医药数学模型与软件应用实践

第1章 医药数学模型的基本知识 数学模型在自然界、社会、经济、信息等领域内已经获得了卓有成效的应用，它也涉及人口学、遗传学、生态学、分子生物学、药剂学、药物动力学、生理学、临床诊断、药物分析等医药领域。为了更好地掌握医药数学模型应用，本章从医学和药学角度介绍数学模型的基本知识，并顺便简介Matlab软件在微机上使用的知识及实验过程，以供相继章节的数学模型应用的计算和绘图使用。 1.1 数学模型在生命科学中的发展 随着现代化生产实践和科学技术的不断发展，数学模型应用发挥着巨大威力。例如，用数学模型可以解决下列问题：人类发射的卫星为什么要用三级火箭？一个重要工程在何处选择地址才能使各方面考虑*佳？在战争还没有消灭的今天，武器的发展方向是大型化还是高精度化？世界上如何控制人口发展？经济和金融政策的制定以及数字黄河如何控制为人类造福等都需要建立数学模型加以论证，为决策者和国家提供理论和科学依据。 医药数学模型也同样发展。由于生命现象错综复杂、变化多端，人们从19世纪中后期以来，就从定性的角度开始观察和分析生命现象和生命过程的研究，如著名科学家孟德尔（Mendel）早在1900年前就用实验和数学方法，发现了遗传学定律，使生物学迈进了实验生物阶段。又如，英国经济学家和人口统计学家马尔萨斯（Malthus）在1766～1834年就用数学模型来描述人口增长。直到20世纪20年代以后，生物物理方面的研究发展促进数学模型进入了一个新的时期，其中，利用微分方程模型对生命现象或生命过程进行了定量、动态的研究。例如，生态学中描述捕食者与被捕食者两个群体之间生态关系的Lotka-Volterra方程便是一个有名的例子。大力倡导用数学物理方法研究生命问题的美国卓越学者Rashousky于1939年创办了《数学生物的数学原理及其应用》。奥地利著名的物理学家、量子力学创始人之一薛定谔（Schrodinger）于1944年指出基因是活细胞的关键组成部分，要懂得什么是生命必须知道基因是如何发挥作用的。在薛定谔的影响下，美国的沃森（Watson）和英国的克里克（Crick）充分利用当时对蛋白质和核酸所作的X-射线结晶学研究以及DNA结构的研究成就，于1953年共同提出DNA分子双螺旋结构模型，这是20世纪生物科学*伟大的成就，标志着生命科学的发展进入了一个新阶段——分子生物学阶段，从而说明了从定性描述跃居定量科学的行列，从古典医学向现代医学翻开了历史的一页。 普律高津（Prigogine）等通过数学上的分叉和自催化非线性过程逐渐形成的方法，研究出耗散结构理论，将非平衡热力学从宏观整体解释生命现象，这一理论认为所有生命系统表现为准静态的、远离平衡态的耗散结构，于1977年获得诺贝尔奖。借助电子计算机的快速计算，按一定数学模型和数学方法，由X-射线的投影函数重建人体断层数字图像的X-CT成为医学影响的一次革命，研究者因此获得诺贝尔奖。数学研究者Jerne用数学方法研究免疫网络理论也获得诺贝尔奖。电生理学家Hodgkin和Huxley用微分方程组描述神经纤维的行为，以及神经冲动的传导，成绩卓越，也获得诺贝尔奖。随着生命科学的迅猛发展，世界上许多重大课题均急需现代数学和数学模型的支撑，如国际上普遍关注的视觉机理和研究、氨基酸DNA序列的分析、癌细胞的异质性、脑科学的研究、癌瘤的发生与转移、基因表达调控、免疫系统与非免疫系统之间通信、寄生虫在人体的生态学、心脑血管疾病的预测、药剂学、药物动力学、药效学中的动力学分析、中医药的量化分析、体内电解质系统的平衡与失调、流行病的规律与预测、遗传系统发育树的研究、数字模拟人讨论等，均置于现代数学方法和数学模型的研究基础之上，从而以定量、运动和系统的观点认识生命现象和生命过程。 在20世纪后半叶，由于计算机技术的飞跃发展，数学模型应用发生了很大变化，从不同角度带动了交叉学科、前沿科学和现代数学方法的发展，从而出现了在经济与产业中大显神威的所谓“现代数学技术”。