乏信息可靠性分析

**篇 失效数据与无失效数据的可靠性分析 第1章 乏信息可靠性分析的基本概念 本章在介绍可靠性的含义与表征、寿命测度、数据类型、可靠性估计方法等基本概念后，提出可靠性分析中的具体问题，然后介绍乏信息及其特征与乏信息融合原理等基本概念，为后续章节的乏信息可靠性分析奠定基础。 1.1 可靠性的基本概念 1.1.1 可靠性的含义与表征 可靠性是指单元在给定的环境、条件与时间内完成规定功能的能力。这种能力可以用一个可靠性函数量化表征，可靠性函数的具体取值称为可靠度或无失效概率，属于概率论范畴。 单元是一个广义概念，泛指观察的对象，如元件、产品、系统、过程、活动等，都可以作为单元的具体表征。时间也可以从广义上理解，如活动的长度和次数等。单元运行到失效的时间称为寿命。 设单元的运行时间为t？[0，∞)，若单元运行到失效的时间为T，则可靠性函数为 （1-1） 式中，P(T>t)为单元在时间t时的无失效概率，T为单元的失效时间。 积累分布函数即失效概率函数为 （1-2） 概率密度函数为 （1-3） 失效率即风险率为 （1-4） 在概率论中，失效时间T被看作一个随机变量。若已知单元失效时间T的概率密度函数为f(t)，则有 （1-5） （1-6） （1-7） 1.1.2 寿命测度 单元寿命测度可以用寿命均值、寿命方差（或标准差）与剩余寿命评估[1]。 寿命均值即数学期望为 （1-8） 寿命方差为 （1-9） 寿命标准差为 （1-10） 若单元运行到时间t时尚未失效，则其剩余寿命为 （1-11） 剩余寿命被看作一个随机变量，其数学期望即平均剩余寿命为 （1-12） 1.1.3 数据类型 涉及可靠性分析的数据主要有失效数据、无失效数据和混合数据三种类型。失效数据是指观测单元一直运行到失效时所记录的时间数据，无失效数据是指观测单元无失效运行到某个时刻所记录的时间数据，混合数据是指所记录的时间数据中同时包含失效数据和无失效数据。 数据类型也可分为完整数据和不完整数据。完整数据是指所记录的数据中或者完全是失效数据（称为完整失效数据），或者完全是无失效数据（称为完整无失效数据）。不完整数据是指所记录的数据是混合数据。 1.1.4 可靠性估计方法 可靠性估计即可靠性模型估计是可靠性分析的主要内容之一。可靠性估计有非参数估计和参数估计两种情形。 1．非参数估计 非参数估计通常基于数据，对无参数可靠性函数或可靠度进行估计，常用的方法有经验可靠度法[1]和*大熵法等。 1）经验可靠度法 假设通过观测获得一组寿命数据，用向量表示为 （1-13） 式中，T为寿命数据组成的向量，i为数据序号，ti为第i个数据，n为数据个数。可以用Johnson[2]方法对寿命数据的可靠度中位秩进行非参数估计，或者用Nelson[3]方法对寿命数据的可靠度期望值进行非参数估计，所得到的估计值统称为经验可靠度，可以用一个向量表示为 （1-14） 式中，R表示由经验可靠度组成的向量，r(ti)为经验可靠度（又称可靠性经验值）。 若经验可靠度用可靠度中位秩计算，则其公式为 （1-15） 式中，r(ti)为经验可靠度，i为数据序号，n为数据个数。 若经验可靠度用可靠度期望值计算，则其公式为 （1-16） 式中，r(ti)为经验可靠度，i为数据序号，n为数据个数。 经验可靠度是寿命数据的另一种表现形式，可以等价为可靠性的实验值。 若寿命数据中包含无失效数据，可将式（1-15）和式（1-16）中的i变为第i个失效数据的失效序号ri，并用Johnson[2]或Kaplan[4]的非完整数据的非参数估计方法计算ri与r(ti)。 在Johnson方法中，设有n个数据，其中有m个无失效数据，n-m个失效数据。对n个数据从小到大排序，得到编号序列向量J： （1-17） 再对失效数据从小到大排序，得到编号序列向量I： （1-18） 根据Johnson方法，第i个失效数据的失效序号为 （1-19） 式中，r0=0。 在Kaplan方法中，设有n个数据，对n个数据从小到大排序。若时间tj是失效数据，则记tj时的失效数据个数为dj；若时间tj是无失效数据，则记dj=0。