考研数学常考题型解题方法技巧归纳:2020:数学一

第1篇 高等数学 1.1 函数、极限、连续(2) 1.1.1 求几类与复合函数有关的函数表示式(2) 题型1.1.1.1 已知f(x)和φ(x),求f［φ(x)］或φ［f(x)］(2) 题型1.1.1.2 求分段点相同的两分段函数的复合函数(2) 1.1.2 函数的奇偶性(3) 题型1.1.2.1 判别（证明）函数的奇偶性(3) 题型1.1.2.2 奇、偶函数性质的应用(4) 1.1.3 讨论函数的有界性和周期性(5) 题型1.1.3.1 判定有限开区间内连续函数的有界性(5) 题型1.1.3.2 判定无穷区间内连续函数的有界性(5) 题型1.1.3.3 讨论函数的周期性(6) 1.1.4 理解极限概念(7) 题型1.1.4.1 正确理解极限定义中的“ε-N”“ε-δ”“ε-X”语言的含义(7) 题型1.1.4.2 正确区别无穷大量与无界变量(7) 1.1.5 求未定式极限(8) 题型1.1.5.1 求0/0型或∞/∞型极限(8) 题型1.1.5.2 求0·∞型极限(12) 题型1.1.5.3 求∞-∞型极限(13) 题型1.1.5.4 求幂指函数型（00型，∞0型,1∞型)极限(13) 1.1.6求数列极限(17) 题型1.1.6.1求数列通项为n项和的极限(17) 题型1.1.6.2求由递推关系式给出的数列极限(22) 1.1.7求几类特殊子函数形式的函数极限(25) 题型1.1.7.1求需先考察左、右极限的函数极限(25) 题型1.1.7.2求含根式差的函数极限(27) 题型1.1.7.3求含或可化为含指数函数差的函数极限(27) 题型1.1.7.4求含lnf(x)的函数极限，其中limx→□f(x)=1(28) 题型1.1.7.5求含有界变量因子的函数极限(29) 1.1.8求含参变量的函数极限limn→∞φ(n,x)(29) 题型1.1.8.1求limn→∞φ(n,x),其中φ(n,x)为或可化为F(x)g(n)指数函数型(29) 题型1.1.8.2求limn→∞φ(n,x),其中φ(n,x)为或可化为g(n)F(x)幂函数型(30) 题型1.1.8.3求limt→t0φ(t,x)，其中φ(t,x)可化为g(t)F(x)型或F(x)g(t)型(30) 题型1.1.8.4求limn→∞φ(n,x)或limt→t0φ(t,x)，其中φ(n,x)=F(n,x)g(x,n)或φ(t,x)=F(t,x)g(t,x) (30) 1.1.9已知一极限求其待定常数或含未知函数的另一极限(31) 题型1.1.9.1由含未知函数的一(些)极限，求含该函数的另一极限(31) 题型1.1.9.2已知极限式的极限，求其待定常数(32) 1.1.10比较和确定无穷小量的阶(34) 题型1.1.10.1比较无穷小量的阶(35) 题型1.1.10.2确定无穷小量为几阶无穷小量(36) 1.1.11讨论函数的连续性及间断点的类型(36) 题型1.1.11.1判别函数的连续性(36) 题型1.1.11.2讨论分段函数的连续性(37) 题型1.1.11.3判别函数间断点的类型(39) 1.1.12连续函数性质的两点应用(40) 题型1.1.12.1证明存在ξ∈［a,b］，使含ξ的等式成立(41) 题型1.1.12.2证明方程实根的存在性(42) 1.2一元函数微分学(44) 1.2.1导数定义的四点应用(44) 题型1.2.1.1判断函数在某点的可导性(44) 题型1.2.1.2利用导数定义求某些函数的极限(48) 题型1.2.1.3利用导数定义讨论函数性质(50) 题型1.2.1.4利用导函数符号及函数单调性比较函数值的大小(50) 1.2.2讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性(50) 题型1.2.2.1讨论分段函数的可导性(50) 题型1.2.2.2讨论分段函数的导函数的连续性(51) 题型1.2.2.3讨论一类特殊分段函数在其分段点的连续性、可导性及其导函数的连续性 (52) 1.2.3讨论含绝对值函数的可导性(52) 题型1.2.3.1讨论绝对值函数|f(x)|的可导性(52) 题型1.2.3.2讨论函数f(x)=|φ(x)|g(x)的可导性(52) 1.2.4求一元函数的导数和微分(54) 题型1.2.4.1求复合函数的导数(54) 题型1.2.4.2求反函数的导数(54) 题型1.2.4.3求隐函数的导数(55) 题型1.2.4.4求分段函数的一阶、二阶导数(56) 题型1.2.4.5求幂指函数及含多个因子连乘积的函数的导数(56) 题型1.2.4.6求由参数方程所确定的函数的导数(57) 题型1.2.4.7求某些简单函数的高阶导数(57) 题型1.2.4.8求一元函数的微分(60) 