例如，运筹优化、工程自控、信息处理、数字网络战争、数理统计、科学计算、数字通信、模糊识别、图形重建等都是数学模型、数学原理及方法与计算机相结合而产生的威力无穷的“数学技术”，它们渗透和应用到各部门、各行业，就开创了这些领域具有高质、高效、高新技术的新局面。当今一些发达国家对于运用数学模型和数学方法来提高经济组织水平，包括制定宏观上的战略性规划，产品的储存、调度、运输，以及市场预测、金融、保险业务分析等方面，都取得了显著的进展。 美国几所大学已经从20世纪70年代着手引进关于“数学模型”的独立的新课程，以便强调这一数学中的重要组成成分，这种数学模型教育价值是远非一般专业技术教育所能相提并论的。 1.2 数学模型的含义 数学模拟是通过间接或直接的方法模仿研究对象（原型）具有某种相似关系的模型。建立在模型与原型中所发生的物理过程相似关系的模拟过程和现象的模型称为物理模型，建立在模型与原型之间用数学表示相似性模拟的模型称为数学模型。决不能脱离原型去空洞地谈数学模型，更不能把脱离实际背景的数学表达式说成是数学模型。数学模型虽然是在模型与原型之间的数学表示形式的模拟模型，但到目前为止，数学模型还没有一个统一的标准定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过可以给出如下的定义： “数学模型是关于部分现实世界和为某一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。” 因此，具体来说，数学模型就是为了某种目的而用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式，以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。 为了加深对数学模型含义的理解，以及看到数学模型的作用，下面通过简单的人口模型来讨论数学模型在现实世界中的重要意义。 英国早期资产阶级经济学家马尔萨斯担任牧师期间，分析了教堂一百多年的人口出生统计资料，他发现人口出生率是一个常数。于是在1789年提出了轰动世界的马尔萨斯人口模型。 设N（t）表示t时刻的人口总数，r表示增长率，此时增长率近似为常数，假设其他因素的影响均不考虑，则t到t+Δt这段时间内人口总数增长为N（t+Δt）-N（t）=rN（t）Δt两端同时除Δt，并令Δt→0得dN/dt=rN（t）又假设t=t0时，人口总数为N0，因此得到马尔萨斯模型为（1.1）这个数学模型反映了t0时刻和包含t0时间段的人口变化与数学的内在联系。 这个数学模型的解为N（t）=N0er（t-t0）（1.2）即按这个模型来说，人口以er为公比，按几何级数增加。 下面验证马尔萨斯模型与实际情况是否吻合。 设N（t）表示世界人口t时刻人口总数，据估计1961年人口总数为3.06×109，而在此之前的10年来，人口按每年2%的速率增长。因此，t0=1961，N0=3.06×109，r=0.02于是N（t）=3.06×109×e0.02（t-1961）（1.3）式（1.3）非常准确地反映在1961～1970年的世界人口数上。因此，在这个期间，地球上的人口总数大约35年增加一倍，而方程断定34。6年人口总数增加一倍，其理由是设在T=t-t0内地球人口增加一倍，即当T=t-t0时，可得T=50ln2=34.6（年）这就是这个模型的重要意义之一。 理解数学模型的含义是重要的，更重要的是加深理解数学模型是反映实践的原型之间的特征和内在联系的数学表达式。 1.3 数学模型的分类 根据不同的标准可对数学模型进行分类。在生命科学中，常见的分类有以下几种： （1）可按线性方程和非线性方程分为线性模型和非线性模型。通常建立和分析线性模型比较容易，*终检验和应用比较方便，也较容易说明问题。