区间分析岩土工程理论与方法

第1章区间分析基础 1.1区间分析简介 区间分析（interval analysis），又称区间数学，是一门用区间变量代替点变量进行运算的数学分支，*初是从计算数学的误差理论研究发展起来的。区间分析理论是美国数学家Moore12在20世纪60年代**次系统提出的。为了提高计算结果的可靠性，Moore基于数值计算与误差分析理论，借鉴前人的研究成果，提出了一套完整的区间分析与计算方法。随后，有关区间分析的研究越来越多。随着基础理论的发展，区间分析方法越来越受到关注，人们发现其可以有更为广泛的应用。 1.1.1区间分析理论的提出 由于计算机有限字长的限制，绝大多数实数无法被计算机精确存储，这种真实值和近似值之间的误差在有限精度的浮点计算机上进行运算时将会被进一步传播。同时，由于测量精度问题，输人数据本身存在的误差也会在计算中被传播。由于存在这些因素，数值计算结果往往含有输人误差、舍人误差和截断误差等。虽然通过运算可以得到一个精确结果，但实质上这个结果并不准确，而且计算结果也不包含任何准确度的信息。人们通常认为，采用浮点计算机运算舍去小数点多位之后的误差应当不会对结果有太大影响，因此可以忽略不计。但实际情况并非如此。文献[6]中给出了一个例子： 设a=77617.0，6=33096.0，试计算 （1-1） Rump基于IBM370计算机，分别采用单精度、双精度、扩展精度模式对式（1-1）进行了计算。 单精度运算结果:f=1.17260361） 双精度运算结果:f=1.17260394005317847-扩展精度运算结果:f=1.17260394005317863185） 一般会认为至少计算结果的前几位有效数字（如1.172603）是正确的。但是，真实结果却是f=-0.82739605994683135（误差为10-7），显然，IBM370的计算结果是错误的，甚至连符号都不对。 为了提高计算结果的可靠性，并且能够自动进行误差分析，美国数学家Moore提出了区间分析理论。区间分析（又称区间计算、区间数学）理论是定义在区间集上的数学理论，它是将一个实数用一个包含其真值的区间表示，并利用区间进行计算的理论与算法。区间分析思想*早出现于文献[1]～[3]中。公认的区间分析理论的奠基人是美国数学家Moore，他在1962年的博士论文中提出了较完整的区间分析理论，并于1966年出版了专著《区间分析》。随后该理论迅速发展，很快成为计算数学的一个较活跃的分支。区间分析以区间来实现对数据的存储与运算，运算结果保证包含所有可能的真实值，即结果是准确可靠的。另外，人们可以很方便地把某些不确定性计算参数表述为区间并直接包含在区间算法之中，这在实际应用中也具有重要意义，如土木工程中的结构计算参数及反演分析。区间分析理论从产生至今，已经在科学计算和工程领域中得到了大量成功的应用。 1.1.2区间分析研究工具和资源 区间分析理论产生至今，已经引起了研究者的极大关注。美国、德国、法国、加拿大等许多国家的知名大学成立了相关的研究中心。美国路易斯安那大学拉法叶分校、美国得克萨斯大学埃尔帕索分校、德国汉堡大学等在区间分析求解非线性方程组和全局优化及优化软件包实现等方面取得的突出成果，是区间理论研究*成功、*典型的代表。IEEE控制系统学会成立了一个专门研究区间方法在控制领域应用的组织，给研究者提供交流平台。1991年，一个专门的国际期刊被用来发表区间分析方面的研究成果，原名为《区间计算》（Interval Computations），1995年更名为《可靠计算》Computing）。随着感兴趣研究者的增多，学者们还定期召开区间分析国际会议和一些特别会议，讨论和交流区间分析的*新研究成果。另外，在数值分析、可靠计算、计算机、人工智能、控制等领域的国际会议也有相关的特别专题。 