1.2.5利用函数的连续性、可导性确定其待定常数(62) 题型1.2.5.1利用函数的连续性确定其待定常数(62) 题型1.2.5.2根据函数的可导性确定其待定常数(62) 1.2.6利用微分中值定理的条件及其结论解题(63) 1.2.7利用罗尔定理证明中值等式(65) 题型1.2.7.1证明中值等式f′(ξ)=0或f″(ξ)=0(65) 题型1.2.7.2证明存在ξ∈(a,b)，使cf′(ξ)=bg′(ξ)，其中c,b为常数(66) 题型1.2.7.3证明存在ξ∈(a,b)，使(66) 题型1.2.7.4证明存在ξ∈(a,b)，使f(ξ)g′(ξ) f′(ξ)g(ξ)=0(67) 题型1.2.7.5证明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ)g(ξ)-f(ξ)g′(ξ)=0 (g(ξ)≠0)(68) 题型1.2.7.6证明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ) g′(ξ)f(ξ)=0(68) 题型1.2.7.7证明存在ξ∈(a,b)，使nf(ξ) ξf′(ξ)=0(n为正整数)(68) 题型1.2.7.8证明存在ξ∈(a,b)，使f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ)，即f(ξ)g″(ξ)-f″(ξ)g(ξ)=0 (69) 题型1.2.7.9证明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ) g′(ξ)［f(ξ)-bξ］=b(69) 题型1.2.7.10证明与定积分有关的中值等式(70) 1.2.8拉格朗日中值定理的应用(72) 题型1.2.8.1证明与函数改变量(增量)有关的中值（不）等式(72) 题型1.2.8.2证明函数与其导数的关系(72) 题型1.2.8.3求解与函数差值有关的问题(74) 题型1.2.8.4证明多个中值所满足的中值等式(74) 题型1.2.8.5求中值的极限位置(75) 1.2.9利用柯西中值定理证明中值等式(76) 题型1.2.9.1证明两函数差值（增量）比的中值等式(76) 题型1.2.9.2证明两函数导数比的中值等式(77) 1.2.10泰勒定理的两点应用(78) 题型1.2.10.1证明与高阶导数有关的中值（不）等式(78) 题型1.2.10.2计算按常规方法不好求的未定式极限(79) 1.2.11利用导数证明不等式(79) 题型1.2.11.1证明函数不等式(80) 题型1.2.11.2证明数值不等式(85) 1.2.12讨论函数的性态(85) 题型1.2.12.1证明函数在区间I上是一个常数(85) 题型1.2.12.2证明(判别)函数的单调性(86) 题型1.2.12.3讨论函数是否取得极值(86) 题型1.2.12.4利用二阶微分方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点(88) 题型1.2.12.5求曲线凹凸区间与拐点(89) 题型1.2.12.6求函数的单调区间、极值、*值(91) 题型1.2.12.7求曲线的渐近线(94) 1.2.13利用函数性态讨论方程的根(95) 题型1.2.13.1讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数(95) 题型1.2.13.2讨论含参数的方程实根的存在性及其个数(96) 1.2.14函数性态与函数图形(96) 题型1.2.14.1利用函数性态作函数图形(96) 题型1.2.14.2利用函数的图形，确定其导函数的图形(98) 题型1.2.14.3利用导函数的图形，确定原来函数的性态(98) 1.2.15一元函数微分学的应用(99) 题型1.2.15.1求平面曲线的切线方程和法线方程(99) 题型1.2.15.2求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题(100) 题型1.2.15.3求解与两曲线相切的有关问题(101) 题型1.2.15.4求解与平面曲线的曲率有关的问题(101) 1.3一元函数积分学(103) 1.3.1原函数与不定积分的关系(103) 题型1.3.1.1原函数的概念及其判定(103) 题型1.3.1.2求分段函数的原函数或不定积分(104) 题型1.3.1.3利用积分运算与微分运算的互逆关系求解与原函数有关的问题(105) 1.3.2各类被积函数不定积分的算法(106) 题型1.3.2.1求被积函数为f(x)/g(x)的不定积分,其中f(x)=g′(x)或f′(x)=1/g(x) (106) 题型1.3.2.2计算被积表达式中出现或可化为f(φ(x))和φ′(x)dx乘积的不定积分(106) 