蒙特卡罗方法与随机过程:从线性到非线性

引言：蒙特卡罗方法的简要回顾 简史：从Buffon掷针模型到原子迁移 随机模拟中的三个典型问题 问题1——数值积分：正交基方法，蒙特卡罗方法与拟蒙特卡罗方法 问题2——复杂分布的模拟：Metropolis-Hastings算法，Gibbs采样 问题3——随机*优化：模拟退火法和Robbins-Monro算法 **部分：随机模拟工具 **章 随机变量的生成 1.1 伪随机数发生器 1.2 1维随机变量的生成 1.2.1 逆方法 1.2.2 高斯变量 1.3 取舍方法 1.3.1 条件分布的生成 1.3.2 应用取舍方法生成(非条件)分布 1.3.3 均匀分布比值方法 1.4 生成随机向量样本的其他技巧 1.4.1 高斯向量 1.4.2 用copula为依赖性建模 1.5 习题 第二章 收敛性与误差估计 2.1 大数定律 2.2 中心极限定理与相关结果 2.2.1 在1维情形中的中心极限定理及后续结果 2.2.2 渐近置信区域与区间 2.2.3 应用：关于E(X)的函数的估值 2.2.4 在期望的敏感性估值中的应用 2.3 其他渐近控制 2.3.1 Berry-Essen界和Edgeworth展开 2.3.2 重对数律 2.3.3 “几乎必然”中心极限定理 2.4 非渐近估计 2.4.1 关于指数不等式 2.4.2 关于有界随机变量的集中不等式 2.4.3 一致集中不等式 2.4.4 高斯噪声下的集中不等式 2.5 习题 第三章 方差缩减 3.1 对照采样 3.2 条件化和分层化 3.2.1 条件化技巧 3.2.2 分层化技巧 3.3 控制变量 3.3.1 概念 3.3.2 *优选择 3.4 重要采样 3.4.1 概率测度变换：基本概念与在蒙特卡罗方法中的应用 3.4.2 经由仿射变换得到的概率测度变换 3.4.3 经由Esscher变换得到的概率测度变换 3.4.4 适应性方法 3.5 习题 第二部分：线性过程的模拟 第四章 随机微分方程和Feynman-Kac公式 4.1 布朗运动 4.1.1 布朗运动简史 4.1.2 定义 4.1.3 模拟 4.1.4 热方程 4.1.5 二次变差 4.2 随机积分与Ito公式 4.2.1 信息流与停时 4.2.2 随机积分及其性质 4.2.3 Ito过程与Ito公式 4.3 随机微分方程 4.3.1 定义，存在性，唯一性 4.3.2 流性质与马尔可夫性 4.3.3 例子 4.4 偏微分方程的概率表示：Feynman-Kac公式 4.4.1 无穷小生成元 4.4.2 带Cauchy条件的线性抛物型偏微分方程 4.4.3 线性椭圆型偏微分方程 4.4.4 带Cauchy-Dirichlet条件的线性抛物型偏微分方程 4.4.5 带Dirichlet条件的线性椭圆型偏微分方程 4.5 梯度的概率公式 4.5.1 路径微分方法 4.5.2 似然方法 4.6 习题 第五章 随机微分方程的Euler算法 5.1 定义与模拟 5.1.1 Ito过程的定义，二阶矩 5.1.2 模拟 5.1.3 扩散过程期望计算的应用：离散化误差与统计误差 5.2 强收敛性 5.3 弱收敛性 5.3.1 1阶收敛性 5.3.2 延伸内容 5.4 停止过程的模拟 5.4.1 逃逸时间的离散化 5.4.2 布朗桥方法 5.4.3 边界平移方法 5.5 习题 第六章 随机微分方程的模拟中的统计误差 6.1 渐近分析：随机模拟的次数与时间离散步长 6.2 Euler算法中的统计误差的非渐近分析 6.3 多层方法 6.4 由随机多层方法得到的无偏模拟 6.5 方差缩减方法 6.5.1 控制变量 6.5.2 重要采样 6.6 习题 第三部分：非线性过程的模拟 第七章 倒向随机微分方程 7.1 一些例子 7.1.1 源自反应扩散方程的例子 7.1.2 随机模型中的例子 7.2 Feynman-Kac公式 7.2.1 一般性结果 7.2.2 简化模型 7.3 时间离散化与动态规划方程 7.3.1 问题的离散化 7.3.2 误差分析 7.4 其他动态规划方程 7.5 经由分支过程得到的另一个概率表示 7.6 习题 第八章 实证回归模拟 8.1 简单推广的困难 8.2 应用*小二乘法近似估计条件期望 8.2.1 实证回归 8.2.2 SVD方法 8.2.3 一个近似空间的例子：局部多项式 8.2.4 误差估计，模型的稳健性 8.2.5 局部多项式情形下的参数调整 8.2.6 误差估计的证明 8.3 应用：利用实证回归求解动态规划方程 8.3.1 学习样本与近似空间 8.3.2 实证回归函数的计算 8.3.3 误差传播方程 8.3.4 在局部多项式情形中收敛参数的*优调整 8.4 习题 第九章 交互作用粒子系统与McKean意义下的非线性方程 9.1 启发 9.1.1 宏观尺度vs微观尺度 9.1.2 一些例子与应用 9.2 非线性扩散过程的存在性与唯一性 9.3 交互作用扩散过程系统的收敛，混沌的传播与模拟 附录A 回顾与补充结果 A.1 关于收敛 A.1.1 几乎必然收敛，依概率收敛，L1收敛 A.1.2 依分布收敛 A.2 几个有用的不等式 A.2.1 矩不等式 A.2.2 偏差不等式 参考文献 索引