哈代数论 第6版

第 1 章素数(1) 1
1．1 整除性 1
1．2 素数 2
1．3 算术基本定理的表述 3
1．4 素数序列 4
1．5 关于素数的几个问题 5
1．6 若干记号 6
1．7 对数函数 8
1．8 素数定理的表述 9
本章附注 10
第 2 章素数(2) 12
2．1 Euclid 第二定理的第 一个证明 12
2．2 Euclid 方法的更进一步推论 12
2．3 某种算术级数中的素数 13
2．4 Euclid 定理的第二个证明 14
2．5 Fermat 数和Mersenne 数 15
2．6 Euclid 定理的第三个证明 17
2．7 关于素数公式的进一步结果 18
2．8 关于素数的未解决的问题 19
2．9 整数模 20
2．10 算术基本定理的证明 21
2．11 基本定理的另一个证明 22
本章附注 22
第3 章Farey 数列和Minkowski定理 24
3．1 Farey 数列的定义和*简单的性质 24
3．2 两个特征性质的等价性 25
3．3 定理28 和定理29 的第 一个证明 26
3．4 定理28 和定理29 的第二个证明 26
3．5 整数格点 27
3．6 基本格的某些简单性质 28
3．7 定理28 和定理29 的第三个证明 30
3．8 连续统的Farey 分割 30
3．9 Minkowski 的一个定理 32
3．10 Minkowski 定理的证明 33
3．11 定理37 的进一步拓展 35
本章附注 37
第4 章无理数 39
4．1 概论 39
4．2 已知的无理数 40
4．3 Pythagoras 定理及其推广 40
4．4 基本定理在定理43～45 证明中的应用 42
4．5 历史杂谈 43
4．6√5 无理性的几何证明 45
4．7 更多的无理数 46
本章附注 48
第5 章同余和剩余 49
5．1 *大公约数和*小公倍数 49
5．2 同余和剩余类 50
5．3 同余式的初等性质 51
5．4 线性同余式 52
5．5 Euler 函数 (m) 54
5．6 定理59 和定理61 对三角和的应用 56
5．7 一个一般性的原理 59
5．8 正十七边形的构造 60
本章附注 65
第6 章Fermat 定理及其推论 66
6．1 Fermat 定理 66
6．2 二项系数的某些性质 66
6．3 定理72 的第二个证明 69
6．4 定理22 的证明 69
6．5 二次剩余 70
6．6 定理79 的特例：Wilson定理 72
6．7 二次剩余和非剩余的初等性质 73
6．8 a (mod m) 的阶 75
6．9 Fermat 定理的逆定理 76
6．10 2p 1 1 能否被p2 整除 77
6．11 Gauss 引理和2 的二次特征 78
6．12 二次互倒律 81
6．13 二次互倒律的证明 83
6．14 素数的判定 84
6．15 Mersenne 数的因子， Euler 的一个定理 86
本章附注 87
第7 章同余式的一般性质 89
7．1 同余式的根 89
7．2 整多项式和恒等同余式 89
7．3 多项式(mod m) 的整除性 91
7．4 素数模同余式的根 92
7．5 一般定理的某些应用 93
7．6 Fermat 定理和Wilson 定理的Lagrange 证明 95
7．7 [ 12 (p 1)]! 的剩余 96
7．8 Wolstenholme 的一个定理 97
7．9 von Staudt 定理 99
7．10 von Staudt 定理的证明 100
本章附注 102
第8 章复合模的同余式 103
8．1 线性同余式 103
8．2 高次同余式 105
8．3 素数幂模的同余式 105
8．4 例子 107
8．5 Bauer 的恒等同余式 108
8．6 Bauer 的同余式：p = 2 的情形 110
8．7 Leudesdorf 的一个定理 111
8．8 Bauer 定理的进一步的推论 113
8．9 2p 1 和(p 1)! 关于模p2 的同余式 116
本章附注 117
第9 章用十进制小数表示数 118
9．1 与给定的数相伴的十进制小数 118
9．2 有限小数和循环小数 121
9．3 用其他进位制表示数 123
9．4 用小数定义无理数 124
9．5 整除性判别法 125
9．6 有*大周期的十进制小数 126
9．7 Bachet 的称重问题 127
9．8 Nim 博弈 129
9．9 缺失数字的整数 131
9．10 测度为零的集合 132
9．11 缺失数字的十进制小数 133
9．12 正规数 135
9．13 几乎所有的数都是正规数的证明 136
本章附注 139
第 10 章连分数 141
10．1 有限连分数 141
10．2 连分数的渐近分数 142
10．3 有正的商的连分数 143
10．4 简单连分数 144
10．5 用简单连分数表示不可约有理分数 145
