普林斯顿微积分读本-(修订版)

第1章　函数、图像和直线　　1
1.1 函数　　1
1.1.1 区间表示法　　3
1.1.2 求定义域　　3
1.1.3 利用图像求值域　　4
1.1.4 垂线检验　　5
1.2 反函数　　6
1.2.1 水平线检验　　7
1.2.2 求反函数　　8
1.2.3 限制定义域　　8
1.2.4 反函数的反函数　　9
1.3 函数的复合　　10
1.4 奇函数和偶函数　　12
1.5 线性函数的图像　　14第1章　函数、图像和直线　　1 1.1 函数　　1 1.1.1 区间表示法　　3 1.1.2 求定义域　　3 1.1.3 利用图像求值域　　4 1.1.4 垂线检验　　5 1.2 反函数　　6 1.2.1 水平线检验　　7 1.2.2 求反函数　　8 1.2.3 限制定义域　　8 1.2.4 反函数的反函数　　9 1.3 函数的复合　　10 1.4 奇函数和偶函数　　12 1.5 线性函数的图像　　14 1.6 常见函数及其图像　　16 第2章　三角学回顾　　21 2.1 基本知识　　21 2.2 扩展三角函数定义域　　23 2.2.1 ASTC 方法　　25 2.2.2 [0; 2π] 以外的三角函数　　27 2.3 三角函数的图像　　29 2.4 三角恒等式　　32 第3章　极限导论　　34 3.1 极限：基本思想　　34 3.2 左极限与右极限　　36 3.3 何时不存在极限　　37 3.4 在∞ 和-∞ 处的极限　　38 3.5 关于渐近线的两个常见误解　　41 3.6 三明治定理　　43 3.7 极限的基本类型小结　　45 第4章　求解多项式的极限问题　　47 4.1 x → a 时的有理函数的极限　　47 4.2 x → a 时的平方根的极限　　50 4.3 x → ∞ 时的有理函数的极限　　51 4.4 x → ∞ 时的多项式型函数的极限　　56 4.5 x → -∞ 时的有理函数的极限　　59 4.6 包含绝对值的函数的极限　　61 第5章　连续性和可导性　　63 5.1 连续性　　63 5.1.1 在一点处连续　　63 5.1.2 在一个区间上连续　　64 5.1.3 连续函数的一些例子　　65 5.1.4 介值定理　　67 5.1.5 一个更难的介值定理例子　　69 5.1.6 连续函数的*大值和*小值　　70 5.2 可导性　　71 5.2.1 平均速率　　72 5.2.2 位移和速度　　72 5.2.3 瞬时速度　　73 5.2.4 速度的图像阐释　　74 5.2.5 切线　　75 5.2.6 导函数　　77 5.2.7 作为极限比的导数　　78 5.2.8 线性函数的导数　　80 5.2.9 二阶导数和更高阶导数　　80 5.2.10 何时导数不存在　　81 5.2.11 可导性和连续性　　82 第6章　求解微分问题　　84 6.1 使用定义求导　　84 6.2 用更好的办法求导　　87 6.2.1 函数的常数倍　　88 6.2.2 函数和与函数差　　88 6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数　　88 6.2.4 通过商法则求商函数的导数　　90 6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数　　91 6.2.6 那个难以处理的例子　　94 6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由　　96 6.3 求切线方程　　98 6.4 速度和加速度　　99 6.5 导数伪装的极限　　101 6.6 分段函数的导数　　103 6.7 直接画出导函数的图像　　106 第7章　三角函数的极限和导数　　111 7.1 三角函数的极限　　111 7.1.1 小数的情况　　111 7.1.2 问题的求解——小数的情况　　113 7.1.3 大数的情况　　117 7.1.4 “其他的” 情况　　120 7.1.5 一个重要极限的证明　　121 7.2 三角函数的导数　　124 7.2.1 求三角函数导数的例子　　127 7.2.2 简谐运动　　128 7.2.3 一个有趣的函数　　129 第8章　隐函数求导和相关变化率　　132 8.1 隐函数求导　　132 8.1.1 技巧和例子　　133 8.1.2 隐函数求二阶导　　137 8.2 相关变化率　　138 8.2.1 一个简单的例子　　139 8.2.2 一个稍难的例子　　141 8.2.3 一个更难的例子　　