有限元方法的数学理论

《大学数学科学丛书》序
前言
符号说明

第1章 有限元方法的简单回顾
1．1 变分问题
1．2 Galerkin逼近
1．2．1 Galerkin逼近
1．2．2 误差分析
思考题

第2章 椭圆边值问题的变分问题
2．1 抽象的变分问题
2．2 Lax-Milgram定理
2．2．1 对称情形
2．2．2 非对称情形
2．3 若干例子
2．3．1 Green公式
2．3．2 若干例子
思考题

第3章 Sobolev空间概要
3．1 Lp（Ω）空间
3．2 广义导数（微商）
3．3 磨光算子、均值逼近与单位分解
3．3．1 磨光算子
3．3．2 均值逼近定理
3．3．3 单位分解
3．4 Sobolev空间
3．5 Sobolev空间嵌入定理
3．6 等价范数
3．7 商空间
思考题

第4章 有限元离散化
4．1 有限元离散化
4．2 二维情形
4．2．1 三角形单元
4．2．2 矩形单元
4．3 有限元方法的计算流程
4．4 预处理共轭梯度法
思考题

第5章 协调有限元的误差分析
5．1 引言
5．2 Sobolev空间中的分片多项式插值
5．2．1 仿射等价元之间范数的关系
5．2．2 单元插值误差估计
5．3 多边形区域上二阶问题的误差分析
5．3．1 先验误差估计
5．3．2 L2-模与负模估计
5．3．3 非光滑解的收敛性
5．4 逆不等式
5．4．1 单元上的逆不等式
5．4．2 逆不等式
5．4．3 Hs（Ω）模估计
5．4．4 *大模估计
5．5 非光滑函数的插值
5．5．1 有限元空间
5．5．2 Clement插值
5．6 Nitsche权模方法
5．6．1 权模定义与权函数关系式
5．6．2 加权插值逼近定理
5．6．3 *大模估计
5．7 抛物型方程有限元解的误差估计
5．7．1 半离散化解的L2-模与梯度估计
5．7．2 全离散化解的误差估计
思考题

第6章 数值积分的影响
6．1 有限元方法中的数值积分
6．1．1 三角形单元上的一次精度求积公式
6．1．2 三角形单元上的二次精度求积公式
6．1．3 三角形单元上的三次精度求积公式
6．1．4 三角形单元上带导数的三次精度求积公式
6．1．5 矩形单元上的数值积分
6．2 数值积分下的抽象误差估计
6．3 相容误差估计
思考题

第7章 非协调有限元
7．1 抽象的误差估计
7．2 二阶问题的非协调元
7．2．1 Crouzeix-Raviart三角形元（C-R元）
7．2．2 Wilson矩形元
7．3 四阶问题的非协调元
思考题

第8章 混合有限元方法
8．1 混合变分问题之例
8．2 抽象的连续混合变分问题
8．2．1 混合变分问题
8．2．2 推广Lax-Milgram定理
8．2．3 LBB条件
8．3 离散化逼近
8．4 两个应用实例
8．4．1 Poisson方程边值问题的混合有限元方法
8．4．2 Stokes问题的混合有限元方法
思考题

参考文献
索引