同时，支持区间计算的软件也在不断增加，人们可以在互联网上得到越来越多与区间计算有关的资源。区间算法常用的编程语言包括C++、Fortran、MATLAB等。人们开发了一些区间软件库来实现在浮点计算机上进行严格的区间运算，如INTLAB、PROFIL/BLAS等。此类软件库通常都包含基本区间算术运算、集合运算、基本初等函数，以及一些工具子程序等。其中，Rump教授带领团队开发的INTLAB工具箱，使用较为方便且有广泛的应用。 区间计算的一个重要信息网站是。该网站提供了许多区间分析研究的信息和相关链接，包括区间分析简介、编程语言、区间运算库链接地址、研究者的主页地址、区间计算专门杂志《可靠计算》的链接等。 1.1.3区间分析研究方向和现状 区间分析或称区间数学，是近五十多年发展起来的一个新的数学分支，其基本思想是用区间变量代替点变量进行计算。 “区间”在数学上的使用可追溯到20世纪30年代以前，例如，用有理数端点的“区间套”定义实数等。但区间分析作为一个数学分支出现却是近五十多年的事情。由于科学技术和工程问题对计算提出越来越高的要求以及高速计算工具——电子计算机的迅速发展，误差问题变得非常突出。工程问题中给出的初始数据总是有误差的，中间计算也总有截断误差的累积。这就使计算结果具有一定的误差。怎样才能估计计算结果的误差？这是摆在20世纪60年代初期计算数学面前的紧迫课题。以美国斯坦福大学Forsythe和英国牛津大学Fox为首的计算数学家多次开会讨论研究误差问题，后来发展成两种不同的误差估计理论。一种是以Wilkinson为代表的预先估计的理论，另一种就是区间分析的理论。 区间运算是指定义在区间集合上的运算，较早的区间运算形式出现在1924年Burkill1931年Young的文献中，1958年Sunaga也对区间运算进行了研究。1962年，美国斯坦福大学的M00re[4]发表了其博士论文，1966年在其博士论文基础上，出版了经典著作《区间分析》，该书系统地提出了区间运算的理论。此后，区间分析的研究大范围地开展起来，区间算法很快就成为计算数学的一个活跃分支。国际杂志ReUable Computing专门发表区间算法的*新研究成果，由俄罗斯和西欧合办，每年刊载的文献有一百多篇。其他相关的杂志还有Computing、GlobalOptimization、SIAM Journal on Numerical Analysis等。此外，每年都有很多涉及区间算法的国际会议。德国弗赖堡大学应用数学所还设有专门的“区间图书馆”。在数学研究中，涉及区间分析的有区间代数、区间拓扑、区间几何和区间微积分等，更多是应用于计算数学和工程部门及其他科学，如区间软件、区间逼近、数学规划、系统识别、统计和心理学，在此基础上，还发展出了圆域分析、集值函数计算等相近理论。以上这些理论可统称为区间数学。 五十多年来，区间分析理论受到了广泛的关注并逐渐被越来越多的人们所接受，同时有大量的相关著作出版。而关于区间分析的论文也在不断增加，区间分析开始从理论走向实际，在越来越多的领域发挥作用。 1.国外研究进展 区间分析逐渐成为应用数学的一个分支，其在数学、计算机、工程科学等领域的应用越来越多，发表的文献无法计数，推动了相关领域的科技进步，为部分领域的研究工作提供了一个新的思路。 区间分析的*初思想是用来估计计算机的计算误差。其在数学领域的研究，较其他领域的工作更详尽、更丰富。