题型1.3.2.3计算被积函数仅为一类函数或为两类不同函数乘积的不定积分(107) 题型1.3.2.4计算简单无理函数的不定积分(109) 题型1.3.2.5求∫1(ax b)kf1(ax b)k-1dx，其中k≠1为正实数(111) 题型1.3.2.6求被积函数的分母为或可化为相差常数的两函数乘积的积分(112) 题型1.3.2.7求三角函数有理式的不定积分(113) 题型1.3.2.8求被积函数含复合对数函数或复合反三角函数为因子函数的积分(114) 题型1.3.2.9有理分式函数∫P(x)Q(x)dx(P(x),Q(x)为多项式)的积分算法(114) 1.3.3利用定积分性质计算定积分(116) 题型1.3.3.1利用其几何意义计算定积分(116) 题型1.3.3.2计算对称区间上的定积分(117) 题型1.3.3.3计算周期函数的定积分(119) 题型1.3.3.4利用定积分的常用计算公式计算定积分(121) 题型1.3.3.5计算被积函数含函数导数的积分(122) 题型1.3.3.6比较和估计定积分的大小(123) 题型1.3.3.7求解含积分值为常数的函数方程(124) 题型1.3.3.8计算几类须分子区间积分的定积分(125) 题型1.3.3.9计算含参变量的定积分(127) 题型1.3.3.10计算需换元计算的定积分(127) 题型1.3.3.11求由定积分表示的变量极限(129) 1.3.4求解与变限积分有关的问题(129) 题型1.3.4.1计算含变限积分的极限(130) 题型1.3.4.2求变限积分的导数(132) 题型1.3.4.3求变限积分的定积分(134) 题型1.3.4.4讨论变限积分函数的性态(135) 1.3.5证明定积分等式(136) 题型1.3.5.1证明定积分的变换公式(136) 题型1.3.5.2证明含定积分的中值等式(137) 1.3.6证明定积分不等式(138) 题型1.3.6.1证明积分限相等时不等式两端成为零的积分不等式(138) 题型1.3.6.2证明函数f(x)在［a,b］上的定积分满足的不等式，其中f(x)在［a,b］上满足拉格朗日中值定理的条件，且在区间端点处取零值(139) 题型1.3.6.3证明被积函数或其主要部分高阶可导的定积分不等式(140) 题型1.3.6.4在题设条件或待证结论中，已知f(x)的定积分表达式，证其所满足的定积分不等式(141) 1.3.7计算反常积分(141) 题型1.3.7.1计算无穷区间上的反常积分(141) 题型1.3.7.2判别无界函数的反常积分的敛散性，如收敛计算其值(144) 题型1.3.7.3判别混合型反常积分的敛散性，若收敛计算其值(146) 1.3.8定积分的应用(147) 题型1.3.8.1已知曲线方程，求其所围平面图形的面积(147) 题型1.3.8.2已知曲线所围平面图形的面积(或其旋转体体积)反求该曲线(148) 题型1.3.8.3计算平面曲线的弧长(149) 题型1.3.8.4计算平行截面面积已知的立体体积(149) 题型1.3.8.5求旋转体体积(150) 题型1.3.8.6求旋转体的侧(表)面积(152) 题型1.3.8.7求解几何应用与*值问题相结合的应用题(153) 题型1.3.8.8计算变力所做的功(154) 题型1.3.8.9计算变速运动的位移(155) 题型1.3.8.10计算液体的侧压力(156) 题型1.3.8.11计算细杆对质点的引力(156) 题型1.3.8.12计算函数在区间上的平均值(157) 1.4向量代数和空间解析几何(158) 1.4.1向量代数及其简单应用(158) 题型1.4.1.1用坐标表达式进行向量运算(158) 题型1.4.1.2计算向量的数量积、向量积、混合积(159) 题型1.4.1.3利用向量运算证明(确定)向量关系(161) 1.4.2求平面方程(161) 题型1.4.2.1求过已知点的平面方程(162) 题型1.4.2.2求过已知直线的平面方程(163) 题型1.4.2.3根据平面在坐标轴上的相对位置求其方程(163) 题型1.4.2.4求过两平面交线的平面方程(164) 1.4.3求直线方程(165) 题型1.4.3.1求过已知点的直线方程(166) 题型1.4.3.2求过已知点且与已知直线相交的直线方程(166) 题型1.4.3.3求与两直线相交的直线方程(167) 题型1.4.3.4求直线在平面上的投影直线方程(168) 1.4.4讨论直线与平面的位置关系(168) 题型1.4.4.1讨论平面间的位置关系(168) 题型1.4.4.2讨论直线与直线的位置关系(170) 题型1.4.4.3讨论直线与平面的位置关系(171) 1.4.5求点到平面或到直线的距离(171) 题型1.4.5.1求点到平面的距离(172) 