高等数学

目录 第1章函数、极限与连续11.1函数1 1.1.1函数概念1 1.1.2函数的表示法1 1.1.3反函数2 1.1.4几种具有特性的函数2 1.1.5基本初等函数4 1.1.6复合函数、初等函数4 习题1.15 1.2极限6 1.2.1数列的极限6 1.2.2函数的极限7 习题1.29 1.3极限的运算9 1.3.1极限的四则运算法则9 1.3.2两个重要极限11 习题1.313 1.4无穷小与无穷大13 1.4.1无穷小13 1.4.2无穷大14 1.4.3无穷小的比较15 习题1.417 1.5函数的连续性17 1.5.1函数连续性的定义17 1.5.2闭区间上连续函数的性质19 习题1.520 第2章导数与微分21 2.1导数的概念21 2.1.1两个实例21目录目录2.1.2导数的定义22 2.1.3导数公式22 2.1.4导数的几何意义23 2.1.5可导与连续的关系23 习题2.124 2.2导数的运算24 2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则24 2.2.2反函数的求导法则 25 2.2.3复合函数求导法则 26 2.2.4基本初等函数的求导法则与导数公式27 习题2.228 2.3高阶导数29 习题2.330 2.4隐函数与由参数方程所确定的函数的导数30 2.4.1隐函数的导数30 2.4.2由参数方程所确定的函数的导数31 习题2.432 2.5函数的微分33 2.5.1微分的概念33 2.5.2微分的基本公式34 2.5.3微分的运算法则34 习题2.535 第3章导数的应用36 3.1微分中值定理36 3.1.1费马引理36 3.1.2罗尔定理37 3.1.3拉格朗日定理37 3.1.4柯西中值定理38 习题3.139 3.2洛必达法则40 3.2.100型不定式的极限40 3.2.2∞∞型不定式的极限42 3.2.3可化为00型或∞∞型不定式的极限43 习题3.245 3.3泰勒公式45 习题3.347 3.4函数的单调性与曲线的凹凸性、渐近线48 3.4.1函数的单调性48 3.4.2曲线的凹凸性和拐点49 习题3.451 3.5函数极值与*值问题52 3.5.1函数的极值52 3.5.2函数的*大值和*小值55 习题3.557 第4章不定积分58 4.1不定积分的概念与性质58 4.1.1原函数与不定积分的概念58 4.1.2不定积分的性质60 4.1.3基本积分公式60 习题4.161 4.2不定积分的计算61 4.2.1直接积分法61 4.2.2换元积分法63 4.2.3分部积分法70 习题4.272 第5章定积分及其应用74 5.1定积分的概念和性质74 5.1.1引例74 5.1.2定积分的概念76 习题5.178 5.2微积分基本公式79 5.2.1变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系79 5.2.2积分上限的函数及其导数79 5.2.3(微积分基本定理)牛顿莱布尼茨公式80 习题5.282 5.3定积分的计算方法82 5.3.1定积分的换元积分法82 5.3.2定积分的分部积分法84 习题5.385 5.4广义积分85 5.4.1无限区间上的广义积分86 5.4.2无界函数的广义积分87 习题5.488 5.5定积分的几何应用88 5.5.1元素法88 5.5.2平面图形的面积90 5.5.3旋转体的体积91 习题5.593 第6章常微分方程94 6.1微分方程的基本概念94 6.1.1引例94 6.1.2微分方程的概念95 习题6.196 6.2一阶微分方程96 6.2.1可分离变量的微分方程96 6.2.2齐次微分方程97 6.2.3一阶线性微分方程98 习题6.299 6.3高阶线性微分方程及其通解结构100 6.3.1二阶线性齐次微分方程的解法100 6.3.2二阶线性非齐次微分方程的解法102 6.3.3n阶齐次线性微分方程的通解的结构104 习题6.3104 第7章无穷级数106 7.1常数项级数的概念和性质106 7.1.1常数项级数的概念106 7.1.2常数项级数的基本性质108 7.1.3常数项级数收敛性判别法109 习题7.1113 7.2幂级数113 习题 7.2118 7.3函数展开成幂级数118 7.3.1泰勒公式和泰勒级数118 7.3.2某些初等函数的幂级数展开式119 习题 7.3123 第8章空间解析几何和向量代数124 8.1空间直角坐标系124 8.1.1空间直角坐标系的建立124 8.1.2空间两点间的距离125 习题8.1126 