大数据分析中的数学基本理论与方法

目录第1章 函数、极限与连续 1 1.1 函数 1 1.1.1 映射 1 1.1.2 函数的概念 2 1.1.3 函数的几种特性 3 1.1.4 初等函数 5 1.1.5 多元函数 6 1.2 极限 7 1.2.1 数列的极限 7 1.2.2 一元函数的极限 8 1.2.3 极限的性质 11 1.2.4 二元函数的极限 12 1.3 无穷小量与无穷大量 14 1.3.1 无穷小量 14 1.3.2 无穷大量 15 1.4 极限的运算法则与存在准则 17 1.4.1 极限的四则运算法则 17 1.4.2 复合函数的极限运算法则 18 1.4.3 极限存在准则 20 1.5 无穷小量的比较 26 1.6 函数的连续性 27 1.6.1 一元函数连续的概念 28 1.6.2 连续函数的运算性质 28 1.6.3 间断点 29 1.6.4 多元函数的连续性 30 1.6.5 闭区间上连续函数的性质 31 第2章 导数与微分 34 2.1 导数的概念 34 2.1.1 函数在一点的导数 34 2.1.2 单侧导数 362.1.3 导函数 37 2.1.4 可导与连续的关系 38 2.1.5 高阶导数 39 2.2 函数的求导法则 40 2.2.1 导数的四则运算法则 40 2.2.2 反函数与复合函数求导法则 41 2.2.3 隐函数求导法则 46 2.2.4 由参数方程所确定的函数的导数 47 2.3 多元函数的偏导数 49 2.3.1 偏导数的定义及其计算方法 49 2.3.2 高阶偏导数 51 2.4 微分的概念 52 2.4.1 一元函数的微分 52 2.4.2 二元函数的全微分 54 2.5 多元复合函数求导法则 57 2.5.1 一元函数与多元函数复合的情形 57 2.5.2 多元函数与多元函数复合的情形 58 2.5.3 多元复合函数的高阶偏导数 60 2.6 方向导数与梯度 62 2.6.1 方向导数 62 2.6.2 梯度 65 2.7 导数的应用 66 2.7.1 函数的单调性 67 2.7.2 函数的极值 67 2.7.3 函数的*大值与*小值 70 2.7.4 条件极值与拉格朗日乘数法 72 第3章 积分 76 3.1 不定积分的概念与基本积分公式 76 3.1.1 原函数与不定积分的概念 76 3.1.2 基本积分公式 78 3.2 求不定积分的方法 79 3.2.1 **换元积分法 79 3.2.2 第二换元积分法 81 3.2.3 分部积分法 853.3 定积分的定义与性质 89 3.3.1 定积分的概念 89 3.3.2 定积分的性质 92 3.3.3 积分上限的函数及其导数 96 3.4 定积分的计算 98 3.4.1 牛顿–莱布尼茨公式 98 3.4.2 定积分的换元积分法 100 3.4.3 定积分的分部积分法 103 3.5 反常积分 104 3.6 二重积分的定义与性质 106 3.6.1 二重积分的概念 106 3.6.2 二重积分的性质 108 3.7 二重积分的计算 112 3.7.1 利用直角坐标计算二重积分 112 3.7.2 利用极坐标计算二重积分 118 3.8 三重积分 122 3.8.1 三重积分的概念与性质 122 3.8.2 利用直角坐标计算三重积分 123 3.8.3 利用柱面坐标计算三重积分 126 3.8.4 利用球面坐标计算三重积分 129 第4章 矩阵 133 4.1 矩阵及其运算 133 4.1.1 矩阵的定义 133 4.1.2 矩阵的运算 134 4.2 行列式 137 4.2.1 排列及其逆序数 137 4.2.2 行列式的定义 139 4.2.3 行列式的性质 140 4.2.4 方阵的行列式 144 4.3 逆矩阵 145 4.3.1 方阵的伴随矩阵 145 4.3.2 逆矩阵的概念及求解 145 4.4 分块矩阵 148 4.4.1 分块矩阵的概念 1484.4.2 分块矩阵的运算 148 4.5 矩阵的秩 151 4.5.1 矩阵的初等变换 151 4.5.2 矩阵的秩的概念及求解 153 4.6 向量组的线性相关性与正交性 155 4.6.1 n 维向量及其线性运算 155 4.6.2 向量组的线性相关与线性无关 157 4.6.3 向量组的秩 159 4.6.4 正交向量组 160 4.7 齐次线性方程组 163 4.8 方阵的特征值与特征向量 168 4.8.1 特征值与特征向量的概念 168 4.8.2 特征值与特征向量的性质 171 4.9 相似矩阵 173 4.9.1 相似矩阵的定义与性质 173 4.9.2 方阵对角化的条件 174 4.9.3 实对称矩阵的对角化 175 第5章 插值与拟合 179 5.1 拉格朗日插值函数 179 5.1.1 线性插值 180 5.1.2 二次插值 180 5.1.3 n.1 次拉格朗日插值 182 5.2 牛顿插值函数 184 5.2.1 差商的定义与性质 185 5.2.2 牛顿插值多项式 186 5.3 等距节点的牛顿插值函数 189 5.3.1 差分的概念 189 5.3.2 牛顿前插公式 190 5.4 分段插值函数 191 5.4.1 分段线性插值 192 5.4.2 三次样条插值 193 5.5 数据拟合的*小二乘法 198 5.5.1 *小二乘法的基本概念 199 5.5.2 *小二乘法的法方程组 199第6章 概率 203 6.1 随机事件及其概率 203 6.1.1 基本概念 203 6.1.2 随机事件的概率 206 6.1.3 等可能概型 207 6.2 条件概率与贝叶斯公式 209 6.2.1 条件概率 209 6.2.2 乘法公式 210 6.2.3 事件的*立性 211 6.2.4 全概率公式和贝叶斯公式 212 6.3 随机变量及概率分布 214 6.3.1 随机变量 214 6.3.2 离散型随机变量的分布律 215 6.3.3 随机变量的分布函数 216 6.3.4 几种重要的离散型随机变量的概率分布 218 6.3.5 连续型随机变量及其概率密度 220 6.3.6 几种重要的连续型随机变量的分布 222 6.4 多维随机变量及其分布 225 6.4.1 二维随机变量的概率分布 226 6.4.2 二维离散型随机变量 228 6.4.3 二维连续型随机变量 233 6.5 随机变量的数字特征 238 6.5.1 数学期望 238 6.5.2 方差 242 6.5.3 常见分布的数学期望与方差 245 6.5.4 切比雪夫不等式 247 6.5.5 协方差 247 6.5.6 相关系数 248 6.5.7 矩的概念 251 6.6 极限定理 251 6.6.1 大数定律 251 6.6.2 中心极限定理 252第7章 数理统计 255 7.1 数理统计的基本概念 255 7.1.1 总体与样本 255 7.1.2 抽样分布 257 7.1.3 几个重要统计量的分布 261 7.2 参数估计 261 7.2.1 参数的点估计 261 7.2.2 参数的区间估计 268 7.3 假设检验 275 7.3.1 假设检验的基本概念 275 7.3.2 正态总体均值的假设检验 277 7.3.3 正态总体方差的假设检验 280 7.3.4 两正态总体期望差的假设检验 282 7.3.5 两正态总体方差比的假设检验 284 7.3.6 两种类型的错误 285 7.4 方差分析 286 7.4.1 单因素试验的方差分析 286 7.4.2 双因素试验的方差分析 290 7.5 回归分析 298 7.5.1 一元线性回归 298 7.5.2 非线性回归问题的处理 305 7.5.3 多元线性回归 306 参考文献 310