题型1.4.5.2求点到直线的距离(173) 1.4.6求二次曲面方程和空间曲线在坐标面上的投影方程(174) 题型1.4.6.1求坐标面上曲线绕坐标轴旋转所得的旋转曲面方程(174) 题型1.4.6.2求空间曲线绕坐标轴旋转所得的曲面方程(175) 题型1.4.6.3求母线平行于坐标轴的柱面方程(176) 题型1.4.6.4求空间曲线在坐标面上的投影方程(177) 1.4.7求解空间解析几何与线性代数、微积分相结合的综合题(177) 1.5多元函数微分学及其应用(180) 1.5.1正确理解二元函数连续、可偏导及可微之间的关系(180) 题型1.5.1.1依定义判别二元函数在某点是否连续、可偏导及可微(180) 题型1.5.1.2判别二元函数连续、可偏导、可微之间的关系(182) 1.5.2计算多元函数的偏导数和全微分(183) 题型1.5.2.1利用隐函数存在定理确定隐函数(183) 题型1.5.2.2求抽象复合函数的偏导数(183) 题型1.5.2.3计算隐函数的导数(186) 题型1.5.2.4求对称函数的偏导数(188) 题型1.5.2.5求与方向导数和梯度有关的问题(189) 题型1.5.2.6求二元函数的全微分(191) 1.5.3多元函数微分学的应用(191) 题型1.5.3.1已知空间曲线的参数方程，求其切线或法平面方程(191) 题型1.5.3.2已知空间曲线为两曲面的交线，求其切线或法平面方程(192) 题型1.5.3.3已知空间曲面方程，求其切平面或法线方程(194) 题型1.5.3.4求二元函数的极值和*值(195) 题型1.5.3.5求二(多)元函数的条件极值(198) 1.6多元函数积分学(200) 1.6.1利用区域的对称性化简多元函数的积分(200) 题型1.6.1.1计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的重积分(200) 题型1.6.1.2计算积分区域关于直线y=x对称的二重积分(202) 题型1.6.1.3计算积分区域具有轮换对称性的三重积分(203) 题型1.6.1.4计算积分曲线（面）具有对称性的第1类曲线（面）积分(203) 题型1.6.1.5计算平面积分曲线关于y=x对称的第1类曲线积分(204) 题型1.6.1.6计算空间积分曲线（曲面）具有轮换对称性的第1类曲线（曲面）积分(205) 1.6.2交换积分次序及转换二次积分(205) 题型1.6.2.1交换二次积分的积分次序(205) 题型1.6.2.2转换二次积分(207) 1.6.3计算二重积分(208) 题型1.6.3.1计算被积函数分区域给出的二重积分(208) 题型1.6.3.2计算圆域或部分圆域上的二重积分(209) 1.6.4计算三重积分(211) 题型1.6.4.1计算积分域的边界方程中含某个变量的方程只有两个的三重积分(212) 题型1.6.4.2计算积分区域为旋转体的三重积分(212) 题型1.6.4.3计算积分区域由球面或球面与锥面所围成的三重积分(212) 题型1.6.4.4计算被积函数至少缺两个变量的三重积分(214) 题型1.6.4.5计算易求出其截面区域上的二重积分的三重积分(215) 1.6.5计算曲线积分(215) 题型1.6.5.1计算第1类平面曲线积分(216) 题型1.6.5.2求解平面上与路径无关的第二类曲线积分有关问题(217) 题型1.6.5.3计算平面上与路径有关的第二类曲线积分(221) 题型1.6.5.4计算空间第二类曲线积分(223) 题型1.6.5.5计算积分曲线具有对称性的第二类曲线积分(225) 1.6.6计算曲面积分(227) 题型1.6.6.1计算第1类曲面积分(227) 题型1.6.6.2计算第二类曲面积分(230) 题型1.6.6.3计算积分曲面具有对称性的第二类曲面积分(237) 题型1.6.6.4已知第二类曲面积分的值，求被积式中的未知函数(237) 1.6.7多元函数积分学的应用(238) 题型1.6.7.1计算空间曲线的弧长(238) 题型1.6.7.2求曲面面积(238) 题型1.6.7.3计算立体体积(240) 题型1.6.7.4求质量、质心、形心及转动惯量(241) 题型1.6.7.5计算变力沿曲线所做的功(245) 题型1.6.7.6计算物体对质点的引力(246) 题型1.6.7.7计算向量场的散度与流量(通量)(247) 题型1.6.7.8计算向量场的旋度与环流量(249) 1.7级数(251) 1.7.1判别三类常数项级数的敛散性(251) 题型1.7.1.1判别正项级数的敛散性(251) 题型1.7.1.2判别交错级数的敛散性(255) 题型1.7.1.3判别任意项级数的敛散性(257) 1.7.2证明常数项级数的敛散性(260) 