医学高等数学(第四版)

**章 函数、极限与连续 函数是高等数学研究的主要对象之一，它刻画了变量之间的相互制约关系.本章从函数出发，用运动和变化的观点来研究函数极限和连续.函数极限刻画了变量的变化趋势，高等数学中的许多概念和理论都是以极限为基础的，极限使高等数学与初等数学有了本质的差异.函数的连续性是函数可微的必要条件，又是函数可积的充分条件，所以连续函数是高等数学研究的主要函数.由此，本章主要介绍函数、函数极限和函数的连续性，为后续章节奠定基础. 1.1* 函数 1.1.1 函数的概念 一、常量与变量在某一变化过程中始终保持相对静止状态的量称为常量(constant quantity)；时时处于变化着的量称为变量( variable).前者记为a，b，c等，后者记为x，y，t等.如在一般情况下，人体器官的个数为常量，而人的身高、体重随年龄而变化，因此它们均为变量. 常量与变量的区分不是绝对的，而是相对的.这由当时所考虑问题的条件而定.如人的身高，在1天内就可认为是常量，而在1年内它就是变量；又如在圆的半径增加过程中，其周长和面积都是变量，而周长与直径之比却是常量(即为π). 二、函数的概念 在某一变化过程中，变量之间的关系往往不是孤立存在的，而是相互影响和相互制约的，它们彼此之间存在着一种确定的对应关系，这种关系在数学上概括为函数关系. 【定义1】设在某个变化过程中存在两个变量x、y，若对于某一非空数集中的每一个x值，按照某一确定的关系f都有唯一一个实数y与之对应，则称变量y是变量x的函数(function)，记为y=f(x).其中x称为自变量(independent variable)，y称为因变量(dependent variable).使函数有意义的x的取值范围称为函数的定义域(domain of definition)，通常用D表示；y的取值范围称为函数的值域(domain of functional value)，通常记为R，即R=｛ｙ｜y=f(x)，x∈D｝. 函数的定义有两个要素：一是自变量x必须有明确的定义域D；二是在定义域范围内，变量x与y有确定的对应关系，这两个要素决定值域R.如果两个函数相等，这两个要素必须完全相同. 考查函数y=2(x+1)与函数是否相等.它们的定义域不同，前者的定义域是(-∞，+∞)，后者的定义域是(-∞，1)∪(1，+∞)，从而决定了它们的值域也不同，所以这两个函数不相等. 函数概念中两个变量之间的对应关系通常用三种表达方式：解析法、表格法和图表法.医学高等数学重点研究的是解析法. 在解析法中，如果函数f(x)在定义域内有定义，且x0∈D，则称y(x0）、f(x0）或为函数在x0处的函数值.解析法表示的函数f(x)在平面直角坐标系中表示平面曲线. 在研究函数时，经常用到一点的邻域概念.所谓邻域是指如果x0是实数轴上一点，δ为正实数，则适合开区间x0-δ＜x＜x0+δ的x的全体称为点x0的邻域(neighborhood)，记为U(x0，δ)=｛x‖x-x0｜＜δ｝. 1.1.2 函数的特性 一、单调性 设函数f(x)的定义域为D，如果在D中某一个子区间I中任意取两个值x1和x2，当x1＜x2时，有f(x１)＜f(x2)［或f(x１)＞f(x2)］，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的，见图1-1（a）［或单调减少的，见图1-1（b）］.单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数(monotone function). 如y=x3在区间(-∞，+∞)上是单调增加的；而上是单调增加的，在上是单调减少的. 从图1-1可知，单调函数图像的特点是：单调增加函数对应的曲线随自变量x的逐渐增大而上升；单调减少函数对应的曲线随自变量x逐渐增大而下降. 图1-1 二、奇偶性 设函数y=f(x)的定义域为D，对D内任意一点x，也有-x∈D，如果都满足f(-x)=f(x)，则称函数f(x)在D内是偶函数(even function)；如果都满足f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)在D内是奇函数(oddf unction). 如y=x2在其定义域(-∞，+∞)上是偶函数；y=sinx在其定义域(-∞，+∞)上是奇函数；y=sinx+cosx在其定义域(-∞，+∞)上非奇非偶. 偶函数的图像关于y轴对称，如图1-2(a)，其中，A与A′是y轴对称点，奇函数的图像关于原点对称，如图1-2(b)，其中B与B′是原点对称点. 图1-2 三、有界性 设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在一个正数M，使得对于D中某一个子区间I内任意一点x，总有｜f(x)｜≤M(即-M≤f(x)≤M)，则称函数f(x)在I上是有界的函数(bounded function)，否则是无界的函数(unbounded function). 如sinx、cosx对区间(-∞，+∞)上任意一点x，存在M=1，使得｜sinx｜≤M，｜cosx｜≤M，所以它们在区间(-∞，+∞)上都是有界函数.lgx在区间(0，+∞)上为无界函数，因为找不到那样一个正数M，使｜lgx｜≤M成立. 一个函数有界还是无界，必须指明所考虑的区间，因为同一个函数在某个区间上可能是有界的，但在另一个区间上却可能是无界的.如在开区间(0，1)上是无界函数，但在闭区间［1，2］上却是有界函数，因为在此区间上能找到M≥1，使当x∈［1，2］时，1x≤M成立. 四、周期性 设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对于任意一点x∈D，f(x+T)=f(x)恒成立，则称f(x)在D上为周期函数(periodic function)，T称为f(x)的周期.通常所说的周期是指*小正周期. 如sinx、cosx均为周期函数，它们的*小正周期为2π；tanx、cotx也是周期函数，它们的*小正周期为π. 周期函数的图像特点是在这函数的定义域内，每个长度为周期T的区间上，函数所对应的曲线有相同的形状，如图1-3所示. 图1-3 1.1.3 初等函数 一、基本初等函数基本初等函数(basic elementary function)通常是指幂函数(power function)、指数函数(exponential function)、对数函数(logarithmic function)、三角函数(trigonometric function)和反三角函数(anti-trigonometric function). 它们的表达式、定义域、图像及主要性质见表1-1. 二、复合函数 自由落体运动的动能，其中m为质点的质量，v为质点的速度，而v=gt，其中g为重力加速度，我们称是由两个函数复合而成的t的复合函数.v称为中间变量，t为自变量. 【定义2】设函数y=f(u)和u=φ(x)，且的值域在y=f(u)的定义域内，则称是由这两个函数经过中间变量(intermediate variable)u而构成x的复合函数(compound function)，其中x为自变量，简称函数是x的复合函数. 如y=lgu，u=x-1在x＞1时复合成的函数为y=lg(x-1). 这样可将多个函数“合成”为一个表达式.而在后面的很多计算问题中，往往需要把复合函数的中间变量找出来，把它“分解”为若干个基本初等函数或由它们通过四则运算而得到的简单函数形式，以便于计算。 如复合函数可分解为函数