设nj是包括tj及其之后的全部数据，则有 （1-20） 对于tj＜t≤tj+1，经验可靠度为 （1-21） 2）*大熵法 *大熵法是根据信息分析中的*大熵原理，用有限个寿命数据ti构建一个使信息熵为*大的寿命概率密度函数f(t)： （1-22） 式中，M为原点矩的*高阶数；为M+1个拉格朗日乘子，均为常数；t为描述寿命的时间变量。 在式（1-22）中，首个拉格朗日乘子λ0为 （1-23） 其他拉格朗日乘子的求解方程为 （1-24） 式中，R为时间变量t的积分空间，Mm为第m阶样本原点矩，m为样本原点矩序号，M为原点矩的*高阶数。 第m阶样本原点矩Mm由所观测到的寿命数据求出： （1-25） 式中，ti为第i个寿命数据，n为寿命数据个数，m为样本原点矩序号。 2．参数估计 参数估计通常基于数据，对可靠性函数中的参数进行估计。常用的参数估计方法有矩法、极大似然法和*小二乘法等。 1）矩法 矩法是用失效数据的各阶样本矩估计总体矩，进而求解概率密度函数中的各个参数，求解方程为 （1-26） 式中，ti是第i个寿命数据，n是寿命数据个数，f(t;Θ)是变量为t和参数向量为的概率密度函数，t是描述寿命的时间变量，K是概率密度函数的参数个数，θk是第k个参数，k是参数序号。 2）极大似然法 极大似然法基于失效数据和无失效数据构建出似然函数L(Θ)，所求参数向量应使似然函数L(Θ)为*大： （1-27） 式中，ti是第i个数据，F是失效数据的序号集合，C是无失效数据的序号集合，f(ti;Θ)是时间变量t=ti时关于参数向量的概率密度函数，R(ti;Θ)是时间变量t=ti时关于参数向量的可靠性函数，K是参数个数，θk是第k个参数，k是参数序号。 3）*小二乘法 *小二乘法基于经验可靠度和可靠度函数构建误差函数Q(Θ)，所求参数向量应使误差函数Q(Θ)*小： （1-28） 式中，ti是第i个寿命数据，r(ti)是经验可靠度，R(t;Θ)是时间变量t=ti时关于参数向量的可靠性函数，K是参数个数，θk是第k个参数，k是参数序号。 1.2 可靠性分析中的问题 可靠性理论的发展历史可以追溯到20世纪30年代初期，当时的工业产品质量控制已经开始涉及可靠性问题，并采用了统计方法[1]。 统计方法是应用*广泛的信息处理方法之一。早在17世纪，费尔玛等就提出了数学期望的概念。18世纪，统计理论已经得到关注。1794年，德国数学家、测量学家和天文学家高斯首先阐述了*著名的*小二乘法的基本原理[5，6]。而统计理论的具体技术应用可以追溯到19世纪初，当时，美国人口普查局用统计方法对人口死亡率进行过报道[7]，加拿大多伦多采矿局的年鉴包含了安大略湖采矿工业的统计信息[8]。但*著名的应用是1805年法国数学家勒让德在《计算彗星轨道的新方法》和1809年高斯在《天体沿圆锥截面围绕太阳运动的理论》中对天文理论与观测数据的*小二乘处理。法国天文学家和数学家拉普拉斯1812年在分析概率论中*早给出了概率的定义，并设计了观测误差理论，提到了*小二乘法，给出了二项分布极限为正态分布这一定理的证明。高斯和勒让德的主要贡献包括误差分析、正态分布和*小二乘法[5，6，9]等。到19世纪中期，据美国国家技术情报局报道，有关统计学应用的案例已数以千万计，内容已延伸到社会学、渔业、医学、光学、军事和工业等领域[5，10-14]。从19世纪末到20世纪上半叶，皮尔逊、费希尔和奈曼等数学家的杰出工作创立了经典统计学[9，15]。从此，经典统计学的理论和方法在社会科学和自然科技领域里得到广泛应用。多年来，统计学的持续应用也持续地推进着统计理论的发展，而统计学本身的某些缺陷也逐渐暴露出来[5，9，15，16]。 统计学的*重要的理论基础是大数定律和中心极限定理。 大数定律论述了算术平均值的稳定性和频率的稳定性问题。频率的稳定性是指随着独立重复实验次数的增加，事件发生的频率逐渐收敛于事件的概率，当独立重复实验次数很大时，可以用频率代替概率；算术平均值的稳定性是指当相互独立的随机变量的个数无限增大时，它们的算术平均值几乎变成一个常数。 中心极限定理认为，许多随机变量是由大量的相互独立的随机因素综合影响形成的，其中每一个因素在总的影响中所起的作用很微小，当这种随机变量的个