题型1.7.2.1证明一般项为或可化为相邻两项代数和的级数的敛散性(260) 题型1.7.2.2已知一级数收敛，证明相关级数收敛(261) 题型1.7.2.3已知一般项有极限，证明该级数的敛散性(262) 题型1.7.2.4证明(判别)一般项为(含)定积分的级数的敛散性(262) 题型1.7.2.5证明一般项用递推关系式给出的级数的敛散性(263) 题型1.7.2.6已知函数高阶可导，证明由该函数值组成的级数的敛散性(263) 题型1.7.2.7利用级数的收敛性，求有关数列的极限(263) 1.7.3幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法(264) 1.7.4求幂级数与数项级数的和(266) 题型1.7.4.1求∑∞n=1P(n)xn的和函数，P(n)为n的多项式(267) 题型1.7.4.2求∑∞n=01Q(n)xn的和函数，Q(n)为n的多项式(269) 题型1.7.4.3求含阶乘因子的幂级数的和函数(271) 题型1.7.4.4求数项级数的和(273) 1.7.5将简单函数间接展开成幂级数(276) 题型1.7.5.1求反三角函数的幂级数展开式(276) 题型1.7.5.2将对数函数展成幂级数(277) 题型1.7.5.3将有理分式函数展成幂级数(277) 题型1.7.5.4将三角函数展成幂级数(277) 题型1.7.5.5利用幂级数展开式求函数的高阶导数(278) 1.7.6傅里叶级数(278) 题型1.7.6.1将周期函数展为傅里叶级数(278) 题型1.7.6.2求傅里叶系数(283) 题型1.7.6.3求傅里叶级数的和函数在某点的值(284) 1.8常微分方程(285) 1.8.1求解一阶线性微分方程(285) 题型1.8.1.1求解可分离变量的微分方程(285) 题型1.8.1.2求解齐次方程(286) 题型1.8.1.3求解一阶线性方程(287) 题型1.8.1.4求解几类可化为一阶线性方程的方程(288) 题型1.8.1.5求解方程P(x,y)dx Q(x,y)dy=0(289) 题型1.8.1.6求解由变量的增量关系给出的一阶方程(291) 题型1.8.1.7求满足某种性质的一阶微分方程的特解(291) 1.8.2求解二阶(高阶)线性微分方程(292) 题型1.8.2.1利用线性微分方程解的结构和性质求解有关问题(293) 题型1.8.2.2求解可降阶的二阶微分方程(294) 题型1.8.2.3求解高阶常系数齐次线性方程(295) 题型1.8.2.4求解二阶常系数非齐次线性方程(296) 题型1.8.2.5变换已知的微分方程为新的形式，并求其解(299) 题型1.8.2.6求解欧拉方程(300) 题型1.8.2.7求解含变限积分的方程(301) 题型1.8.2.8求解可化为一阶线性微分方程的函数方程(302) 1.8.3已知特解反求其常系数线性方程(302) 题型1.8.3.1已知特解反求其齐次方程(302) 题型1.8.3.2已知特解反求其非齐次方程(303) 1.8.4用微分方程求解几何和物理中的简单应用题(304) 第2篇 线性代数 2.1计算行列式(310) 2.1.1计算数字型行列式(310) 题型2.1.1.1计算非零元素主要在一条或两条对角线上的行列式(310) 题型2.1.1.2计算非零元素在三条线上的行列式(311) 题型2.1.1.3计算行(列)和相等的行列式(312) 题型2.1.1.4计算范德蒙行列式(313) 题型2.1.1.5求代数余子式线性组合的值(315) 题型2.1.1.6计算n阶可逆矩阵的所有代数余子式的和(315) 2.1.2计算抽象矩阵的行列式(316) 题型2.1.2.1求由行(列)向量表示的矩阵的行列式的值(316) 题型2.1.2.2计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式(317) 题型2.1.2.3计算含零子块的四分块矩阵的行列式(318) 题型2.1.2.4证明方阵的行列式等于零，或不等于零(318) 2.1.3克拉默法则的应用(319) 2.2矩阵(321) 2.2.1证明矩阵的可逆性(321) 题型2.2.1.1已知一矩阵等式，证明有关矩阵可逆,并求其逆矩阵(321) 题型2.2.1.2证明矩阵A可逆，且A-1=B(322) 题型2.2.1.3证明和(差)矩阵可逆(323) 题型2.2.1.4求矩阵的逆矩阵,该矩阵含一(些)矩阵的逆矩阵(324) 题型2.2.1.5证明方阵为不可逆矩阵(325) 2.2.2矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法(325) 2.2.3求解与伴随矩阵有关的问题(326) 