω：X(ω)≤x，ω∈Ω｝表示使得X(ω)≤x成立的那些样本点ω组成的集合。如果这个集合为可测的事件，即｛X≤x｝∈F，我们才称X为随机变量。　　由定义1.3知随机变量不是简单的变量，而是定义于样本空间Ω上的满足条件｛X≤x｝∈F的单值实函数。不过在实际问题中如果用定义1.3去验证一个量是否为随机变量那将是件很麻烦的事情。通常不用定义1.3去验证一个量是否为随机变量，而是去验证该量取值是否为随机的。如果是，则该量是随机变量；否则，它就不是随机变量。何为随机的所谓随机的是指：该量至少能取两个值，而且事前(试验之前)无法准确预言它取哪个值。　　1.2概率概念的完善　　概率是描述事件发生(出现)可能性大小的数量指标，它是逐步形成和完善起来的。*初人们讨论的是古典概型(随机)试验中事件发生的概率。所谓古典概型试验是指样本空间中的样本点的个数是有限的且每个样本点(组成的事件)发生的可能性是相同的，简称为有限性与等可能性。例如，掷一颗均匀骰子的试验与从一个装有n个相同(编了号)球的袋中随机摸一个球的试验都是古典概型试验。对于古典概型试验，人们给出概率的如下定义。　　定义1.4设试验E是古典概型的，其样本空间Ω由n个样本点组成，其一事件A由r个样本点组成，则定义A(发生)的概率为rn，记为P(A)，即　　P(A)=A中样本点数Ω中样本点数=rn　　并称这样定义的概率为古典概率，称概率的这样的定义为古典定义。　　古典概率有如下3个性质：　　(i)对任意事件A，有0≤P(A)≤1。　　(ii)P(Ω)=1。　　(iii)设A1，A2，，Am为两两互斥的m个事件，则　　P(∪mi=1Ai)=∑mi=1P(Ai)　　(i)、(ii)、(iii)分别称为概率的有界性、规范性与有限可加性。　　古典概率的定义要求试验满足有限性与等可能性，这使得它在实际应用中受到了很大的限制。例如，对于旋转均匀陀螺的试验：在一个均匀的陀螺圆周上均匀地刻上区间［0，3)内诸数字，旋转陀螺，当它停下时，其圆周上与桌面接触处的刻度位于某区间［a，b)［［0，3)］内的概率有多大对于这样的试验，古典概率的定义就不适用。因为此试验的样本点不是有限的，而是区间［0，3］中的每个点，它有无穷不可数多个。为了克服定义1.4的局限性，人们又引入概率的如下定义。　　定义1.5设试验E的样本空间为某可度量的区域Ω，且Ω中任一区域出现的可能性大小与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关，则称E为几何概型的试验。且定义E的事件A的概率为　　P(A)=A的几何度量/Ω的几何度量　　其中，如果Ω是一维的、二维的、三维的，则Ω的几何度量分别为长度、面积、体积。并称这样定义的概率为几何概率，而称概率的这样的定义为几何定义。　　几何概率除了具有古典概率的3个性质外，它还具有如下的可列可加性(或完全可加性)：　　(iv)设A1，A2，A3，为两两互斥的无穷多个事件，则　　概率的几何定义虽然去掉了有限性的限制，但是它仍然要试验满足等可能性，这在实际问题中仍有很大的局限性。例如，掷一枚不均匀的硬币的试验就不具有等可能性，这样上述两个定义对这个非常简单的试验都不适用。同时我们还注意到上述两个定义中的等可能性严格地说都是近似的，而不是真正的等可能。因此，我们必须再一次推广概率的定义，以满足实际问题要求。为此，人们在频率的基础上又引进了概率的统计定义。　　通过长期的实践，人们逐步发现，当重复试验的次数很多时，事件出现的频率都具有稳定性。