10．6 连分数算法和Euclid 算法 147
10．7 连分数与其渐近分数的差 149
10．8 无限简单连分数 151
10．9 用无限连分数表示无理数 152
10．10 一个引理 153
10．11 等价的数 155
10．12 周期连分数 157
10．13 某些特殊的二次根式 159
10．14 Fibonacci 数列和Lucas数列 162
10．15 用渐近分数作逼近 165
本章附注 168
第 11 章用有理数逼近无理数 169
11．1 问题的表述 169
11．2 问题的推广 170
11．3 Dirichlet 的一个论证方法 171
11．4 逼近的阶 173
11．5 代数数和超越数 174
11．6 超越数的存在性 175
11．7 Liouville 定理和超越数的构造 176
11．8 对任意无理数的*佳逼近的度量 178
11．9 有关连分数的渐近分数的另一个定理 179
11．10 具有有界商的连分数 181
11．11 有关逼近的进一步定理 184
11．12 联立逼近 185
11．13 e 的超越性 186
11．14 π 的超越性 189
本章附注 192
第 12 章k(1)， k(i)， k(ρ) 中的算术基本定理 194
12．1 代数数和代数整数 194
12．2 有理整数、Gauss 整数和k(ρ)中的整数 194
12．3 Euclid 算法 196
12．4 从Euclid 算法推导k(1) 中的基本定理 196
12．5 关于Euclid 算法和基本定理的历史注释 198
12．6 Gauss 整数的性质 198
12．7 k(i) 中的素元 200
12．8 k(i) 中的算术基本定理 201
12．9 k(ρ) 中的整数 204
本章附注 206
第 13 章某些Diophantus方程 207
13．1 Fermat 大定理 207
13．2 方程x2 + y2 = z2 207
13．3 方程x4 + y4 = z4 09
13．4 方程x3 + y3 = z3 210
13．5 方程x3 + y3 = 3z3 214
13．6 用有理数的三次幂之和表示有理数 215
13．7 方程x3 + y3 + z3 = t3 217
本章附注 220
第 14 章二次域(1) 223
14．1 代数数域 223
14．2 代数数和代数整数、本原多项式 224
14．3 一般的二次域k(√m) 225
14．4 单位和素元 226
14．5 k(√2) 中的单位 228
14．6 基本定理不成立的数域 230
14．7 复Euclid 域 231
14．8 实Euclid 域 233
14．9 实Euclid 域(续) 235
本章附注 237
第 15 章二次域(2) 239
15．1 k(i) 中的素元 239
15．2 k(i) 中的Fermat 定理 240
15．3 k(ρ) 中的素元 241
15．4 k(√2) 和k(√5) 中的素元 242
15．5 Mersenne 数M4n+3 的素性的Lucas 判别法 245
15．6 关于二次域的算术的一般性注释 247
15．7 二次域中的理想 248
15．8 其他的域 250
本章附注 252
第 16 章算术函数 (n)， μ(n)，d(n)， σ(n)， r(n) 254
16．1 函数 (n) 254
16．2 定理63 的另一个证明 255
16．3 M bius 函数 255
16．4 M bius 反演公式 257
16．5 进一步的反演公式 258
16．6 Ramanujan 和的估计 258
16．7 函数d(n) 和σk(n) 260
16．8 完全数 261
16．9 函数r(n) 262
16．10 r(n) 公式的证明 263
本章附注 265
第 17 章算术函数的生成函数 266
17．1 由Dirichlet 级数生成算术函数 266
17．2 ζ 函数 ．267
17．3 ζ(s) 在s → 1 时的性状 268
17．4 Dirichlet 级数的乘法 270
17．5 某些特殊算术函数的生成函数 272
17．6 M bius 公式的解析说明 273
17．7 函数Λ(n) 276
17．8 生成函数的进一步的例子 278
17．9 r(n) 的生成函数 279
17．10 其他类型的生成函数 280
本章附注 282
第 18 章算术函数的阶 283
18．1 d(n) 的阶 283
18．2 d(n) 的平均阶 286
18．3 σ(n) 的阶 289
18．4 (n) 的阶 290
18．5 (n) 的平均阶 291
18．6 无平方因子数的个数 292
18．7 r(n) 的阶 293
本章附注 295
第 19 章分划 297
19．1 加性算术的一般问题 297
19．2 数的分划 297
19．3 p(n) 的生成函数 298
19．4 其他的生成函数 300