题型2.2.3.1计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式(327) 题型2.2.3.2求与伴随矩阵有关的矩阵的逆矩阵(328) 题型2.2.3.3求与伴随矩阵有关的矩阵的秩(328) 题型2.2.3.4求伴随矩阵(328) 2.2.4计算n阶矩阵的高次幂(329) 题型2.2.4.1计算能分解为一列向量与一行向量相乘的矩阵的高次幂(329) 题型2.2.4.2计算能相似对角化的矩阵的高次幂(330) 题型2.2.4.3计算能分解为两可交换矩阵之和的矩阵的高次幂(331) 题型2.2.4.4计算其平方等于原矩阵或单位矩阵倍数的矩阵的高次幂(331) 2.2.5求矩阵的秩(332) 题型2.2.5.1求元素具体给定的矩阵的秩(332) 题型2.2.5.2求含抽象矩阵或含待定常数的矩阵的秩(333) 题型2.2.5.3已知矩阵的秩，求其待定常数(336) 2.2.6分块矩阵乘法运算的应用举例(337) 2.2.7求解矩阵方程(338) 题型2.2.7.1求解含单位矩阵加项的矩阵方程(338) 题型2.2.7.2求解只含一个未知矩阵的矩阵方程(340) 题型2.2.7.3求解含多个未知矩阵的矩阵方程(340) 题型2.2.7.4已知一矩阵方程，求方程中某矩阵的行列式(342) 2.2.8初等变换与初等矩阵的关系的应用(343) 题型2.2.8.1用初等矩阵表示相应的初等变换(343) 题型2.2.8.2利用初等矩阵的逆矩阵的性质计算矩阵(344) 2.3向量(345) 2.3.1判别向量组线性相关与线性无关(345) 题型2.3.1.1用线性相关性定义做选择题、填空题(345) 题型2.3.1.2判别分量已知的向量组的线性相关性(346) 题型2.3.1.3证明几类向量组的线性相关性(347) 题型2.3.1.4已知向量组的线性相关性，求其待定常数(352) 2.3.2判定向量能否由向量组线性表示(353) 题型2.3.2.1判定分量已知的向量能否由向量组线性表示(353) 题型2.3.2.2判断一抽象向量能否由向量组线性表示(354) 题型2.3.2.3判别一向量组能否由另一向量组线性表示(355) 2.3.3两向量组等价的判别方法及常用证法(356) 2.3.4向量组的秩与极大线性无关组(359) 题型2.3.4.1求分量给出的向量组的秩及其极大线性无关组(360) 题型2.3.4.2将向量用极大线性无关组线性表示(361) 题型2.3.4.3证明抽象向量组的秩有关问题(361) 题型2.3.4.4证某向量组为一极大无关组(363) 2.3.5向量空间(364) 题型2.3.5.1求解空间的基、标准正交基(规范正交基)(364) 题型2.3.5.2求过渡矩阵(366) 题型2.3.5.3求向量在某组基下的坐标(367) 2.4线性方程组(371) 2.4.1判定线性方程组解的情况(371) 题型2.4.1.1判定齐次线性方程组解的情况(371) 题型2.4.1.2判定非齐次线性方程组解的情况(373) 2.4.2由其解反求方程组或其参数(375) 题型2.4.2.1已知AX=0的解的情况，反求A中参数(375) 题型2.4.2.2已知AX=b的解的情况，反求方程组中参数(376) 题型2.4.2.3已知其基础解系，求该方程组的系数矩阵(377) 2.4.3证明一组向量为基础解系(378) 2.4.4基础解系和特解的简便求法(379) 2.4.5求解含参数的线性方程组(380) 题型2.4.5.1求解方程个数与未知数个数相等的含参数的线性方程组(381) 题型2.4.5.2求解方程个数与未知数个数不等的含参数的线性方程组(381) 题型2.4.5.3求解参数仅出现在常数项的线性方程组(382) 题型2.4.5.4求含参数的方程组满足一定条件的通解(383) 题型2.4.5.5求解有无穷多解的矩阵方程(384) 2.4.6求抽象线性方程组的通解(385) 题型2.4.6.1A没有具体给出，求AX=0的通解(385) 题型2.4.6.2已知AX=b的特解，求其通解(386) 题型2.4.6.3利用线性方程组的向量形式求(证明)其解(388) 2.4.7求两线性方程组的非零公共解(389) 题型2.4.7.1求两齐次线性方程组的非零公共解(389) 题型2.4.7.2证明两齐次线性方程组有非零公共解(392) 题型2.4.7.3讨论两方程组同解的有关问题(392) 2.5矩阵的特征值、特征向量(394) 2.5.1求矩阵的特征值、特征向量(394) 题型2.5.1.1求元素给出的矩阵的特征值、特征向量(394) 题型2.5.1.2证明(求)抽象矩阵的特征值、特征向量(396) 2.5.2由特征值和(或)特征向量反求其矩阵(398) 题型2.5.2.1由特征值和(或)特征向量反求矩阵的待定常数(398) 