信号与系统:MATLAB实现

第3章傅里叶变换 【本章导读】 本章讨论连续时间信号与系统的傅里叶分析方法，从正交函数出发，得出三角函数形式和复指数形式的傅里叶级数展开式，引出傅里叶变换并建立信号频谱概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握连续信号的频域分析方法。在此基础上延伸至周期信号与抽样信号的傅里叶变换。在*后介绍傅里叶变换*主要的应用——滤波、调制和抽样。 【学习要点】 （1） 掌握傅里叶级数(三角函数形式与指数形式)的定义、性质及将周期信号展开为傅里叶级数的方法。 （2） 掌握傅里叶正变换和逆变换的定义、性质及计算方法。 （3） 掌握信号的频域分析的概念以及各种信号(周期信号、非周期信号、抽样信号、调幅信号)频谱的特点及绘制频谱图的方法，了解信号的频域特性与时域特性的关系，深刻理解信号的频带宽度与信号脉冲宽度之间的关系。 （4） 了解时域抽样与频域抽样的方法及应用，掌握时域抽样定理与频域抽样定理的内容，深刻理解其物理意义。 3.1引言 傅里叶变换是以正交函数集为理论基础，对连续时间函数进行的积分变换。利用周期信号取极限变成非周期信号的方法，可以由周期信号的傅里叶级数推导出傅里叶变换。对于周期信号而言，在进行频谱分析时可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。而对非周期信号而言，则不存在傅里叶级数，此时就要用傅里叶变换求出它的频谱。 傅里叶分析方法从建立到应用经历了一段漫长的历史，1822年法国数学家傅里叶(J.Fourier，1768—1830)在《热的分析理论》一书中提出并证明了周期函数展开成谐波关系的正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。此后傅里叶扩展了其研究成果，提出非周期函数也可以表示为正弦函数的加权积分，从而使傅里叶级数推广到傅里叶积分。在傅里叶之后，1829年狄里克雷(P.L.Dirichlet)给出了严格的傅里叶级数收敛条件，让傅里叶级数和傅里叶积分在许多领域得到了广泛的应用，如热学问题、机械振动等。其后，泊松(Poisson)、高斯(Gauss)等人又把三角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具应用于电力、通信和自动化控制等实际的工程问题中。迄今，傅里叶分析方法在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析中得到了广泛的应用，已成为系统分析不可缺少的重要工具。 3.2周期信号的频谱分析——傅里叶级数 3.2.1傅里叶级数的三角形式 给定一个实周期信号f(t)，设其周期为T1，角频率为ω1=2π/T1，若满足下列狄里克雷条件(通常遇到的周期信号都能满足狄里克雷条件，因此，以后除非特殊说明，一般都认为周期信号满足此条件)： （1） 在f(t)的任意一个周期内，f(t)是绝对可积的； （2） 在f(t)的任意一个周期内，f(t)仅有有限个极大值点和极小值点； （3） 在f(t)的任意一个周期内，f(t)仅有有限个不连续点。 若周期信号f(t)(周期为T1，角频率ω1=2π/T1=2πf1)满足狄里克雷条件，则它便可以展开成如式(31)所示的傅里叶级数三角形式，即： f（t）=a0+a1cos（ω1t）+b1sin（ω1t）+a2cos（2ω1t）+b2sin（2ω1t） +…ancos（nω1t）+bnsin（nω1t）+… =a0+∑+∞n=1［ancos（nω1t）+bnsin（nω1t）］(31) 其中，系数an和bn称为傅里叶级数的系数，简称为傅里叶系数，有 直流分量 a0=1T1∫t0+T1t0f(t)dt(32) 余弦分量的幅度 an=2T1∫t0+T1t0f(t)cos(nω1t)dt(33) 正弦分量的幅度 bn=2T1∫t0+T1t0f(t)sin(nω1t)dt(34) 其中，n=1,2,…。 通常，公式中的积分区间取(0，T1)或－T22，+T22。式(32)~式(34)表明，an和bn都是nω1的函数，其中an是nω1的偶函数，bn是nω1的奇函数。 若将式(31)中同频率项进行合并，可以得到另一种余弦形式的傅里叶级数，即 f(t)=c0+∑+∞n=1cncos(nω1t+n)(35) 或 f(t)=d0+∑+∞n=1dnsin(nω1t+θn) 式(35)也是傅里叶级数的三角函数展开形式。式中n为正整数，c0和d0称为周期函数f(t)直流分量，c1cos(nω1t+1)，d1sin(nω1t+θ1)称为基波分量，ω1称为基波角频率，其余各项(n>1的项)统称为高次谐波分量。高次谐波分量的频率是基波频率的整数倍。当n=2时称为二次谐波分量，n=3时称为三次谐波分量，等等。cn和dn为第n次谐波的幅度，n和θn为第n次谐波的相位。 