Hansen[11]研究了区间分析方法对一维和多维情形下全局优化结果的求解；Caprani等[12]讨论了中值形式的区间分析；Hansen等[13]分析了带约束条件方程组的区间解；Hansen等[14]探讨了区间牛顿方法；Rall[15]研究了中值和泰勒级数形式的区间分析；Matijasevich[16]讨论了后验条件下的区间分析；Oppenheimer讨论了区间分析技术在线性系统中的应用；Soh等[18]研究了连续和离散区间矩阵的稳定性；Ishibuchi等[19]讨论了多目标规划的区间目标函数优化；Wang等比较了基于区间分析的自我验证和矩形二元正态概率算法的结果；Neumaier[21]讨论了一种线性方程组的区间分析算法；Ratschek等[22]总结了区间分析在全局优化中的作用；Kearfott等[3研究了预条件的区间高斯-赛德尔方法；Dubois等[24]探讨了随机集和模糊区间分析理论；Kubota等[25]提出了快速自动化和区间分析相结合的舍人误差估计方法Jaulin等[26]通过区间分析进行非线性有界误差估计；Vaidyanathan等[27]利用区间分析讨论了全局非凸非线性规划的优化及非凸的MINLP的区间分析；Mckmn0n等[28]基于区间分析讨论了相平衡问题的全局优化；Ichida[29]讨论了区间分析下的约束优化；Rao等提出了不确定结构系统的区间分析方法；Chen等[31]则提出了区间卡尔曼滤波方法；Kieffer等[32]研究了递推非线性状态估计的区间分析法；Hua等利用区间分析进行状态模型三次方程的可靠性计算；Markov等分析了Sunaga对区间分析和可靠性计算的贡献；Gau等[35]利用区间分析进行非线性参数估计；Dubois等[36]探讨了模糊区间分析方法；Bhattacharyya等[37]讨论了模糊均值-方差-偏度的区间分析；Kolev[38]讨论了全局非线性分析的区间方法；Litvinov等[39]研究了全幂等区间分析及优化问题；Hargreaves40开发了基于MATLAB的区间分析程序；Qiu[41]分析了采用凸模型和区间分析方法的结构静态响应比较结果；Casado等[42]提出了基于梯度信息的区间分析支持函数在全局*小化算法中的应用；Moore等[43]研究了区间分析法和模糊集理论；Su等[44]基于区间分析提出了没有加宽和变窄的一类多项式可解的约束范围；Fusiello等[45]使用区间分析解决全局收敛的自动校准；Andujar等[46]讨论了基于区间数学的稳定性分析与多变量模糊系统的综合使用；Kearfott等[47]提出了区间分析中的标准化符号方法；Fortin等[48]讨论了模糊区间分析的常规数字及其应用；Abdallah等[49]采用区间分析研究了盒粒子滤波的非线性状态估计。 区间分析在医学领域中，Fuster等基于区间分析研究了电池放电在电子视觉系统中的应用；Cheng等[51]分析了视动性眼球震颤的影响；Blatz等[52]研究了分门机制；Laguna等[53]基于区间分析提出了24h动态心电图分析新算法等。区间分析在医学领域得到了广泛应用，主要包括心电图数据处理、细菌数据的分析和健康监测相关数据的分析等。 在电路电子等领域，区间分析方法也得到了广泛使用。Oppenheimer等[65]利用区间分析技术讨论了电路线性系统的初始值问题；Leenaerts[66]讨论了基于区间分析的电路设计；Timmer等[67]分析了电子资源约束条件下区间分析的执行问题；Ratschek等[68]采用区间分析来解决电路设计问题；Wabinski等[69]利用区间分析来测量振幅和振动时间；Sadler等讨论了周期性脉冲的区间分析；Shi等根据参数变化对线性模拟电路进行了区间分析；Benedetti等研究了基于复数区间分析位宽度的DSP优化配置；Kieffer等[3].Barboza等[4]也讨论了区间分析在电子信号处理中的应用。 计算机图形学中，Mitchell研究了基于区间分析的射线相交方法；Snydr[6]讨论了区间分析在计算机绘图中的应用；Noblet等[7]提出了一种基于分层变形和区间分析优化的3D变形图像配准拓扑技术。 化学物理方面，Stadtherr等[8]、Kieffer等[9]、Hua等、Braems等[81]发表了相关研究论文。 机