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第1章数学可视化1 1.1离散傅里叶变换和频域变换1 1.1.1傅里叶级数和离散傅里叶变换2 1.1.2体验声音的变化7 1.1.3小结15 1.2素数的可视化15 1.2.1素数的定义15 1.2.2用动画演示埃拉托斯特尼筛法15 1.2.3绘制素数螺旋20 1.2.4绘制不同形状的素数螺旋30 1.2.5小结32 延伸阅读欧拉素数生成多项式32 1.3圆周率计算和可视化33 1.3.1π值应该取到小数点后多少位？34 1.3.2高精度计算程序库——gmpy235 1.3.3π值的传统计算方法38 1.3.4π值的无穷级数算法47 延伸阅读1梅钦类公式的推导52 延伸阅读2高斯-勒让德算法54 第2章RSA加密算法和相关知识55 2.1计算*大公因数55 2.1.1RSA加密方法简介55 2.1.2通过素因数分解求解*大公因数56 2.1.3利用辗转相除法求解*大公因数60 2.1.4辗转相除法的可视化62 2.1.5扩展的辗转相除法69 延伸阅读1全体素数的生成函数72 延伸阅读2由三角函数组成旋转矩阵73 延伸阅读3从程序的递归调用联想到数学归纳法73 2.2用于互联网通信的公钥加密系统74 2.2.1对称密钥加密技术——恺撒密码75 2.2.2非对称密钥加密技术——RSA77 2.2.3文本加密的实现80 延伸阅读1密码学中常用的人名轶闻84 延伸阅读2RSA加密算法解密结果正确性的证明84 2.3RSA加密的应用86 2.3.1图像加密86 2.3.2数字签名95 延伸阅读1五边形五角星背后的数学106 延伸阅读2哈希碰撞概率的计算108 第3章通过微分方程描述自然109 3.1种群规模随时间演化的模拟109 3.1.1生态学的概念109 3.1.2种群规模建模的**案例110 3.1.3种群规模演化的Lotka-Volterra方程116 3.1.4求解Lotka-Volterra方程组121 3.1.5数值模型正确性的相关讨论123 3.2常见的自然现象和微分方程之间的联系125 3.2.1解析解示例1——物体的运动126 3.2.2解析解示例2——电容器充电的过程129 3.2.3数值计算的应用——蛋白质立体结构的运算132 3.2.4数值计算求解微分方程的原理134 3.2.5欧拉法求解微分方程的实践136 延伸阅读莱昂哈德 欧拉141 3.3微分方程的各种数值解法142 3.3.1欧拉法的回顾和分析142 3.3.2休恩法（Heun法）143 3.3.3中点法146 3.3.4古典四阶龙格-库塔法149 3.3.54种数值解法的对比153 延伸阅读函数的泰勒展开与数值解法的阶数153 3.4微分方程的辛欧拉法154 3.4.1单摆运动的精确方程155 3.4.2联立方程组的数值解法156 3.4.3代码实现和运行结果157 延伸阅读什么是“辛”？167 第4章航天中的物理170 4.1火箭升空背后的物理170 4.2火箭发动机的拉瓦尔喷管175 4.2.1拉瓦尔喷管的出口设计176 4.2.2复杂方程的数值解法——牛顿迭代法178 4.3万有引力和轨道运算183 4.3.1从万有引力定律到卫星运动方程184 4.3.2卫星轨道的相关参数187 4.3.3卫星运行轨迹的计算和可视化192 4.4多普勒效应的可视化202 4.4.1多普勒效应的原理和数学描述203 4.4.2多普勒频移的可视化205 4.4.3电磁波的多普勒频移216