比较式(31)和式(35)，各参数之间的关系如式(36)所示 a0=c0=d0 an=cncosn=dnsinθn dn=cn=a2n+b2n bn=－cnsinn=dncosθn n=arctan－bnan θn=arctananbn(36) 从以上各式可以发现，展开式中各分量的幅度an、bn、cn及相位n都是nω1的函数。cn和nω1的曲线关系称为信号的幅度频谱，通常简称为幅度谱,如图31(a)所示。相位n与nω1的曲线关系称为相位频谱，通常简称为相位谱,如图31(b)所示。 图31周期信号的频谱 从图31(a)中，可以清楚、直观地看出各频率分量的相对大小，每条实线称为谱线，它代表在该频率分量下的幅度大小。ω1称为基波角频率。由于n为整数，使得周期信号的频谱只会出现在0，ω1，2ω1等离散频率点上，即频谱是离散的，故称此频谱为离散谱，所以周期信号的频谱是离散谱。 3.2.2傅里叶级数的复指数形式 由上述内容可知，周期信号f(t)可以展开为： f(t)=a0+∑+∞n=1［ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)］(37) 根据欧拉公式： cos(nω1t)=12(ejnω1t+e－jnω1t) sin(nω1t)=12j(ejnω1t－e－jnω1t) 代入式(37)，整理可得 f(t)=a0+∑+∞n=1an－jbn2ejnω1t+an+jbn2e－jnω1t(38) 由式(33)和式(34)知，an是n的偶函数，bn是n的奇函数，可设 F(0)=a0 F(nω1)=12(an－jbn)(39) 则 F(－nω1)=12(an+jbn)，n=1,2,3,… 把式(39)代入式(38)，整理可得指数形式的傅里叶级数展开式为 f(t)=∑+∞n=－∞F(nω1)ejnω1t(310) 令Fn=F(nω1)，上式可以写成 f（t）=∑+∞n=-∞Fnejnω1t(311) 其中，Fn为指数形式的傅里叶级数的系数。将式(33)和式(34)代入到式(39)，得到Fn的表达式为： Fn=1T1∫t0+T1t0f(t)e－jnω1tdt(312) 其中n为整数。 不同形式的傅里叶级数展开式系数间的关系如下 F0=c0=d0=a0 |Fn|=|F－n|=12cn=12dn=12a2n+b2n Fn=|Fn|ejn=12(an－jbn) |Fn|+|F－n|=cn F－n=|F－n|e－jn=12(an+jbn) Fn+F－n=an bn=j(Fn－F－n) c2n=d2n=a2n+b2n=4FnF－n(313) 其中，n=1,2,3,…。 周期信号的频谱不仅可以根据傅里叶级数的三角函数形式绘出，还可以绘出指数形式表示的信号频谱。已知Fn一般都是复函数，所以Fn与ω间的关系称为周期信号的复数频谱。又已知道Fn=|Fn|ejn，则|Fn|→ω的关系表示复数幅度谱，n→ω的关系表示复数相位谱。图32(a)、图32(b)分别画出|Fn|对ω的关系和相位φn对ω的关系，即周期信号的复数幅度谱和复数相位谱。如图32(c)所示，是当Fn为实函数时的情况，此时可用Fn的正负来表示φn的0或π，因此通常把幅度谱和相位谱画在一张图上。由公式f(t)=∑+∞n=－∞F(nω1)ejnω1t知，不仅有正频率项nω1，还有负频率项－nω1，所以复指数幅度频谱相对于纵轴是左右对称的，即为双边频谱。由上可知，图32（c）中每条谱线长度为Fn=12cn。 图32周期信号的复数频谱 通过介绍傅里叶级数的三角形式和指数形式，可以发现周期信号的两种频谱的表示方法实质上是一样的，只是复数频谱图中的每个分量的幅度一分为二，并且对称地分布在正负频率的位置上。接下来通过研究周期信号的功率特性来了解其功率在各次谐波中的分布情况，即研究周期信号的功率频谱，简称功率谱。 对周期信号的傅里叶级数三角形式表示式或指数形式表示式进行数学处理，可以得到周期信号f(t)的平均功率P与傅里叶系数有下列关系： P=f2(t)=1T1∫t0+T1t0f2(t)dt =∑+∞n=－∞|Fn|2(314) 此式表明，周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开各谐波分量幅度的平方和，也即时域和频域的能量守恒。式(314)称为帕塞瓦尔定理(或帕塞瓦尔方程)。 3.2.3具有对称性的周期信号的频谱 当周期信号的波形具有某种对称性时，其相应的傅里叶级数的系数会呈现出一定的特征。周期信号的对称性大致分两类，一类是对整个周期对称，如奇函数或偶函数，这种对称性决定了展开式中是否含有正弦项或余弦项； 另一类对称性是关于波形前半周期与后半周期是否相同或成镜像的关系，如奇谐信号。这种对称性决定了展开式中是否含有偶次项或奇次项。下面分别讨论不同的对称情况下傅里叶系数的性质。 1. 偶对称信号 如果以T0为周期的实值周期信号f(t)具有f(t)=f(－t)的关系，则表示周期信号f(t)为t的偶函数，其信号波形对于纵轴是左右对称的，故也称为纵轴对称信号。图33是偶对称信号的一个实例。