数值分析/陈欣

第1章 绪论 1
1．1 引言 1
1．2 误差 2
1．2．1 误差来源与分类 2
1．2．2 绝对误差、相对误差与有效
数字 3
1．3 数值算法设计原则 6
习题1 9
第2章 非线性方程与方程组的数值
解法 11
2．1 引言 11
2．2 二分法 12
2．3 简单迭代法 14
2．3．1 简单迭代法的构造原理 14
2．3．2 迭代法的收敛性 16
2．3．3 局部收敛性与收敛阶 18
2．3．4 迭代法的加速技巧 20
2．4 牛顿法及其变形方法 22
2．4．1 牛顿法 22
2．4．2 牛顿法的变形 25
2．5 多项式方程求根法 30
2．6 非线性方程组的数值解法 31
2．7 应用案例：球体进水深度问题 33
习题2 33
上机实验 35
第3章 解线性方程组的直接法 36
3．1 引言 36
3．2 高斯消去法 37
3．2．1 高斯消去法的基本思想 37
3．2．2 n元线性方程组的高斯消去法 38
3．3 列主元高斯消去法 42
3．4 直接三角分解法及列主元三角
分解法 43
3．4．1 直接三角分解法 43
3．4．2 列主元三角分解法 47
3．5 特殊矩阵的三角分解法 49
3．5．1 对称矩阵的三角分解法 49
3．5．2 对称正定矩阵的三角分解法 50
3．5．3 三对角方程组的追赶法 52
3．6 应用案例：食物营养配餐问题 54
习题3 56
上机实验 57
第4章 解线性方程组的迭代法 58
4．1 预备知识 58
4．1．1 向量的数量积及其性质 58
4．1．2 向量范数和向量序列的极限 59
4．1．3 矩阵范数和矩阵序列的极限 60
4．1．4 方程组的性态与矩阵的条件数 62
4．2 简单迭代法 64
4．2．1 简单迭代法的基本构造 64
4．2．2 迭代法的收敛性 64
4．2．3 迭代法收敛的误差估计 66
4．3 雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法 66
4．3．1 雅可比迭代法 67
4．3．2 高斯-赛德尔迭代法 69
4．3．3 雅可比迭代法和高斯-赛德尔
迭代法的收敛性 72
4．4 超松弛迭代法 74
4．5 共轭梯度法 76
4．5．1 等价的极值问题 77
4．5．2 *速下降法 78
4．5．3 共轭梯度法 79
4．6 应用案例：迭代法在求解偏微分
方程中的应用 82
习题4 84
上机实验 86
第5章 曲线拟合与函数插值 88
5．1 曲线拟合的*小二乘法 88
5．1．1 *小二乘问题 88
5．1．2 *小二乘拟合多项式 90
5．2　插值问题的提出 94
5．3 拉格朗日插值 96
5．3．1 线性插值与二次插值 96
5．3．2 拉格朗日插值多项式 97
5．3．3 插值余项 99
5．4 差商与牛顿插值 102
5．4．1 差商的定义与性质 102
5．4．2 牛顿插值公式 103
5．5 差分与等距节点插值 105
5．5．1 差分的定义与性质 105
5．5．2 等距节点插值公式 106
5．6 埃尔米特插值 108
5．7 分段低次多项式插值 111
5．7．1 高次多项式插值的龙格现象 111
5．7．2 分段线性插值 112
5．7．3 分段三次埃尔米特插值 112
5．8 三次样条插值 113
5．8．1 三次样条函数 113
5．8．2 三次样条插值函数的计算 114
5．9 应用案例：应用三次样条函数实现
曲线拟合 117
习题5 119
上机实验 121
第6章 数值微积分 123
6．1　数值积分的基本概念 123
6．1．1　求积公式与代数精度 123
6．1．2　插值型求积公式 124
6．2　牛顿-柯特斯公式 125
6．2．1　牛顿-柯特斯系数及常用求
积公式 125
6．2．2　误差估计 128
6．2．3　收敛性与稳定性 129
6．2．4　复化求积公式 130
6．3　龙贝格算法 132
6．3．1　变步长梯形求积算法 132
6．3．2　理查森外推算法 134
6．3．3　龙贝格算法 135
6．4　高斯型求积公式 137
6．4．1　求积公式的*高代数精度 137
6．4．2　正交多项式 138
6．4．3　高斯型求积公式的一般理论 140
6．4．4　高斯-勒让德求积公式 141
6．5　数值微分 143
6．5．1　中点方法 143
6．5．2　插值型求导公式 145
6．6 应用案例：卫星轨道长度计算问题 146
习题6 148
上机实验 150
第7章 常微分方程的数值解法 151
7．1 引言 151
7．2 简单数值计算方法 152
7．2．1 欧拉法 152
7．2．2 隐式欧拉法 153
7．2．3 梯形法 154
7．2．4 改进欧拉法 155
7．3 龙格-库塔方法 156
7．3．1 泰勒展开公式 156
7．3．2 龙格-库塔方法的基本思想 158
7．3．3 二阶龙格-库塔公式 159
7．3．4 三阶龙格-库塔公式 160
7．3．5 四阶龙格-库塔公式 161
7．4 线性多步法 162
7．4．1 线性多步法的一般公式 162
7．4．2 阿当姆斯显式与隐式公式 163
7．4．3 阿当姆斯预测-校正公式 166
7．5 一阶方程组与高阶方程 167
7．5．1 一阶方程组 167
7．5．2 化高阶方程为一阶方程组 168
7．6 应用案例：闭电路中电流的计算
问题 170
习题7 172
上机实验 173
第8章 矩阵的特征值问题 174
8．1 幂法和反幂法 174
8．1．1 幂法 174
8．1．2 幂法的加速技巧 178
8．1．3 反幂法 180
8．2 对称矩阵的雅可比方法 182
8．2．1 平面旋转矩阵 182
8．2．2 雅可比方法 184
8．3 QR方法 186
8．3．1 正交变换 186
8．3．2 矩阵的QR分解 188
8．3．3 QR算法 191
8．4 求实对称三对角阵特征值的二分法 192
8．4．1 特征多项式序列及其性质 192
8．4．2 求特征值的二分法 193
8．5 应用案例：互联网页面等级计算
问题 195
习题8 197
上机实验 198
参考文献 199