所以，人们经常把非线性系统近似转化成线性系统处理，这样，非线性系统模型处理变得容易一些。然而，从客观实际上看，线性和非线性系统数学模型有着本质不同的特征，就客观世界真实面貌来说，非线性数学模型系统存在更为普遍。因此，随着生命科学的深入研究，用非线性数学模型解决问题日益受到重视，并取得显著的效果。 （2）在现实世界许多领域中普遍存在着三种现象：确定现象、随机现象和模糊现象。按研究处理这些现象来分类数学模型，可分为确定模型、随机模型和模糊模型三类，其中，确定模型是在一定的条件下，事物的运动、变化和发展遵循确定现象的规律，从先前的运动状态可以确切地知道未来的运动状态，或者从一个或多个变量的客观取值，便可以准确地计算出被研究变量的其他值的模型；随机模型是在一定的条件下，事物的运动、变化和发展具有随机现象的数据规律，某种结果出现带有偶然性的模型，模糊型模型在一定的条件下运动、变化和发展中出现的差异具有亦此“亦”“彼”的不明确的模糊性，这类现象必须用模糊数学模型来处理。 （3）按对研究对象的内部结构和性能的了解程度分类数学模型，有白箱模型、灰箱模型和黑箱模型三类。很多研究对象的机理比较清楚的模型，人们经常称之为白箱模型。例如，年龄与血压变化的一些问题，不必再研究模型结构，只需要考虑计算问题。所研究的内部结构和性能的信息完全不知或知之甚少的模型，人们称之为黑箱模型。例如，社会科学和生命科学中的许多机理不清楚，研究这类模型为黑箱。研究对象内部结构和机能中既有已知的又有许多未知的、非确定的信息的模型，人们经常称之为灰箱模型。例如，经济、证券、生态、气象、管理、社会、生命、能量等系统称为灰箱系统。很明显，研究灰箱和黑箱系统模型的难度很大，经常采用定性问题数量化，这类问题数量化可用模糊数学方法，也可用数量化理论中的量化方法，有时也可用灰色系统的处理方法。 此外，模型分类可按研究方法分为初等模型、微分方程模型、运筹模型和概率模型等；也可按对象所在领域分为经济模型、生态模型、人口模型和交通模型等；也可按时间关系分为静态模型和动态模型。总之，模型分类在模型研究中不占有重要地位，按照人们各种不同规则分类，有时同一问题可属于这个类型又可属于那个类型，但是，选择上述分类标准的一类，使实际问题能更客观、准确地描述内在的数量规律联系，并能达到选择哪种分类的目的。 1.4 数学模型的建立与应用 医药生命科学模型的发展实质是探索医药科学领域中的量及量的关系的规律性，对数学模型起着关键性作用，因此，建立合乎客观现实的数学模型是研究的目的。通过数学模型的分析和检验来追求目的，从这个角度来看，数学模型是研究手段。然而，一旦数学模型经过反复多次验证，证明了它既符合客观实际，又准确，它便视为有规律性了。从这个角度看，寻求正确的数学模型是*终的研究目的。一旦建立了正确的数学模型，便可从理论上进行分析和预测，探索生命现象或过程的数学规律。数学模型用处非常广泛，不仅对生命科学研究有指导意义，而且对其他各行业的实际工作均可以进行指导，如节省开支、减少浪费、证券和金融分析等。特别是对未来的预测以及控制，这对促进科学技术和农业生产的发展具有更大的意义。 数学模型的应用可以说是门艺术，要掌握这门艺术，必须见多识广，善于揣摩他人的思想方法，多实践，多体会。一方面，长期以来人们对建立模型的理论和方法研究较少，目前还没有成熟的、广泛适用的建模方法及技巧；另一方面，现实世界各种问题千差万别，各种影响因素错综复杂，因此，本节给出一般性的建立数学模型的方法和步骤，仅是提供读者和研究者借鉴，其目的可以根据不同问题的特色，采取更具体、更有效的捷径，达到模型的建立与应用的目的。 生命现象中的数学模型绝非静止地采用几个数量指标便能深刻揭示事物内涵，只有弄清楚各主要数量之间错综复杂的联系才能真正地反映生命客观现象的空间和时间过程。由于这个原因，应该考虑图1.1建立数学模型的方法和应用步骤。