妙趣谜题:数字、线段与图形的逻辑难题

02　谜题术语 在谜题中，存在以下的一些术语，此处一并叙述。 1.盘面 一整道题目叫作一个盘面，一般用粗线条围出。本书中仅收录两种类型的盘面，即6×6的和10×10的两种（注：部分题目会在盘面外部给予提示）。 2.单元格 由细线分割形成的小格，叫作单元格。横向排列的格子组成一行，纵向排列的格子组成一列。行用R表示，从上到下分别是R1、R2、R3……列用C表示，从左到右分别是C1、C2、C3…… 我们用行列相交形成的坐标表示单元格的位置。下图中问号所在格为R2C2，数字1所在格为R4C3，数字2所在格为R3C5。 每个单元格的面积是1。 3.区域 一个盘面内，可能有一些粗线将盘面分成很多个区域。每个区域都由粗线围出。下图中一共有四个被围出的区域。 4.黑格 在一部分谜题中，解题时需要涂黑一些单元格，还有一些单元格不能被涂黑。本书在相关题目的篇章内，以黑色格表示被涂黑的格子，用阴影格表示已经确定不能涂黑的格子，白色格表示尚未确定的格子。 5.物品 一些题目会要求在单元格里放入物品。每个单元格只能放入一个物品。本书中，点灯谜题和帐篷谜题属于这种类型。用点格表示不能放入物品的格子。 6.回路 回路指一个环，从环上一点出发，沿着环能回到出发点。回路没有交叉或者分叉。很多谜题要求绘出一个回路，数回谜题的回路画在单元格的边界，而城堡、珍珠、仙人指路的回路要求画在单元格的内部，每个单元格仅能经过一次。 回路具有三种性质，延展性、连通性、染色性质。延展性和连通性是指回路互相连通，并且只能存在一个回路，不能提前闭合。我们可以通过这两种性质将画出的部分回路进行拓展，得到更多的结论。 染色性质是指一个回路必定是偶数格，并且从任一格开始进行AB两种颜色的染色，回路都会按照A-B-A-B……的形式进行循环，两种颜色所占的格数是相等的。这种性质在一些难题里会有非常巧妙的应用，例如2013年北京的谜题世锦赛，其中的仙人指路谜题需要用这种技巧来解开。本书不涉及该类型技巧。 7.线段 本书中，线段仅用于城堡谜题。若一条直线经过了N个单元格，那么线段的长度是N-1，可以理解为经过了N-1个单元格夹缝。 下图展示了一条长度为1的线段和两条长度为2的线段。 8.相邻与对角相邻 两格在上下左右的方向共用一条边，为相邻。两格在斜向共用一个角，为对角相邻。下面两张图展示了相邻和对角相邻。 9.连通 两格上下左右相邻，即为连通。如果多个格子能通过边而全部连通，那么说明这些格子连成一片。 下图中，黑色格连成一片，而白色格没有连成一片。 03 　点灯 Akari 点灯是一种放置类谜题，需要玩家将盘面想象为美术馆，按规则放入一些灯泡使得盘面被全部点亮。点灯的规则简单，玩起来很有趣，有点接近扫雷，但是与扫雷有很大区别，既可以通过一点点的线索逐步推理，又需要解题者不放过任何一个细节，非常耐玩。同时，点灯谜题的规则简单，易于理解，是谜题新手入门的*佳选择之一。 ★规则 （1）在空白格里放入一些灯泡，灯泡可以向上下左右四个方向发出灯光，但是光线会被黑格挡住。每个单元格内只能放入一个灯泡。 （2）黑格中的提示数字表示这一格上下左右有多少个灯泡。没有提示的黑格，周围可以放任意数量的灯泡。 （3）任意两个灯泡不能被照射到，即被点亮的格不能放入新的灯泡。 （4）所有白色格都要被灯泡照射到，或者放入灯泡。 点灯谜题一般从讨论提示数旁边灯泡的分布入手，一边画出灯泡，一边标记出已经点亮的格子、还没有被点亮的格子、不能放入灯泡的格子，等等。解题时候一边要考虑灯泡的摆法，一边还要考虑格子被点亮的情况，两种思路要灵活转换。两种思路的切换和不同标记的切换，对于解题者的细心、耐心及逻辑能力的培养有着非常好的作用。 04　点灯的常用技巧 1.白格被照亮的情况 规则里说所有白格要么放入灯泡，要么被灯泡照亮。在这里有一些非常简单的情况，也有相对复杂的。 如下图所示，数字0旁边不能放入任何灯泡，我们将其周围的格子打上标记。此时R1C1的格子必须被点亮，只能通过在R2C1里放入一个灯泡来点亮它，于是我们可以确定这个格是灯。 注意，我们用阴影表示被点亮的格子，用点表示不能放入灯泡（只是暂时还没有被点亮）的格子。在纸面解题时，可以通过画线的方式表达从一个灯泡发出的灯光。涂阴影/打点/画线的格子都不能再放入灯泡了。 还有一种相对复杂的情况如下图所示，数字0旁边不能放入灯泡，这时中间的区域里如果按左图的方式放灯泡，那么一定会矛盾，R4C4将无法被照亮。因此，中间部分的灯泡只能按右图的方式放置。 同理，右下角R6C6如果是灯泡，则0下方的格子也无法被照亮，因此也可以确定右下角不是灯泡。 2.单个提示数字的情况 观察下图，左上角的2周围只有两个白格，那么这两格里必须放入灯泡。同理可以画出边上3和内部4周围的灯泡。 再观察下面的案例，每一个线索都削弱了。不过我们可以继续分析：数字1旁边的灯泡一定在1的右边或者下方，无论在哪里，1的右下角的格子都不能放入灯泡，我们对其进行标记。同理，2周围的灯泡有三种摆法，无论哪一种摆法，也有两格不能放入灯泡。3周围的灯泡有四种摆法，也可以得到类似的结论。这样的斜角结构是点灯谜题中*常用的结构之一。 3.数字组合的情况——传递（1） 我们来看下面的情况。数字3的周围有3个灯泡，但是考虑到3的右边和下边两格受到提示1的影响，这两个格子里*多只能放一个，那么3的左边和上边自然有两个灯泡。 此外，3的右边和下侧必然有一个，说明1的右边和下方必然没有灯泡。 同理，我们还可以得到下面几个结构的结论。这样的结构叫作传递，这是常见的传递的一个类型。 4.数字组合的情况——传递（2） 我们再来看另一种类型的传递。下面的左图所示是一种典型的错误摆放方式，如果按照这种方式来摆放2周围的灯泡，数字1旁边将无法放入灯泡。 所以，图中所示的结构，必定是按照右图的方式摆放。除此之外，我们会发现，总共需要摆放三个灯泡，除了已经放好的一个之外，余下的两个必然一个在提示的上方，一个在提示的下方。那么这两行里其他格子必定会被灯泡照到。 用类似的思路，我们可以推导出如下几个结构： 注意第三组图里的结构也可以用上文中单个数字的情况进行推理，这样的结构一般比较常见。 此外还有一些更为复杂的结构，例如下图，一般来说，N个灯在N+1个区域时，这种斜角结构会被删减。