薛定宇教授大讲堂(卷Ⅱ):MATLAB微积分运算

目　录
CONTENTS
第 1章微积分问题简介 1
1.1微积分学发展简史 1
1.2本书的主要内容 · 4
第 2章函数与序列 · 6
2.1函数与映射 · 6
2.1.1函数的定义与描述 6
2.1.2常用超越函数的 MATLAB计算 7
2.1.3一般函数的 MATLAB表示 · 7
2.1.4函数的曲线与曲面表示 8
2.2不同函数的 MATLAB表示 · 9
2.2.1反函数 · 9
2.2.2复合函数 · 9
2.2.3分段函数的描述 10
2.2.4隐函数 · 12
2.2.5参数方程 · 13
2.2.6极坐标函数 · 16
2.3奇函数与偶函数 · 17
2.4复变函数与映射 · 18
2.4.1复数矩阵及其变换 18
2.4.2复变函数的映射 18
2.4.3 Riemann曲面的绘制 19
2.5序列与函数项序列 22本章习题 23
第 3章函数与序列的极限 26
3.1单变量函数的极限 27
3.1.1单变量函数极限的 φ–α定义 · 27
·iv·薛定宇教授大讲堂（卷 II）：MATLAB微积分运算
3.1.2函数极限的计算机求解 29
3.1.3复合函数的极限 31
3.1.4序列的极限 · 31
3.1.5分段函数的极限 32
3.1.6无穷小量与无穷大量 33
3.2单边极限与函数连续性 33
3.2.1左极限与右极限 33
3.2.2函数的连续性 35
3.2.3区间极限运算 36
3.2.4函数连续性的应用方程解的判定 · 37
3.3复函数的奇点、极点与留数 · 38
3.3.1奇点与极点的计算 38
3.3.2复变函数的留数 39
3.4多元函数的极限 · 41
3.4.1累极限 · 41
3.4.2重极限及其计算 42本章习题 44第 4章函数的导数与微分 47
4.1函数的导数和高阶导数 48
4.1.1函数的导数与微分 48
4.1.2函数导数与高阶导数 48
4.1.3复合函数的导数 51
4.1.4分段函数的导数 52
4.1.5矩阵的导数 · 53
4.2参数方程的导数 · 53
4.3多元函数的偏导数 55
4.3.1偏导数 · 55
4.3.2全微分 · 58
4.3.3多元复合函数的导数 58
4.4场的梯度、散度与旋度 · 59
4.4.1标量场与向量场 59
4.4.2梯度、散度与旋度 · 59
4.4.3向量场的势 · 61
4.5多元函数的导数矩阵 61
4.5.1 Jacobi矩阵 61
4.5.2 Hesse矩阵 62
4.5.3标量函数的 Laplace算子 · 63
4.6隐函数的偏导数 · 63
4.6.1单个隐函数的一阶导数 63
4.6.2隐函数的高阶导数 64
4.6.3隐函数方程组的偏导数计算· 66
4.7导数与微分的应用 68
4.7.1极值问题 · 68
4.7.2 Newton–Raphson迭代方法 · 71
4.7.3曲面的切面方程与法线方程· 72本章习题 73
第 5章函数的积分 · 75
5.1单变量函数的不定积分 76
5.2定积分与反常积分 79
5.2.1定积分 · 79
5.2.2广义积分与反常积分 81
5.3多重积分问题的 MATLAB求解 · 83
5.3.1多重不定积分 84
5.3.2待定多项式的构造 85
5.3.3多重定积分的计算 86
5.3.4积分区域的处理与变换 87
5.4定积分的应用 · 88
5.4.1曲线弧长的计算 88
5.4.2旋转体的体积计算 89
5.4.3三维图形围成的体积与质量计算 · 90
5.4.4概率密度与分布函数 91
5.4.5积分变换入门 92
5.5曲线积分 · 92
5.5.1**类曲线积分 93
5.5.2第二类曲线积分 95
5.6曲面积分 · 96
5.6.1**类曲面积分 96
5.6.2第二类曲面积分 98
·vi·薛定宇教授大讲堂（卷 II）：MATLAB微积分运算
本章习题 100
第 6章级数展开与函数逼近 103
6.1级数求和 · 103
6.1.1数项级数的求和 104
6.1.2无穷级数求和计算 106
6.1.3函数项级数的求和 108
6.1.4特殊的无穷项问题 109
6.2无穷级数的收敛性判定 111
6.2.1正项级数的一般描述 111
6.2.2正项级数的收敛性判定 111
6.2.3交替级数的收敛性判定 113
6.2.4函数项级数的收敛区间 114
6.3序列求积问题 · 115
6.3.1数项序列的乘积 115
6.3.2函数项序列的乘积 116
6.3.3正项序列求积的收敛性判定· 116
6.4 Taylor幂级数展开 117
6.4.1单变量函数的 Taylor幂级数展开 · 118
6.4.2多元函数的 Taylor幂级数展开· 121
6.5 Fourier级数展开 · 122
6.5.1 Fourier级数的数学描述 122
6.5.2 Fourier级数的 MATLAB实现 · 123
6.6单变量函数的有理函数近似 126
6.6.1函数的连分式近似 126
6.6.2函数的 Padé近似 · 130
6.7 Laurent级数展开· 131
6.7.1复变函数的 Laurent级数展开 · 131
6.7.2有理函数的 Laurent级数 · 133本章习题 135
第 7章数值导数与微分 139
7.1数值导数算法 · 139
7.1.1前向差分与后向差分算法 140
7.1.2 o(h2)精度中心差分算法 · 140
7.1.3 o(h4)精度中心差分算法 · 141
7.1.4更高精度的中心差分公式 141
7.1.5一般高阶差分公式的推导与计算 · 142
7.1.6高精度前向与后向差分算法· 145
7.2数值导数计算的 MATLAB实现 · 146
7.2.1二阶精度算法的实现 147
7.2.2七点中心算法的实现 148
7.2.3前向差分数值导数算法的实现· 149

