计算方法(第3版)/李桂成

第1章 引论 1
1.1 从数学到计算 1
1.2 误差理论初步 5
1.2.1 误差的来源 5
1.2.2 误差的度量 6
1.2.3 误差的传播 9
1.2.4 数值稳定性 11
1.3 数值计算的若干原则 12
1.3.1 避免两个相近数相减 12
1.3.2 避免用绝对值过小的数作为除数 13
1.3.3 要防止大数“吃掉”小数 13
1.3.4 简化计算步骤，提高计算效率 14
1.3.5 使用数值稳定的算法 15
本章小结 16
习题1 17
第2章 计算方法的数学基础 19
2.1 微积分的有关概念和定理 19
2.1.1 数列与函数的极限 19
2.1.2 连续函数的性质 21
2.1.3 罗尔定理和微分中值定理 21
2.1.4 积分加权平均值定理 22
2.1.5 权函数和函数的内积 23
2.1.6 正交函数系 23
2.1.7 勒让德多项式 25
2.2 微分方程的有关概念和定理 26
2.2.1 基本概念 26
2.2.2 初值问题解的存在唯一性 28
2.3 线性代数的有关概念和定理 28
2.3.1 线性相关和线性无关 28
2.3.2 方阵及其初等变换 30
2.3.3 线性方程组解的存在唯一性 32
2.3.4 特殊矩阵 33
2.3.5 方阵的逆及其运算性质 35
2.3.6 矩阵的特征值及其运算性质 36
2.3.7 对称正定矩阵 39
2.3.8 对角占优矩阵 40
2.3.9 向量的内积 41
2.3.10 向量、矩阵和连续函数的范数 41
2.3.11 向量序列与矩阵序列的极限 46
本章小结 47
习题2 47
第3章 MATLAB编程基础 49
3.1 MATLAB R2018b简介 49
3.2 MATLAB R2018b的工作环境 51
3.2.1 MATLAB R2018b的工具箱 51
3.2.2 MATLAB R2018b的命令行窗口 53
3.2.3 MATLAB R2018b的工作区 54
3.2.4 MATLAB R2018b的当前文件夹 54
3.3 MATLAB的变量、常量和数据类型 55
3.3.1 常量 55
3.3.2 变量 56
3.3.3 数据类型 56
3.4 MATLAB的数值运算 58
3.4.1 向量运算 58
3.4.2 矩阵运算 59
3.5 MATLAB的符号运算 64
3.5.1 字符串运算 64
3.5.2 符号表达式运算 65
3.5.3 符号矩阵运算 68
3.5.4 符号微积分运算 69
3.5.5 符号方程求解 71
3.6 MATLAB图形可视化 73
3.6.1 绘制二维图形 73
3.6.2 绘制三维图形 74
3.7 MATLAB程序设计 75
3.7.1 MATLAB程序的控制结构 75
3.7.2 MATLAB文件 78
3.7.3 MATLAB R2018b程序调试方法 78
本章小结 81
习题3 81
第4章 方程求根 83
4.1 引言 83
4.2 二分法 84
4.3 迭代法 87
4.3.1 不动点迭代 87
4.3.2 迭代法的收敛性 88
4.3.3 迭代法的改善 95
4.4 牛顿迭代法 96
4.4.1 牛顿迭代公式及其几何意义 96
4.4.2 牛顿迭代公式的收敛性 97
4.4.3 重根情形 101
4.5 弦截法 102
4.6 算法实现 103
4.6.1 MATLAB编程实现 103
4.6.2 MATLAB函数实现 106
本章小结 107
习题4 108
第5章 解线性方程组的直接法 110
5.1 引言 110
5.2 高斯消去法 111
5.2.1 顺序高斯消去法 111
5.2.2 主元素高斯消去法 115
5.2.3 高斯-约当消去法 117
5.3 矩阵三角分解法 119
5.3.1 高斯消去法与矩阵三角分解法 119
5.3.2 直接三角分解法 120
5.4 解三对角线性方程组的追赶法 124
5.5 误差分析 127
5.5.1 病态方程组与条件数 127
5.5.2 病态方程组的解法 130
5.6 算法实现 131
5.6.1 MATLAB编程实现 131
5.6.2 MATLAB函数实现 135
本章小结 137
习题5 137

第6章 解线性方程组的迭代法 139
6.1 引言 139
6.2 雅可比迭代法 141
6.3 高斯-塞德尔迭代法 142
6.4 迭代法的收敛性 144
6.5　算法实现 151
6.5.1　MATLAB编程实现 151
6.5.2　MATLAB函数实现 155
本章小结 156
习题6 156
第7章 函数插值 159
7.1 引言 159