8.2向量的概念及其线性运算126 8.2.1向量的概念126 8.2.2向量的线性运算127 习题8.2128 8.3向量的代数表示128 8.3.1向量的坐标表示式128 8.3.2向量在轴上的投影129 8.3.3向量线性运算的代数表示130 8.3.4向量的模与方向余弦的代数表示131 习题8.3132 8.4数量积、向量积132 8.4.1两向量的数量积132 8.4.2两向量的向量积134 习题8.4136 8.5曲面及其方程136 8.5.1曲面方程的概念136 8.5.2空间曲线的一般方程137 8.5.3母线平行于坐标轴的柱面方程138 8.5.4以坐标轴为旋转轴的旋转曲面139 8.5.5空间曲线在坐标面上的投影139 习题8.5140 8.6平面及其方程141 8.6.1平面的点法式方程141 8.6.2平面的一般式方程142 8.6.3平面的截距式方程142 8.6.4两平面间的夹角143 习题8.6143 8.7空间直线及其方程144 8.7.1直线的点向式144 8.7.2空间直线的一般方程145 8.7.3空间直线的参数方程146 8.7.4两直线间的关系146 8.7.5直线与平面的夹角147 习题8.7147 8.8常见的二次曲面148 习题8.8151 第9章多元函数微分学152 9.1二元函数的极限和连续152 9.1.1多元函数的概念152 9.1.2二元函数的极限153 9.1.3二元函数的连续性154 习题9.1155 9.2偏导数155 9.2.1偏导数的概念155 9.2.2高阶偏导数156 习题9.2157 9.3全微分157 9.3.1全微分的概念157 9.3.2全微分在近似计算中的应用158 习题9.3159 9.4多元复合函数求导法则159 习题9.4162 9.5隐函数微分法163 9.5.1由方程F(x,y)=0所确定y的隐函数的求导公式163 9.5.2由方程F(x,y,z)=0所确定x,y的隐函数z的偏导公式164 习题9.5165 9.6多元函数微分法在几何上的应用166 9.6.1空间曲线的切线与法平面166 9.6.2曲面的切平面与法线167 习题9.6169 9.7多元函数的极值及其应用169 9.7.1极值的概念169 9.7.2极值的判定170 习题9.7171 第10章多元函数积分学172 10.1二重积分的概念与性质172 10.1.1二重积分的概念172 10.1.2二重积分的性质173 习题10.1174 10.2二重积分的计算175 10.2.1直角坐标系下二重积分的计算175 10.2.2极坐标系下二重积分的计算178 10.2.3二重积分的应用179 习题10.2181 10.3三重积分182 10.3.1三重积分的概念182 10.3.2三重积分的计算183 习题10.3185 10.4曲线积分185 10.4.1对弧长的曲线积分185 10.4.2对坐标的曲线积分187 习题10.4189 第11章数学软件包Mathematica190 11.1Mathematica简介190 11.1.1命令与窗口环境190 11.1.2图形功能191 11.1.3程序设计192 习题11.1194 11.2用Mathematica做初等数学194 11.2.1算术运算194 11.2.2代数运算194 11.2.3函数运算195 11.2.4解代数方程196 11.2.5作函数图形197 习题11.2197 11.3用Mathematica做一元函数微分运算198 11.3.1求函数极限198 11.3.2求函数的导数198 11.3.3求函数的单调区间及极值199 11.3.4求函数的凹凸区间及拐点200 11.3.5求函数的*值问题200 习题11.3201 11.4用Mathematica做一元函数积分运算201 11.4.1求不定积分201 11.4.2求定积分202 11.4.3求广义积分202 11.4.4求常微分方程的解202 习题11.4203 11.5用Mathematica做多元函数微积分运算203 11.5.1向量的运算203 11.5.2作三维图形204 11.5.3求二元函数的极限205 11.5.4求偏导数与全微分206 11.5.5求二元函数极值206 11.5.6求二重积分207 习题11.5207 11.6用Mathematica做级数运算207 11.6.1求级数的和207 11.6.2幂级数展开208 11.6.3幂级数近似计算208 习题11.6208 附录A二阶、三阶行列式简介210 附录B基本积分表213 附录C常见的曲线221 附录D三角函数关系式225 习题参考答案或提示227