142 8.2.4 一个非常难的例子　　144 第9章　指数函数和对数函数　　148 9.1 基础知识　　148 9.1.1 指数函数的回顾　　148 9.1.2 对数函数的回顾　　149 9.1.3 对数函数、指数函数及反函数　　150 9.1.4 对数法则　　151 9.2 e 的定义　　153 9.2.1 一个有关复利的问题　　153 9.2.2 问题的答案　　154 9.2.3 更多关于e 和对数函数的内容　　156 9.3 对数函数和指数函数求导　　158 9.4 求解指数函数或对数函数的极限　　161 9.4.1 涉及e 的定义的极限　　161 9.4.2 指数函数在0 附近的行为　　162 9.4.3 对数函数在1 附近的行为　　164 9.4.4 指数函数在∞ 或-∞ 附近的行为　　164 9.4.5 对数函数在∞附近的行为　　167 9.4.6 对数函数在0 附近的行为　　168 9.5 取对数求导法　　169 9.6 指数增长和指数衰变　　173 9.6.1 指数增长　　174 9.6.2 指数衰变　　176 9.7 双曲函数　　178 第10章　反函数和反三角函数　　181 10.1 导数和反函数　　181 10.1.1 使用导数证明反函数存在　　181 10.1.2 导数和反函数：可能出现的问题　　182 10.1.3 求反函数的导数　　183 10.1.4 一个综合性例子　　185 10.2 反三角函数　　187 10.2.1 反正弦函数　　187 10.2.2 反余弦函数　　190 10.2.3 反正切函数　　192 10.2.4 反正割函数　　194 10.2.5 反余割函数和反余切函数　　195 10.2.6 计算反三角函数　　196 10.3 反双曲函数　　199 第11章　导数和图像　　202 11.1 函数的极值　　202 11.1.1 全局极值和局部极值　　202 11.1.2 极值定理　　203 11.1.3 求全局*大值和*小值　　204 11.2 罗尔定理　　206 11.3 中值定理　　209 11.4 二阶导数和图像　　212 11.5 对导数为零点的分类　　215 11.5.1 使用一次导数　　215 11.5.2 使用二阶导数　　217 第12章　绘制函数图像　　219 12.1 建立符号表格　　219 12.1.1 建立一阶导数的符号表格　　221 12.1.2 建立二阶导数的符号表格　　222 12.2 绘制函数图像的全面方法　　224 12.3 例题　　225 12.3.1 一个不使用导数的例子　　225 12.3.2 完整的方法：例一　　227 12.3.3 完整的方法：例二　　229 12.3.4 完整的方法：例三　　231 12.3.5 完整的方法：例四　　234 第13章　*优化和线性化　　239 13.1 *优化　　239 13.1.1 一个简单的*优化例子　　239 13.1.2 *优化问题：一般方法　　240 13.1.3 一个*优化的例子　　241 13.1.4 另一个*优化的例子　　242 13.1.5 在*优化问题中使用隐函数求导　　246 13.1.6 一个较难的*优化例子　　246 13.2 线性化　　249 13.2.1 线性化问题：一般方法　　251 13.2.2 微分　　252 13.2.3 线性化的总结和例子　　254 13.2.4 近似中的误差　　256 13.3 牛顿法　　258 第14章　洛必达法则及极限问题总结　　263 14.1 洛必达法则　　263 14.1.1 类型A：0/0 　　263 14.1.2 类型A：±∞/ ±∞ 　　266 14.1.3 类型B1: (∞－∞) 　　267 14.1.4 类型B2: (0 ×±∞) 　　269 14.1.5 类型C:?(1±∞, 0º 或∞º)　　270 14.1.6 洛必达法则类型的总结　　272 14.2 关于极限的总结　　273 第15章　积分　　276 15.1 求和符号　　276 15.1.1 一个有用的求和　　279 15.1.2 伸缩求和法　　280 15.2 位移和面积　　283 15.2.1 三个简单的例子　　283 15.2.2 一段更常规的旅行　　285 15.2.3 有向面积　　287 15.2.4 连续的速度　　288 15.2.5 两个特别的估算　　291 第16章　定积分　　293 16.1 基本思想　　293 16.2 定积分的定义　　297 16.3 定积分的性质　　301 16.4 求面积　　305 16.4.1 求通常的面积　　