从初等数学到高等数学-第1卷

前言(ⅰ) 1一题多解架构初等、高等数学桥梁(1) 1.1代数(2) 1.2几何(11) 1.3三角(21) 1.4不等式(31) 1.5杂题(49) 2初等数学问题高等数学解答(54) 2.1代数(54) 2.2几何(55) 2.3三角(76) 2.4不等式(79) 2.5杂题(80) 3不等式与函数(86) 3.1不等式篇(86) 3.1.1均值不等式的引入和证明(86) 3.1.2从课本上的简单不等式谈起——从初等数学到高等数学(87) 3.1.3小学题？中学题？大学题？(89) 3.1.4解读神证明(89) 3.1.5也说Nesbitt不等式(94) 3.1.6均值不等式的隔离(96) 3.1.7答正切函数不等式猜想(97) 3.1.8一个对数不等式的五种证法(99) 3.1.9变式教学与数学背景(101) 3.1.10三角不等式的证明——从用导数到不用导数(105) 3.1.11高等数学思想指导完善初等数学错漏(108) 3.2函数篇(111) 3.2.1从常系数到变系数——从罗增儒教授的无奈谈起(111) 3.2.2以康托函数为背景的函数题(113) 3.2.3三次方程判别式问题两例(117) 3.2.4三次方程和韦达定理(121) 3.2.5洛必达法则及其替代品(122) 3.2.6十五岁的图灵如何推导级数形式的反正切公式(123) 3.2.7从f(x y)=f(x) f(y)说开去(124) 3.2.8对开方迭代式的认识过程(126) 4线性代数(128) 4.1线性组合和线性无关(128) 4.1.1漫谈线性组合(128) 4.1.2已知根式解寻求原方程(131) 4.2行列式解题(134) 4.2.1行列式解代数问题举例(134) 4.2.2行列式与面积(138) 4.2.3从“经过已知三点的一元二次函数”谈起(141) 4.2.4圆方程、三角形五心、圆幂定理(145) 4.2.5海伦公式与托勒密定理的行列式统一公式(150) 4.2.6行列式与射影定理(152) 4.2.7行列式解几何题举例 (156) 5杂篇(165) 5.1认识的深入(165) 5.1.1不一样的加法和乘法(165) 5.1.2从乘法是加法的简便运算谈起(166) 5.1.3漫谈1 2 3 4 … n(167) 5.1.4向量 (170) 5.1.5结构与同构(173) 5.1.6什么是距离(175) 5.1.7绝对值多种定义以及分段函数定义缺陷(179) 5.1.8无处不在的一一对应(180) 5.1.9一定是斐波那契数列吗？(183) 5.2初等数学、高等数学面面观(186) 5.2.1特殊与一般——《吉米多维奇数学分析习题集》一题(186) 5.2.2谈谈循环论证(187) 5.2.3根式方程有理化(191) 5.2.4包络线与赋范空间的一点小应用(194) 5.2.5学贵有疑——《数学解题的特殊方法》一题(197) 5.2.6证明sin2x cos2x=1——《陶哲轩实分析》一题(198) 5.2.7平方差公式的三角扩展(200) 5.2.8从代数恒等式到三角恒等式(203) 5.2.9例证法：从代数式到三角式(207) 5.2.10勾股定理的三维推广(212) 5.2.11一道多情形几何题的多种证明(214) 5.2.12初等、高等数学不同视角一题多解更显风采(219) 5.2.13你也可以做幻方(223) 5.2.14剑桥大学的一道经典名题(225) 5.2.15从高考题谈迭代(227) 5.2.16微积分新概念的教学脚步何妨慢一点(229) 5.2.17高等数学的“败笔”(232) 5.2.18不好的高等数学解法举例(234) 5.2.19陈省身没做出来的数学题(238) 5.2.20相信付出才有回报(239) 参考文献(242)