7.1.1 插值问题 159
7.1.2 插值多项式的存在唯一性 160
7.2 拉格朗日插值 161
7.2.1 线性插值与抛物插值 161
7.2.2 拉格朗日插值 163
7.2.3 插值余项与误差估计 165
7.3 牛顿插值 169
7.4 埃尔米特插值 173
7.5 分段低次插值 175
7.5.1 高次插值与龙格现象 175
7.5.2 分段线性插值 176
7.5.3 分段三次埃尔米特插值 178
7.6 样条插值 180
7.6.1 三次样条插值函数 180
7.6.2 三次样条插值函数的求法 182
7.7 离散数据的曲线拟合 185
7.7.1 曲线拟合问题 185
7.7.2 多项式拟合 186
7.7.3 正交多项式拟合 188
7.8 算法实现 189
7.8.1 MATLAB编程实现 189
7.8.2 MATLAB函数实现 191
本章小结 195
习题7 195
第8章 数值积分与数值微分 199
8.1 引言 199
8.1.1 数值积分的必要性 199
8.1.2 数值积分的基本思想 200
8.1.3 代数精度 200
8.1.4 插值型求积公式 202
8.2 牛顿-柯特斯求积公式 204
8.2.1 牛顿-柯特斯求积公式的导出 204
8.2.2 牛顿-柯特斯求积公式的误差估计 207
8.3 复合求积公式 209
8.3.1 复合梯形求积公式 209
8.3.2 复合辛普生求积公式 210
8.4 外推算法与龙贝格算法 212
8.4.1 变步长的求积公式 212
8.4.2 外推算法 214
8.4.3 龙贝格求积公式 214
8.5 高斯求积公式 218
8.5.1 高斯点与高斯求积公式 218
8.5.2 高斯-勒让德求积公式 219
8.5.3 高斯求积公式的稳定性和收敛性 222
8.6 数值微分 223
8.6.1 中点公式 223
8.6.2 插值型微分公式 225
8.7 算法实现 227
8.7.1 MATLAB编程实现 227
8.7.2 MATLAB函数实现 230
本章小结 233
习题8 233
第9章 常微分方程初值问题的数值解法 237
9.1 引言 237
9.2 欧拉公式 238
9.2.1 欧拉公式及其意义 238
9.2.2 欧拉公式的变形 239
9.3 单步法的局部截断误差和方法的阶 242
9.4 龙格-库塔方法 245
9.4.1 龙格-库塔方法的基本思想 245
9.4.2 二阶龙格-库塔方法的推导 246
9.4.3 经典四阶龙格-库塔方法 249
9.5 单步法的收敛性和稳定性 251
9.5.1 单步法的收敛性 251
9.5.2 单步法的稳定性 254
9.6 算法实现 257
9.6.1 MATLAB编程实现 257
9.6.2 MATLAB函数实现 260
本章小结 263
习题9 264
第10章 矩阵特征值计算 266
10.1 引言 266
10.2 幂法及反幂法 268
10.2.1 幂法 268
10.2.2 反幂法 271
10.3 QR方法 272
10.3.1 反射变换 272
10.3.2 矩阵的QR分解 274
10.3.3 QR方法的实现 275
10.4 雅可比方法 276
10.4.1 平面旋转矩阵 276
10.4.2 雅可比方法及其改进 278
10.5 算法实现 280
10.5.1 MATLAB编程实现 280
10.5.2 MATLAB函数实现 286
本章小结 289
习题10 290
第11章 函数优化计算 291
11.1 引言 291
11.2 一元函数优化计算 292
11.2.1 牛顿法 292
11.2.2 拟牛顿法 294
11.2.3 黄金分割法 294
11.3 多元函数优化计算 296
11.3.1 多元函数有*优解的条件 296
11.3.2 多元函数数值求解的原则 297
11.3.3 梯度法 298
11.3.4 牛顿法 300
11.3.5 共轭方向法 301
11.4 算法实现 304
11.4.1 MATLAB编程实现 304
11.4.2 MATLAB函数实现 307
本章小结 309
习题11 309
附录A 计算方法实验 310
实验1 方程求根 311
实验2 解线性方程组的直接法 312
实验3 解三对角线性方程组的追赶法 313
实验4 解线性方程组的迭代法 314
实验5 函数插值问题 315
实验6 数值积分 316
实验7 数值微分 318
实验8 常微分方程初值问题的数值解法 319
实验9 矩阵特征值计算 320
实验10 函数优化计算 321
参考文献 323