306 16.4.2 求解两条曲线之间的面积　　308 16.4.3 求曲线与y 轴所围成的面积　　310 16.5 估算积分　　313 16.6 积分的平均值和中值定理　　316 16.7 不可积的函数　　319 第17章　微积分基本定理　　321 17.1 用其他函数的积分来表示的函数　　321 17.2 微积分的**基本定理　　324 17.3 微积分的第二基本定理　　328 17.4 不定积分　　329 17.5 怎样解决问题：微积分的**基本定理　　331 17.5.1 变形1：变量是积分下限　　332 17.5.2 变形2：积分上限是一个函数　　332 17.5.3 变形3：积分上下限都为函数　　334 17.5.4 变形4：极限伪装成导数　　335 17.6 怎样解决问题：微积分的第二基本定理　　336 17.6.1 计算不定积分　　336 17.6.2 计算定积分　　339 17.6.3 面积和绝对值　　341 17.7 技术要点　　344 17.8 微积分**基本定理的证明　　345 第18章　积分的方法I　　347 18.1 换元法　　347 18.1.1 换元法和定积分　　350 18.1.2 如何换元　　353 18.1.3 换元法的理论解释　　355 18.2 分部积分法　　356 18.3 部分分式　　361 18.3.1 部分分式的代数运算　　361 18.3.2 对每一部分积分　　365 18.3.3 方法和一个完整的例子　　367 第19章　积分的方法II 　　373 19.1 应用三角恒等式的积分　　373 19.2 关于三角函数的幂的积分　　376 19.2.1 sin 或cos 的幂　　376 19.2.2 tan 的幂　　378 19.2.3 sec 的幂　　379 19.2.4 cot 的幂　　381 19.2.5 csc 的幂　　382 19.2.6 约化公式　　382 19.3 关于三角换元法的积分　　384 19.3.1 类型1：　　384 19.3.2 类型2：　　386 19.3.3 类型3：　　387 19.3.4 配方和三角换元法　　388 19.3.5 关于三角换元法的总结　　389 19.3.6 平方根的方法和三角换元法　　389 19.4 积分技巧总结　　391 第20章　反常积分：基本概念　　393 20.1 收敛和发散　　393 20.1.1 反常积分的一些例子　　395 20.1.2 其他破裂点　　397 20.2 关于无穷区间上的积分　　398 20.3 比较判别法(理论)　　400 20.4 极限比较判别法(理论)　　402 20.4.1 函数互为渐近线　　402 20.4.2 关于判别法的陈述　　404 20.5 p 判别法(理论) 　　405 20.6 绝对收敛判别法　　407 第21章　反常积分：如何解题　　410 21.1 如何开始　　410 21.1.1 拆分积分　　410 21.1.2 如何处理负函数值　　411 21.2 积分判别法总结　　413 21.3 常见函数在∞ 和－∞附近的表现　　414 21.3.1 多项式和多项式型函数在1 和?1 附近的表现　　415 21.3.2 三角函数在∞ 和－∞ 附近的表现　　417 21.3.3 指数在∞和－∞附近的表现　　419 21.3.4 对数在∞ 附近的表现　　422 21.4 常见函数在0 附近的表现　　426 21.4.1 多项式和多项式型函数在0 附近的表现　　426 21.4.2 三角函数在0 附近的表现　　427 21.4.3 指数函数在0 附近的表现　　429 21.4.4 对数函数在0 附近的表现　　430 21.4.5 更一般的函数在0 附近的表现　　431 21.5 如何应对不在0 或∞ 处的瑕点　　432 第22章　数列和级数：基本概念　　434 22.1 数列的收敛和发散　　434 22.1.1 数列和函数的联系　　435 22.1.2 两个重要数列　　436 22.2 级数的收敛与发散　　438 22.3 第n 项判别法(理论) 　　442 22.4 无穷级数和反常积分的性质　　443 22.4.1 比较判别法(理论) 　　443 22.4.2 极限比较判别法(理论) 　　444 22.4.3 ρ 判别法(理论)　　444 22.4.4 绝对收敛判别法　　445 22.5 级数的新判别法　　447 22.5.1 比式判别法(理论) 　　447 22.5.2 根式判别法(理论) 　　449 22.5.3 积分判别法(理论) 　　450 22.5.4 