低维动力系统与函数方程

目录
前言
第1章 动力系统与函数方程简介 1
1.1 动力系统简介 1
参考文献 2
1.2 函数方程简介 3
1.2.1 数学奥林匹克竞赛和课程中涉及的函数方程 4
1.2.2 函数方程与特殊函数 6
1.2.3 函数方程与动力系统的关系 7
1.2.4 函数方程的求解方法 7
参考文献 10
第2章 区间映射 12
2.1 Sharkovsky 序列 12
2.1.1 连续自映射的周期点 12
2.1.2 Sharkovsky 定理 13
2.1.3 Sharkovsky 定理的历史渊源 13
参考文献 14
2.2 倍周期分岔 15
参考文献 16
2.3 Feigenbaum 函数方程 16
2.3.1 第二类 Feigenbaum 方程的 (平底) 单谷延拓解 17
2.3.2 第二类 Feigenbaum 方程的双谷延拓解 20
2.3.3 第二类 Feigenbaum 方程与 Feigenbaum 方程连续解的关系 25
参考文献 25
2.4 FKS 函数方程 26
2.4.1 单谷解的性质 27
2.4.2 单谷解的构造 28
2.4.3 单谷延拓解的性质与构造 28
参考文献 31
第3章 实数的表示 32
3.1 非整数展开 33
参考文献 34
3.2 整数展开 34
参考文献 35
3.3 非对称 Bernoulli 变换的实数展开 35
3.4 Lüroth 级数的展开 37
3.4.1 Lüroth 级数 37
3.4.2 基本区间长度和数字分布规律 39
3.4.3 Lüroth 级数的收敛率 40
3.4.4 交替 Lüroth 级数 42
参考文献 42
第4章 区间映射的共轭 44
4.1 单调函数的共轭 44
4.1.1 共轭关系 45
4.1.2 共轭/半共轭的性质 46
4.1.3 共轭的构造方法——逐段定义法 47
4.1.4 可微性条件 51
4.1.5 实例 52
参考文献 54
4.2 多峰映射的共轭 54
4.2.1 弱多峰映射的拓扑 (半) 共轭 55
4.2.2 共轭的 Holder 连续性 58
4.2.3 拓扑 (半) 共轭的例子 59
4.2.4 非单调情形的总结 63
参考文献 63
4.3 Markov 映射的拓扑共轭 64
4.3.1 扩张 Markov 映射的拓扑共轭 65
4.3.2 线性 Markov 映射的拓扑共轭 66
4.3.3 Markov 映射与 Sarkovskii 序 71
参考文献 73
4.4 马蹄映射之间的半共轭 73
4.4.1 基本假设和研究方法 74
4.4.2 Matkowski 不动点原理与区间划分 75
4.4.3 半共轭的存在性和 Holder 连续性 76
4.4.4 数值的例子 78
4.4.5 z 型映射与帐篷映射的半共轭 80
参考文献 84
4.5 迭代函数系统与共轭方程组 84
4.5.1 迭代函数系统 85
4.5.2 共轭方程组 86
4.5.3 解的存在唯一性 87
4.5.4 分形解 90
4.5.5 同胚解 94
4.5.6 奇异解 98
4.5.7 无处可微的连续解 100
参考文献 104
第5章 线性函数方程 105
5.1 齐次线性函数方程 105
5.1.1 三种情形的解 106
5.1.2 三种情形的判据 109
5.1.3 总结 111
5.2 非齐次线性函数方程 112
5.2.1 存在基本域的情形 112
5.2.2 与齐次方程的联系 113
5.2.3 丨g(ε)丨 > 1 的情形 114
5.2.4 丨g(ε)丨 < 1 的情形 116
5.2.5 总结 119
5.3 不确定情形的非齐次方程 120
5.3.1 递归法求连续解 120
5.3.2 相关文献的介绍 126
参考文献 126
第6章 平面映射 128
6.1 可积映射 128
6.1.1 可积映射的性质及例子 129
6.1.2 任意可积映射的构造 131
6.1.3 全局周期映射的 Knuth 方法 131
6.1.4 离散系统的 Darboux 方法 135
6.1.5 可积映射和微分方程的关系 139
6.1.6 研究现状与展望 141
参考文献 142
6.2 可反映射 144
6.2.1 具有对合的可反映射 145
6.2.2 对称线 148
6.2.3 实例 150
6.2.4 问题与研究现状 153
参考文献 153
6.3 推广的 Henon 映射的同宿轨与异宿轨 154
6.3.1 推广的 Henon 映射的同宿轨与异宿轨 155
6.3.2 同宿轨的存在性 156
6.3.3 同宿轨的位置 159
6.3.4 异宿轨的存在性 160
参考文献 161
6.4 双曲微分同胚的线性化 162
6.4.1 α-Holder 连续性 163
6.4.2 Holder 线性化 163
参考文献 166
6.5 全纯映射的局部规范型 166
6.5.1 双曲的情形 167
6.5.2 超吸引不动点的情形 170
6.5.3 抛物的情形 171
6.5.4 椭圆的情形 175
6.5.5 总结 178
参考文献 181
6.6 Cremona 映射局部解析线性化 181
6.6.1 解析线性化 181
6.6.2 Diophantine 条件和强 Brjuno 条件 183
6.6.3 局部解析线性化 185
6.6.4 数值验证 189
参考文献 190