7.3已知样本点的任意阶数值导数的求解函数 · 151
7.4二元函数的偏导数计算 153
7.4.1梯度计算 · 153
7.4.2针对单变量的高精度偏导数算法 · 154
7.4.3混合偏导数的数值计算 156
7.4.4高阶混合偏导数的数值计算· 157
7.5样条插值与数值导数计算 158
7.5.1三次样条 · 158
7.5.2 B样条 · 161
7.5.3基于样条的数值导数计算 162
7.5.4不等间距样本散点的数值偏导数计算 · 165本章习题 167第 8章数值积分 · 169
8.1由给定样本点求数值积分 169
8.1.1定积分的直接计算 169
8.1.2积分函数的重建 171

8.1.3等间距样本点的高精度数值积分方法 · 172
8.2单变量数值积分问题求解 175
8.2.1简单数值积分问题 175
8.2.2数值积分问题的 MATLAB求解 176
8.2.3反常积分的数值计算 180
8.2.4含参数函数的数值积分 181
8.2.5积分函数的数值求解 183
8.3双重积分问题的数值解 184
8.3.1双重定积分的计算 184
8.3.2双重积分曲面的计算 185
8.3.3不同积分顺序的双重积分计算方法 · 185
·viii·薛定宇教授大讲堂（卷 II）：MATLAB微积分运算
8.4多重积分数值求解 186
8.4.1三重定积分的数值求解 187
8.4.2含参数函数的三重积分 188
8.4.3多重积分数值求解 189

8.4.4某些变边界多重积分问题的数值求解方法 191
8.5数值积分的其他计算方法 191

8.5.1基于 Monte Carlo方法的数值积分近似 192
8.5.2基于样条插值的数值积分 194
8.5.3多重积分的数值计算 196本章习题 197
第 9章积分变换 · 200
9.1 Laplace变换及其反变换 · 200
9.1.1 Laplace变换及反变换的定义与性质 201
9.1.2 Laplace变换的计算机求解 202
9.1.3用 Laplace变换求解微分方程 204
9.2 Laplace变换问题的数值求解 206
9.2.1数值 Laplace反变换 · 206
9.2.2闭环系统响应的思想 207
9.2.3数值 Laplace变换· 208
9.2.4无理系统的响应计算 211
9.3 Fourier变换及其反变换 211
9.3.1 Fourier变换及反变换定义与性质· 212
9.3.2 Fourier变换的计算机求解 212
9.3.3 Fourier正弦和余弦变换 213
9.3.4离散 Fourier正弦、余弦变换 · 215
9.3.5快速 Fourier变换 · 216
9.4其他积分变换问题及求解 217
9.4.1 Mellin变换 217
9.4.2 Hankel变换及求解 219
9.5 z变换及其反变换 220
9.5.1 z变换及反变换定义与性质 · 221
9.5.2 z变换的计算机求解· 221
9.5.3双边 z变换 223
9.5.4有理函数 z反变换的数值求解 · 223本章习题 224
第 10章分数阶微积分· 228
10.1分数阶微积分的定义 · 229
10.1.1为什么要引入分数阶微积分的概念 · 229
10.1.2分数阶微积分的定义 230
10.2不同分数阶微积分定义的关系与性质 231
10.3 Grünwald–Letnikov定义的数值实现 · 232
10.3.1 Grünwald–Letnikov定义 232
10.3.2高精度算法与实现 233
10.3.3不同精度算法的定量比较 · 237
10.4 Caputo微积分定义的数值计算 · 239
10.5 Oustaloup滤波算法及其应用 241
10.5.1 Oustaloup滤波器近似 · 241
10.5.2 Caputo导数的滤波器近似 243

10.5.3基于 Simulink的 Caputo导数计算 245
10.6更高阶导数与积分的数值计算 246本章习题 248参考文献· 249 MATLAB函数名索引 · 251
术语索引· 255