数值计算方法——人工智能、大数据分析的数学基础

第1章数值计算概论1
1.1数值问题与计算方法1
1.1.1数值计算问题1
1.1.2计算方法的表示3
1.2数值计算的一般方法6
1.2.1变量的离散化6
1.2.2逼近法7
1.2.3逐次逼近与逐步逼近9
1.2.4递推法与迭代法10
1.2.5递推结构的设计13
1.3误差的概念16
1.3.1数值计算的近似与误差16
1.3.2绝对误差与相对误差17
1.3.3有效数字19
1.4数值计算中误差的影响21
1.5病态问题与条件数22
习题124第2章线性方程组的直接解法27
2.1高斯消去法27
2.1.1基本方法27
2.1.2选主元的高斯消去法32
2.1.3高斯约当消去法35
2.2矩阵的三角分解37
2.2.1高斯消去法的矩阵解释37
2.2.2LU分解39
2.3追赶法42
2.3.1二对角方程组的回代过程42数值计算方法——人工智能、大数据分析的数学基础目录
2.3.2解三对角方程组的追赶法44
2.4平方根法48
2.4.1正定对称矩阵的平方根法48
2.4.2LDLT分解50
习题252第3章插值法55
3.1插值及代数插值55
3.1.1插值的概念55
3.1.2代数插值56
3.2拉格朗日插值58
3.2.1线性插值58
3.2.2抛物插值59
3.2.3拉格朗日插值的一般形式62
3.2.4插值余项及误差估计64
3.3分段插值65
3.4差商、差分与牛顿插值68
3.4.1差商与拉格朗日插值公式68
3.4.2牛顿插值70
3.4.3差分、差商及导数的关系74
3.4.4等距结点插值公式75
3.5埃尔米特插值77
3.5.1重结点差商与泰勒插值78
3.5.2三点三次埃尔米特插值79
3.5.3分段三次埃尔米特插值80
3.6样条插值81
3.6.1样条函数81
3.6.2三次样条插值83
习题387第4章迭代法89
4.1非线性方程求根89
4.1.1简单迭代法90
4.1.2牛顿迭代法93
4.1.3弦截法95
4.2线性方程组的迭代解法97
4.2.1雅可比迭代法97
4.2.2高斯赛德尔迭代法101
4.2.3迭代法的收敛条件及误差估计105
4.2.4松弛迭代法107
4.3非线性方程组的迭代解法109
4.3.1一般迭代法109
4.3.2牛顿迭代法111
4.3.3拟牛顿法114
习题4117第5章数值积分与数值微分119
5.1机械求积法119
5.1.1数值求积基本思想120
5.1.2代数精度122
5.1.3插值型求积公式124
5.2牛顿科茨求积法125
5.2.1科茨系数及求积公式126
5.2.2低阶求积公式的误差估计127
5.3复化求积法129
5.4龙贝格求积法132
5.4.1变步长求积法132
5.4.2求积公式的松弛法加速134
5.4.3龙贝格求积公式136
5.5高斯求积法140
5.5.1高斯点与高斯公式140
5.5.2高斯勒让德公式142
5.6数值微分法143
5.6.1差商型求导公式143
5.6.2中点方法的加速146
5.6.3插值型求导公式147
习题5150第6章函数逼近153
6.1函数逼近的概念153
6.1.1函数逼近问题153
6.1.2函数逼近的一般方法154
6.2正交多项式156
6.2.1正交与正交函数系157
6.2.2常用正交多项式158
6.3*小二乘曲线拟合160
6.3.1直线拟合161
6.3.2多项式拟合164
6.3.3正交多项式拟合167
6.4*佳一致逼近168
6.4.1*佳一致逼近多项式169
6.4.2线性*佳一致逼近多项式170
6.4.3切比雪夫展开与近似*佳逼近171
6.5*佳平方逼近174
习题6176第7章矩阵特征值计算179
7.1矩阵的特征值与特征向量179
7.1.1特征值与特征向量的概念179
7.1.2特征值与特征向量的相关结论182
7.2乘幂法和反幂法183
7.2.1乘幂法183
7.2.2加速技术187
7.2.3反幂法190
7.3对称矩阵的雅可比算法192
7.3.1雅可比算法192
7.3.2实用雅可比算法197
7.4QR方法197
7.4.1QR分解197
7.4.2基本QR方法199
7.4.3带原点位移的QR方法199
习题7202第8章常微分方程数值解法203
8.1一阶常微分方程初值问题及其解203
8.2欧拉法206
8.2.1求解一阶常微分方程初值问题的欧拉法206
8.2.2隐式欧拉法及两步欧拉法209
8.2.3欧拉法的局部截断误差及精度211
8.3改进欧拉法215
8.3.1梯形法215
8.3.2预报校正公式及改进欧拉法216
8.3.3改进欧拉法的局部截断误差及精度218
8.4龙格库塔法221
8.4.1龙格库塔法设计思想221
8.4.2二阶龙格库塔法222
8.4.3高阶龙格库塔法224
习题8227第9章Python程序设计229
9.1Python程序的编辑与运行229
9.1.1用IDLE编写并运行程序229
9.1.2用Spyder编写并运行程序231
9.2数据及表达式234
9.2.1常量与变量234
9.2.2数据的输入输出236
9.2.3常用函数237
9.2.4运算符与表达式238
9.3序列和字典241
9.3.1字符串241
9.3.2列表243
9.3.3元组245
9.3.4字典246
9.4程序的流程控制247
9.4.1if条件语句247
9.4.2while循环语句248
9.4.3for循环语句249
9.4.4用户自定义函数250
9.4.5模块252
9.5类及类的实例253
9.5.1类的定义和使用253
9.5.2类的继承性256
9.5.3异常处理257
9.6数组及数据可视化259
9.6.1NumPy多维数组260
9.6.2Matplotlib数据可视化261
9.6.3SciPy的计算与数据拟合263
9.7Sympy库数学符号计算268
9.7.1函数的符号计算与绘图268
9.7.2数学与数值计算271
习题9275附录A实验指导277
A.1穷举与迭代278
A.2直接求解线性方程组279
A.3函数插值280
A.4迭代法求解方程与线性方程组281
A.5数值求解定积分283
A.6*小二乘法求解数据拟合问题284
A.7求解矩阵特征值285
A.8数值求解一阶常微分方程初值问题287参考文献289