即对于某个固定的事件，当重复试验次数增加时，该事件出现的频率总在0与1之间某个数字p附近摆动，且越来越接近p。例如，掷一枚均匀硬币的试验，历史上曾经有很多数学家做过。下表是几位数学家做此试验的结果。由此表可以看到，当试验次数越来越多时，正面出现的频率越来越靠近0.5(表1-1)。由此，人们又引入概率的统计定义。　　表1-1掷均匀硬币的试验　　定义1.6设A为试验E的一个事件，如果随着重复试验次数的增加A出现的频率在0与1之间某个数p附近摆动，则定义A的概率为p，记为P(A)，即　　P(A)=p　　称这样定义的概率为统计概率，称概率的这样的定义为统计定义。　　统计概率也有古典概率的3个性质，即有界性、规范性、有限可加性。　　概率的统计定义对试验不作任何要求，它适合所有试验，也比较直观。但是在数学上很不严密。因为其依据是重复试验次数很多时频率呈现出的稳定性。何为"很多"1万次相对于1000次来说是很多了，但是相对于10万次来说它又是很少了。试验次数究竟要多到怎样的程度才能算"很多"定义中没有说明；又如定义中的"摆动"又如何理解，也没有数学说明，再如定义中的"p"又如何确定不同的人可能会确定不同的值。这样，一个事件将有多个概率。例如，在表1-1中，正面出现的频率显然在0.5附近摆动，因此可以认为正面出现的概率为0.5。但是由于硬币不会绝对均匀的，也可以认为正面出现的概率为0.50001或0.4999。因此，概率的上述3个定义都有缺陷，与其说它们是定义，不如说它们仅是对不同的情况给出概率的3种计算方法。所以我们有必要给出概率的一个严密的对各种情况都适用的定义，以使得概率论这座大厦有牢固的基础。　　20世纪30年代初，冯.米富斯(R.VonMises)给出样本空间的概念，使得有可能把概率的严密的数学理论建立在测度论上。20世纪30年代中期柯尔莫哥洛夫(A.N.Kolmogorov)以上述3个定义的性质为背景给出概率的严密的公理化定义。　　定义1.7设(Ω，F)为一个可测空间，P为定义于F上的实值集合函数，如果P满足下列3个条件：　　(i)对每个A∈F，有P(A)≥0；　　(ii)P(Ω)=1；　　(iii)如果Ai∈F，i=1，2，3，，且当i≠j时，AiAj=，则P(∪∞i=1Ai)=∑∞i=1P(Ai)。　　那么，就称P为概率测度，简称为概率。　　一般把Ω，F，P写在一起成(Ω，F，P)，并称(Ω，F，P)为概率空间。以后总用Ω表示样本空间，用F表示Ω中的固定的事件域，用P表示相应于Ω与F的概率。此定义的3个条件称为3个公理。这3个公理分别称为概率的非负性、规范性与完全可加性(或可列可加性)。　　概率的公理化定义中没有要求定义于F上的实值集合函数P满足有界性与有限可加性，为什么这是因为有界性与有限可加性可以由3个公理推导出来，而且，一个概念的定义(自然)要求所满足的条件越少越好，这样才便于应用。设想，如果一个定义要求满足10个条件，则每次应用前都要逐一验证这10个条件是否满足(如果不满足，则不能应用该定义)，这将是很麻烦的事情。其次，概率的公理化定义是严密的数学定义，且对试验不作任何要求，我们很自然地会问，前述的三个定义是否可以不要了不可以。这是因为公理化定义虽然在数学上很严密，但是它没有给出事件概率的计算方法。要计算一个具体事件的概率，还得根据不同的情况，利用上述3个定义之一来计算。　　另一个需要说明的是概率的公理化定义不是唯一，它有很多等价定义。由有限可加性得P()=P(∑n+1i=1)=(n+1)P()，即nP()=0，所以P()=0，又对任意事件A∈F，由单调性，有P(A)≥P()，从而　　……