可积模型方法及其应用

目录 前言 第1章 Bethe Ansatz 方法简介 1 1.1 可积性概述 1 1.2 自旋链模型 4 1.2.1 坐标 Bethe Ansatz 4 1.2.2 基态及低能元激发 9 1.2.3 热力学性质 15 1.2.4 代数 Bethe Ansatz 20 1.2.5 开边界问题 26 1.2.6 反射代数 Bethe Ansatz 31 1.2.7 非对角 Bethe Ansatz 39 1.2.8 近藤问题 52 1.2.9 各向异性 56 1.3 嵌套的代数 Bethe Ansatz 60 1.4 SU(4) 对称自旋梯子模型 66 1.5 自旋为 1 的玻色气体 70 参考文献 77 第2章 Lieb-Liniger 模型：多体物理之美 79 2.1 引言 79 2.2 Bethe 假设 80 2.3 基态行为 86 2.4 弱相互作用：半圆律 88 2.5 强相互作用: 费米化 90 2.6 元激发：集体运动 92 2.7 Yang-Yang 热力学方法 96 2.8 Lieb-Liniger 模型中的量子统计 99 2.9 普适的热力学行为 104 2.10 Luttinger 液体理论 108 2.11 量子临界性 111 2.12 关联函数 1142.13 关于 Lieb-Liniger 玻色气体的实验发展 120 参考文献 124 第3章 共形场论入门 126 3.1 共形变换 126 3.1.1 d 维共形变换 127 3.1.2 二维共形变换 132 3.1.3 Witt 代数 133 3.1.4 共形子代数 135 3.1.5 元场的多点函数 136 3.1.6 二维共形代数的中心扩张 137 3.1.7 守恒量与能{动张量 138 3.2 几个常用概念 140 3.2.1 径向积 141 3.2.2 算子积展开 143 3.2.3 正规积 145 3.2.4 能{动张量展开 146 3.3 共形场：举例 147 3.3.1 自由玻色子 148 3.3.2 顶点算子 150 3.3.3 su(2)1 代数 152 3.3.4 自由费米子 152 3.3.5 鬼系统 155 3.3.6 中心荷 157 3.4 态 158 3.4.1 **权态 159 3.4.2 嗣场 161 3.4.3 Kac 行列式和酉表示 163 3.4.4 极小模型 168 3.4.5 Virasoro 特征标 170 3.5 有理共形场 171 3.5.1 伊辛模型 171 3.5.2 融合代数 173 3.5.3 共形块的交换关系 176 3.5.4 流代数 177 3.5.5 W-代数 1783.5.6 结语 180 参考文献 181 第4章 类非线性薛定谔可积系统中光怪波物理 184 4.1 光怪波物理简介 184 4.1.1 怪波现象 184 4.1.2 理论解释 186 4.1.3 研究进展 188 4.2 类非线性薛定谔可积模型方法 192 4.2.1 达布变换 193 4.2.2 相似变换 200 4.2.3 调制不稳定性 203 4.3 高斯背景上光怪波的激发 207 4.3.1 高斯背景上光怪波精确解 207 4.3.2 怪波激发性质 210 4.4 高阶效应诱发光学局域波态转换 214 4.4.1 调制不稳定性分析 216 4.4.2 局域波精确解构造 219 4.4.3 一阶怪波与孤子的态转换 221 4.4.4 二阶怪波与孤子的态转换 225 4.4.5 呼吸子与其他非线性波的态转换 229 4.4.6 Kuznetsov-Ma 呼吸子与单峰孤子的态转换 232 4.4.7 一般呼吸子与多峰孤子的态转换 233 参考文献 235 第5章 Introduction to Exactly Solvable Quantum Many-body Systems (精确可解量子多体系统导论) 245 5.1 Introduction (引言) 246 5.2 1-Degree of Freedom System (单自由度系统) 251 5.2.1 Factorised Hamiltonian (因式化哈密顿量) 251 5.2.2 Intertwining Relations: Crum's Theorem (交互关系: Crum's 定理) 253 5.2.3 Five Typical Solvable Potentials (五种典型的可解势) 255 5.2.4 Shape Invariance: Sufficient Condition of Exact Solvability (形状不变性: 完全可解性的充分条件) 261 5.2.5 Solvability in the Heisenberg Picture (海森伯绘景下的可解性) 264 5.2.6 Difference Schrodinger Equations (差分薛定谔方程) 269 5.2.7 From One Particle to Many Particles (从单粒子到多粒子) 2785.2.8 Reffeection Groups and Root Systems (反射群和根系) 279 5.3 Calogero-Sutherland Systems (Calogero-Sutherland 系统) 283 5.3.1 Simplest Cases (Based on Ar-1 Root System) (几个简单的例子 (基于 Ar-1 根系)) 283 5.3.2 Universal Formalism (普适形式) 287 5.3.3 Jack Polynomials (Jack 多项式) 299 5.4 Multi-Particle QM with Difference Schrodinger Equations (差分薛定谔方程中的多粒子量子力学) 305 5.4.1 Ruijsenaars-Schneider Systems (Ruijsenaars-Schneider 系统) 307 5.4.2 Macdonald Polynomials (Macdonald 多项式) 308 5.5 Comments and Discussion (总结和讨论) 313 5.6 Appendix: Symbols， Definitions & Formulas (附录: 符号、定义和公式) 314 参考文献 315 第6章 Quasi-Exactly Solvable Systems (准精确可解系统) 322 6.1 Exact Solvability Versus Quasi-Exact Solvability (精确可解性与准精确可解性) 322 6.2 Generalities: Characterization of QES Operators (概论: 准精确可解算符的特性) 323 6.3 Lie Algebra Approach (李代数方法) 324 6.4 Relationship Between 2nd-order Differential Operator and Schrodinger Operator (二阶差分算符和薛定谔算符的关系) 328 6.5 Examples of QES Systems with Lie Algebraization (准精确可解系统李代数化的例子) 329 6.5.1 Sextic Potential (六次势) 329 6.5.2 Harmonic Oscillator (谐振子) 331 6.5.3 Lame Equation (Lame 方程) 331 6.5.4 QES Quartic Potential (准精确可解的四次势) 333 6.5.5 Quantum (Driven) Rabi Model (量子驱动的 Rabi 模型) 335 6.6 Stackel Transform and Coupling Constant Metamorphosis (Stackel 变换和耦合常数变形) 338 6.6.1 Two Electrons in External Oscillator Potential (谐振外势中的两电子体系) 338 6.6.2 2D Hydrogen in Uniform Magnetic Field (均匀磁场中的二维氢原子) 3406.6.3 Hooke Atom: Two Planar Charged Particles in Uniform Magnetic Field (Hooke 原子: 均匀磁场中的两个平面带电粒子) 341 6.6.4 Two Coulombically Repelling Electrons on a Sphere (球面上的两个具有库仑排斥势的电子) 343 6.6.5 Inverse Sextic Power Potential (逆六次势) 344 6.7 Solutions to QES: Bender-Dunne Polynomials (精确解: Bender-Dunne 多项式) 346 6.8 3-term Recurrence Relation and Continued Fractions (3 项递归关系和连分式) 348 6.8.1 Bargmann-Hilbert Spaces (Bargmann-Hilbert 空间) 351 6.8.2 2-photon Quantum Rabi Model (两光子量子 Rabi 模型) 352 6.8.3 Two-mode Quantum Rabi Model (双模量子 Rabi 模型) 358 6.9 Solutions to QES Differential Equations: Heine-Stieltjes Polynomials (准精确可解差分方程的解: Heine-Stieltjes 多项式) 362 6.10 Solutions to QES Systems: Functional Bethe Ansatz Method (准精确可解系统的解: Bethe Ansatz 方法) 365 6.11 Examples of Solutions of QES Models (准精确可解模型的解的一些例子) 370 6.11.1 Bose-Hubbard Dimer with Local M-body Interaction (Bose-Hubbard二聚体中的局域多体相互作用) 370 6.11.2 BA Solut