19．5 Euler 的两个定理 301
19．6 进一步的代数恒等式 304
19．7 F(x) 的另一个公式 304
19．8 Jacobi 的一个定理 305
19．9 Jacobi 恒等式的特例 307
19．10 定理353 的应用 309
19．11 定理358 的初等证明 310
19．12 p(n) 的同余性质 312
19．13 Rogers-Ramanujan恒等式 314
19．14 定理362 和定理363 的证明 316
19．15 Ramanujan 连分数 318
本章附注 319
第 20 章用两个或四个平方和表示数 322
20．1 Waring 问题：数g(k) 和G(k) 322
20．2 平方和 323
20．3 定理366 的第二个证明 324
20．4 定理366 的第三个和第四个证明 325
20．5 四平方定理 327
20．6 四元数 328
20．7 关于整四元数的预备定理 331
20．8 两个四元数的*高右公约数 332
20．9 素四元数和定理370 的证明 334
20．10 g(2) 和G(2) 的值 335
20．11 定理369 的第三个证明的引理 336
20．12 定理369 的第三个证明：表法个数 337
20．13 用多个平方和表示数 340
本章附注 341
第 21 章用立方数以及更高次幂表示数 343
21．1 四次幂 343
21．2 三次幂：G(3) 和g(3) 的存在性 344
21．3 g(3) 的界 345
21．4 更高次幂 346
21．5 g(k) 的一个下界 347
21．6 G(k) 的下界 348
21．7 受符号影响的和：数v(k) 351
21．8 v(k) 的上界 352
21．9 Prouhet-Tarry 问题：数P(k， j) 354
21．10 对特殊的k 和j 计算P(k， j) 356
21．11 Diophantus 分析的进一步的问题 358
本章附注 361
第 22 章素数(3) 368
22．1 函数 (x) 和ψ(x) 368
22．2 (x) 和ψ(x) 的阶为x 的证明 369
22．3 Bertrand 假设和一个关于素数的“公式” 371
22．4 定理7 和定理9 的证明 374
22．5 两个形式变换 375
22．6 一个重要的和 376
22．7 Σp 1 与Π(1 p 1) 378
22．8 Mertens 定理 380
22．9 定理323 和定理328 的
证明 382
22．10 n 的素因子个数 383
22．11 ω(n) 和Ω(n) 的正规阶 385
22．12 关于圆整数的一个注解 387
22．13 d(n) 的正规阶 388
22．14 Selberg 定理 388
22．15 函数R(x) 和V (ξ) 390
22．16 完成定理434、定理6 和定理8 的证明 394
22．17 定理335 的证明 396
22．18 k 个素因子的乘积 397
22．19 区间中的素数 399
22．20 关于素数对p， p + 2 的分布的一个猜想 400
本章附注 402
第 23 章Kronecker 定理 405
23．1 一维的Kronecker 定理 405
23．2 一维定理的证明 406
23．3 反射光线的问题 408
23．4 一般定理的表述 410
23．5 定理的两种形式 411
23．6 一个例证 413
23．7 Lettenmeyer 给出的定理证明 413
23．8 Estermann 给出的定理证明 415
23．9 Bohr 给出的定理证明 417
23．10 一致分布 419
本章附注 421
第 24 章数的几何 422
24．1 基本定理的导引和重新表述 422
24．2 简单的应用 423
24．3 定理448 的算术证明 425
24．4 *好的可能的不等式 427
24．5 关于ξ2 + η2 的*好可能的不等式 428
24．6 关于|ξη| 的*好可能的不等式 429
24．7 关于非齐次型的一个定理 431
24．8 定理455 的算术证明 433
24．9 Tchebotaref 定理 434
24．10 Minkowski 定理(定理446)的逆定理 436
本章附注 439
第 25 章椭圆曲线 444
25．1 同余数问题 444
25．2 椭圆曲线的加法法则 445
25．3 定义椭圆曲线的其他方程 450
25．4 有限阶点 452
25．5 有理点组成的群 456
25．6 关于模p 的点群 462
25．7 椭圆曲线上的整点 463
25．8 椭圆曲线的L 级数 466
25．9 有限阶点与模曲线 469
25．10 椭圆曲线与Fermat 大定理 472
本章附注 474
附录 479
参考书目 482
特殊符号和术语索引 486
常见人名对照表 489
《哈代数论(第6 版)》补遗 491