交错级数判别法(理论) 　　453 第23章　求解级数问题　　455 23.1 求几何级数的值　　455 23.2 应用第n 项判别法　　457 23.3 应用比式判别法　　457 23.4 应用根式判别法　　461 23.5 应用积分判别法　　462 23.6 应用比较判别法、极限比较判别法和p 判别法　　463 23.7 应对含负项的级数　　468 第24章　泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论　　472 24.1 近似值和泰勒多项式　　472 24.1.1 重访线性化　　472 24.1.2 二次近似　　473 24.1.3 高阶近似　　474 24.1.4 泰勒定理　　475 24.2 幂级数和泰勒级数　　478 24.2.1 一般幂级数　　479 24.2.2 泰勒级数和麦克劳林级数　　481 24.2.3 泰勒级数的收敛性　　481 24.3 一个有用的极限　　485 第25章　求解估算问题　　487 25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结　　487 25.2 求泰勒多项式与泰勒级数　　488 25.3 用误差项估算问题　　491 25.3.1 **个例子　　492 25.3.2 第二个例子　　494 25.3.3 第三个例子　　495 25.3.4 第四个例子　　496 25.3.5 第五个例子　　497 25.3.6 误差项估算的一般方法　　499 25.4 误差估算的另一种方法　　499 第26章　泰勒级数和幂级数：如何解题　　502 26.1 幂级数的收敛性　　502 26.1.1 收敛半径　　502 26.1.2 求收敛半径和收敛区域　　504 26.2 合成新的泰勒级数　　508 26.2.1 代换和泰勒级数　　509 26.2.2 泰勒级数求导　　511 26.2.3 泰勒级数求积分　　512 26.2.4 泰勒级数相加和相减　　514 26.2.5 泰勒级数相乘　　515 26.2.6 泰勒级数相除　　516 26.3 利用幂级数和泰勒级数求导　　517 26.4 利用麦克劳林级数求极限　　519 第27章　参数方程和极坐标　　523 27.1 参数方程　　523 27.2 极坐标　　528 27.2.1 极坐标与笛卡儿坐标互换　　529 27.2.2 极坐标系中画曲线　　530 27.2.3 求极坐标曲线的切线　　534 27.2.4 求极坐标曲线围成的面积　　535 第28章　复数　　538 28.1 基础　　538 28.2 复平面　　541 28.3 复数的高次幂　　544 28.4 解 w 　　545 28.5 解 ＝ w 　　550 28.6 一些三角级数　　552 28.7 欧拉恒等式和幂级数　　554 第29章　体积、弧长和表面积　　556 29.1 旋转体的体积　　556 29.1.1 圆盘法　　557 29.1.2 壳法　　558 29.1.3 总结和变式　　560 29.1.4 变式1：区域在曲线和y 轴之间　　561 29.1.5 变式2：两曲线间的区域　　562 29.1.6 变式3：绕平行于坐标轴的轴旋转　　565 29.2 一般立体体积　　567 29.3 弧长　　571 29.4 旋转体的表面积　　574 第30章　微分方程　　578 30.1 微分方程导论　　578 30.2 可分离变量的一阶微分方程　　579 30.3 一阶线性方程　　581 30.4 常系数微分方程　　585 30.4.1 解一阶齐次方程　　586 30.4.2 解二阶齐次方程　　586 30.4.3 为什么特征二次方程适用　　587 30.4.4 非齐次方程和特解　　588 30.4.5 求特解　　589 30.4.6 求特解的例子　　590 30.4.7 解决yP 和yH 间的冲突　　592 30.4.8 IVP 　　593 30.5 微分方程建模　　595 附录A 极限及其证明　　598 A.1 极限的正式定义　　598 A.2 由原极限产生新极限　　602 A.3 极限的其他情形　　606 A.4 连续与极限　　611 A.5 再谈指数函数和对数函数　　616 A.6 微分与极限　　618 A.7 泰勒近似定理的证明　　627 附录B 估算积分　　629 B.1 使用条纹估算积分　　629 B.2 梯形法则　　632 B.3 辛普森法则　　634 B.4 近似的误差　　636 符号列表　　640 索引　　643信息