题型2.5.2.2已知特征值、特征向量，反求其矩阵(399) 题型2.5.2.3计算Anβ,其中β为列向量,A为方阵(401) 2.5.3求相关联矩阵的特征值、特征向量(401) 2.5.4判别同阶方阵是否相似(403) 题型2.5.4.1判别或证明方阵是否可对角化(403) 题型2.5.4.2判别或证明两同阶方阵是否相似(406) 2.5.5相似矩阵性质的简单应用(407) 2.5.6与两矩阵相似有关的计算(408) 题型2.5.6.1矩阵A可相似对角化，求A中待定常数及可逆矩阵P，使P-1AP=diag(λ1,λ2,…，λn),其中λ1,λ2,…,λn为A的特征值(408) 题型2.5.6.2A为实对称矩阵，求A中待定常数及正交矩阵Q，使Q-1AQ=QTAQ=diag(λ1,λ2,…，λn)，其中λ1，λ2，…，λn为A的特征值(409) 题型2.5.6.3A为实对称矩阵，求与其相似的对角矩阵Λ(410) 题型2.5.6.4已知矩阵A和可逆矩阵P满足一等式，求矩阵B，使P-1AP=B(410) 2.6二次型(412) 2.6.1化二次型为标准形(412) 题型2.6.1.1化二次型为标准形(412) 题型2.6.1.2已知二次型的标准形，确定该二次型(421) 2.6.2判别或证明实二次型（实对称矩阵）的正定性(422) 题型2.6.2.1判别或证明具体二次型（或实对称矩阵）的正定性(423) 题型2.6.2.2判别或证明抽象的二次型(或实对称矩阵)的正定性(425) 题型2.6.2.3确定参数的取值范围使二次型或其矩阵正定(427) 题型2.6.2.4证明与正定矩阵相关联的矩阵的正定性(428) 2.6.3合同矩阵(428) 题型2.6.3.1判别两实对称矩阵合同(428) 题型2.6.3.2讨论矩阵等价、相似及合同的关系(430) 第3篇 概率论与数理统计 3.1随机事件和概率(433) 3.1.1随机事件间的关系及运算(433) 题型3.1.1.1描绘随机试验的样本空间(433) 题型3.1.1.2用式子表示事件关系及其运算(433) 题型3.1.1.3利用事件运算的性质或图示法简化事件算式(434) 题型3.1.1.4求满足一定条件的事件关系(434) 3.1.2直接计算随机事件的概率(435) 题型3.1.2.1计算古典型概率(435) 题型3.1.2.2计算几何型概率(436) 题型3.1.2.3计算伯努利概型中事件的概率(438) 3.1.3间接计算随机事件的概率(439) 题型3.1.3.1计算和、差、积事件的概率(439) 题型3.1.3.2求与包含关系有关的事件的概率(441) 题型3.1.3.3计算与互斥事件有关的事件的概率(442) 题型3.1.3.4求与条件概率有关的事件的概率(442) 题型3.1.3.5求与他事件有关的单个事件的概率(443) 题型3.1.3.6判别或证明事件概率不等式(443) 3.1.4几个计算概率公式的实际应用(444) 题型3.1.4.1用加法公式求解实际应用题(444) 题型3.1.4.2用条件概率与概率的乘法公式求解实际应用题(445) 题型3.1.4.3用全概公式和逆概(贝叶斯)公式求解实际应用题(445) 题型3.1.4.4利用抽签原理计算事件概率(449) 3.1.5判别事件的独立性(450) 题型3.1.5.1判别(证明)两事件相互独立(450) 题型3.1.5.2判别(证明)n(n>2)个事件相互独立(451) 3.2一维随机变量及其分布(453) 3.2.1分布列、概率密度及分布函数性质的应用(453) 题型3.2.1.1判别分布列、概率密度及分布函数(454) 题型3.2.1.2利用分布的性质，确定待定常数或所满足的条件(456) 题型3.2.1.3求随机变量落在某点或某区间上的概率(456) 3.2.2求分布列(概率分布)、概率密度及分布函数(458) 题型3.2.2.1求概率分布(分布律)及其分布函数(458) 题型3.2.2.2求连续型或混合型随机变量的分布函数或其取值(460) 题型3.2.2.3求概率密度(462) 3.2.3利用常见分布计算有关事件的概率(463) 题型3.2.3.1利用二项分布计算伯努利概型中事件的概率(463) 题型3.2.3.2利用超几何分布计算事件的概率(465) 题型3.2.3.3利用几何分布计算事件的概率(466) 题型3.2.3.4利用泊松分布计算事件的概率(467) 题型3.2.3.5利用均匀分布计算事件的概率(468) 题型3.2.3.6利用指数分布计算事件的概率(469) 题型3.2.3.7利用正态分布计算事件的概率(471) 题型3.2.3.8利用相关分布与二项分布相结合计算事件的概率(474) 3.2.4随机变量函数的分布(474) 题型3.2.4.1已知一离散型随机变量的分布,求其函数(另一离散型随机变量)的分布 (474) 题型3.2.4.2已知一连续型随机变量的分布，求其函数(另一连续型随机变量)的分布 (476) 题型3.2.4.3已知一连续型随机变量的分布,求其函数(离散型随机变量)的分布(479) 题型3.2.4.4讨论随机变量函数分布的性质(480) 3.3二维随机变量的联合概率分布(481) 3.3.1求二维随机变量的分布(481) 题型3.3.1.1求二维离散型随机变量的联合分布律(481) 题型3.3.1.2求二维随机变量的边缘分布(484) 题型3.3.1.3由联合分布、边缘分布求条件分布(488) 题型3.3.1.4由条件分布反求联合分布、边缘分布(491) 题型3.3.1.5已知分区域定义的联合密度，求其分布函数(492) 3.3.2随机变量的独立性(493) 题型3.3.2.1判别两随机变量的独立性(493) 题型3.3.2.2利用独立性确定联合分布中的待定常数(497) 3.3.3计算二维随机变量取值的概率(498) 题型3.3.3.1计算两离散型随机变量运算后取值的概率(498) 题型3.3.3.2求二维连续型随机变量落入平面区域内的概率(499) 题型3.3.3.3求与max(X,Y)或(和)min(X,Y)有关的概率(500) 题型3.3.3.4求系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率(501) 3.3.4求二维随机变量函数的分布(502) 题型3.3.4.1已知(X，Y)的联合分布律，求Z=g(X,Y)的分布律(502) 题型3.3.4.2求两随机变量之和的分布(504) 题型3.3.4.3已知X，Y的分布，求max(X,Y)或(和)min(X,Y)的分布(507) 3.4随机变量的数字特征(511) 3.4.1求一维随机变量的数字特征(511) 题型3.4.1.1求随机变量的数学期望与方差(511) 题型3.4.1.2求随机变量函数的数学期望与方差(515) 题型3.4.1.3计算随机变量的矩(518) 3.4.2求二维随机变量的数字特征(519) 题型3.4.2.1求(X，Y)的函数g(X，Y)的数学期望和方差(519) 题型3.4.2.2计算协方差和相关系数(522) 3.4.3计算两类分布的数字特征(527) 题型3.4.3.1计算正态分布的数字特征(527) 题型3.4.3.2计算Z=max(X,Y)或(和)W=min(X,Y)的数字特征(528) 3.4.4讨论随机变量相关性与独立性的关系(531) 题型3.4.4.1确定两随机变量相关与不相关(531) 题型3.4.4.2讨论相关性与独立性的关系(532) 3.4.5已知数字特征，求分布中的待定常数(533) 3.4.6求解两类综合应用题(535) 题型3.4.6.1求解与数字特征有关的实际应用题(535) 题型3.4.6.2求解概率论与其他数学分支的综合应用题(535) 3.5大数定律和中心极限定理(538) 3.5.1用切比雪夫不等式估计事件的概率(538) 3.5.2大数定律成立的条件和结论(540) 题型3.5.2.1利用三个大数定律成立的条件解题(542) 题型3.5.2.2求随机变量序列依概率的收敛值(544) 3.5.3两个中心极限定理的简单应用(545) 题型3.5.3.1利用棣莫弗拉普拉斯定理近似计算事件概率(545) 题型3.5.3.2已知随机变量取值的概率，估计取值范围(546) 题型3.5.3.3应用列维林德伯格中心极限定理的条件、结论解题(546) 题型3.5.3.4近似计算n个随机变量之和取值的概率(547) 题型3.5.3.5已知n个随机变量之和取值的概率，求个数n(548) 3.6数理统计初步(549) 3.6.1求解与统计量分布有关的问题(549) 题型3.6.1.1求解与统计量分布有关的基本概念问题(549) 题型3.6.1.2求统计量的分布及其分布参数(552) 题型3.6.1.3求统计量取值的概率(557) 题型3.6.1.4求统计量的数字特征(559) 题型3.6.1.5求经验分布函数(560) 3.6.2参数估计(561) 题型3.6.2.1求总体分布中未知参数的矩估计量(值)(562) 题型3.6.2.2求未知参数的极(*)大似然估计量(值)(565) 题型3.6.2.3判别估计量的无偏性(569) 题型3.6.2.4求正态总体参数的置信区间及其有关参数(572) 3.6.3假设检验(575) 题型3.6.3.1计算简单情形下的两类错误概率(576) 题型3.6.3.2对单个正态总体参数进行假设检验(576) 题型3.6.3.3对两个正态总体参数进行假设检验(578) 题型3.6.3.4用检验方法及其结论做填空题与选择题(579) 附录一 经典常考题型同步测试题(581) 附录二习题答案与提示(624)