数学欣赏

序 **章 数学之魂 **节 数学的对象与内容 1.1.1 数与形——万物之本 1.1.2 结构与模式——万物之理 第二节 数学的方法与特点 1.2.1 数学理论的建立方式 1.2.2 数学的思考方式 1.2.3 数学的特点及其对人的素质的影响 第二章 数学之功 **节 数学的功能 2.1.1 数学的实用功能 2.1.2 数学的教育功能 2.1.3 数学的语言功能 2.1.4 数学的文化功能 第二节 数学的价值 2.2.1 数学与个人成长 2.2.2 数学与人类生活 2.2.3 数学与科技发展 2.2.4 数学与社会进步 第三章 数学之旅 **节 数学的分类 3.1.1 从历史看数学 3.1.2 从对象与方法看数学 第二节 数学分支发展概况 3.2.1 几何学通论 3.2.2 代数学大观 3.2.3 分析学大意 3.2.4 随机数学一瞥 3.2.5 模糊数学概览 3.2.6 可拓学——中国人自己创立的新学科 第三节 数学形成与发展的因素与轨迹 3.3.1 数学形成与发展的因素 3.3.2 数学发展的轨迹 第四章 数学之美 **节 数学、哲学与美学 4.1.1 数学与哲学 4.1.2 美学、美的本质与特征 4.1.3 数学美的根源 4.1.4 数学美的基本特征 第二节 数学方法之美 4.2.1 认识论的飞跃——以有限认识无限 4.2.2 演绎法之美——以简单论证复杂 4.2.3 类比法之美——他山之石，可以攻玉 4.2.4 此处无形胜有形——存在性问题的证明 4.2.5 从低级数学到高级数学——一览众山小 第三节 数学结论之美 4.3.1 三角形之美与正多面体 4.3.2 圆形之美与三角函数 4.3.3 矩形之美与黄金分割 4.3.4 自然对数的底与五个重要常数 4.3.5 方圆合一，自然规律 第五章 数学之趣 **节 勾股定理与勾股数趣谈 5.1.1 千古**定理—— 勾股定理 5.1.2 从几何观点看勾股定理 5.1.3 从代数观点看勾股定理——勾股数与不定方程 5.1.4 勾股数的特殊性质 第二节 悖论及其对数学发展的影响 5.2.1 悖论的定义与起源 5.2.2 悖论对数学发展的影响——三次数学危机 5.2.3 几种常见悖论 5.2.4 如何看待悖论 第三节 数学与游戏 5.3.1 一种民间游戏——“取石子” 5.3.2 改变一下游戏规则 5.3.3 用二进制来解决 5.3.4 “取石子”的变种——“躲30”游戏 5.3.5 结语 第六章 数学之妙 **节 数学归纳法原理 6.1.1 数学归纳法及其理论基础 6.1.2 数学归纳法的变形 6.1.3 归纳法在几何上的一个应用——两色定理 6.1.4 归纳法趣谈 第二节 抽屉原理与聚会认友 6.2.1 抽屉原理的简单形式 6.2.2 聚会问题 6.2.3 抽屉原理与计算机算命 6.2.4 抽屉原理的推广形式 第三节 七桥问题与图论 6.3.1 七桥问题 6.3.2 图与七桥问题的解决——一笔画定理 6.3.3 图的其他基本概念与图的简单应用 第四节 数学与密码 6.4.1 密码的由来 6.4.2 密码联络原理与加密方法 6.4.3 RSA编码方法与原理 第七章 数学之奇 **节 实数系统 7.1.1 数系扩充概述 7.1.2 有理数域Q 7.1.3 实数域R 7.1.4 认识超穷数 第二节 三种几何并存 7.2.1 泰勒斯——推理几何学的鼻祖 7.2.2 欧几里得几何 7.2.3 第五公设的疑问 7.2.4 **种非欧几何——罗巴切夫斯基几何 7.2.5 第二种非欧几何——黎曼几何 7.2.6 三种几何学的模型与结论对比 7.2.7 非欧几何产生的重大意义 第三节 河图、洛书与幻方 7.3.1 幻方起源 7.3.2 幻方分类 7.3.3 幻方构造 7.3.4 幻方欣赏 第八章 数学之问 **节 古代几何作图三大难题 8.1.1 诡辩学派与几何作图 8.1.2 三个传说 8.1.3 三大作图难题的解决 8.1.4 “不可能”与“未解决” 8.1.5 放宽作图工具 8.1.6 两千年历史的启示 第二节 费马大定理 8.2.1 费马与费马猜想 8.2.2 无穷递降法：n =3、4的费马大定理证明 8.2.3 **次重大突破与悬赏征解 8.2.4 第二次重大突破 8.2.5 费马大定理的*后证明 8.2.6 费马大定理的推广 第三节 哥德巴赫猜想 8.3.1 数的分解与分拆问题 8.3.2 哥德巴赫猜想 8.3.3 哥德巴赫猜想的研究 8.3.4 陈氏定理 8.3.5 附记 第四节 四色猜想 8.4.1 四色猜想的来历 8.4.2 艰难历程百余年 8.4.3 欧拉公式 8.4.4 五色定理的证明 第五节 庞加莱猜想 8.5.1 百年猜想 8.5.2 从空间维数谈起 8.5.3 拓扑学 8.5.4 庞加莱猜想 8.5.5 进展 8.5.6 佩雷尔曼的重大突破 8.5.7 瑟斯顿几何化猜想 8.5.8 哈密尔顿的Ricci流 8.5.9 一个完整的证明 第六节 七个千禧年数学难题及其他 8.6.1 Riemann猜想（Riemann假设） 8.6.2 Poincare猜想 8.6.3 P对NP问题 8.6.4 Hodge猜想 8.6.5 Yang-Mills场的存在性和质量缺口 8.6.6 Navier-Stokes方程的存在性与光滑性 8.6.7 Birch和Swinnerton-Dyer猜想 8.6.8 两个数论难题 附录A 国际性数学奖简介 附录B 国际性数学奖一览表 附录C 人名索引 主要参考文献