高等代数

第1章 行列式 行列式来源于求解线性方程组，它不仅是学习线性代数的工具，而且在数学的许多领域及其他科学技术中都有广泛的应用，本章将给出一般n阶行列式的定义，讨论它的性质和计算方法，并给出它在线性方程组中的初步应用． 1.1 引言 我们回忆一下中学代数课中学过的二元线性方程组的解法，先看一个简单的例子． 例1.1.1 求解二元线性方程组 解 用消元法，**个方程两边乘以-3，得 将两个方程左右分别相加，得，消去了x，解得y=1． 类似地，原方程组第二个方程两边乘以2，再与**个方程相加，可消去y，解得x=3． 这种方法也可以推广到求解一般的二元线性方程组，并希望得到求解公式．设有二元线性方程组 (1.1.1) 在(1.1.1)中用a22乘以**式的两边，用.a12乘以第二式的两边得 将这两个方程式相加得 当时，有 用类似的方法消去x1，解得. 我们注意到二元线性方程组的两个解都表示成分数的形式，其中分母仅与未知数的系数有关．这个二元一次线性方程组的公式不好记忆． 如果我们引进二阶行列式 (1.1.2) 则当二阶行列式D.=0时，该方程组的**解可用行列式表示 (1.1.3) 在式(1.1.3)中，我们发现解有如下规律： (1)x1，x2的分母都是行列式，它是由原方程组未知数前的系数按方程组原来的顺序排成的一个二阶行列式． (2)x1的分子行列式的**列是原方程组的常数项，第二列由x2的系数组成，因此这个行列式是将x1，x2的分母行列式中的**列换成常数项而得的，这个规则对x2的分子行列式也适用．显而易见，这样的解的公式容易记忆且有规律可循． 对于三元线性方程组.仿照求解二元线性方程组的思路，我们引进三阶行列式 (1.1.4) 当时，可求得上述三元线性方程组有**解为， 其中 在这一章我们要把这个结果推广到n元线性方程组的情形．为此，我们首先要给出n阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是本章的主要内容． 1.2 排列 作为定义n阶行列式的准备，我们先来讨论一下排列及其性质． 定义1.2.1由1，2， ，n组成的任意一组有序数i1i2 in称为1，2， ，n的一个n阶排列，其中i1，i2， ，in互异． 例如，由1，2，3这三个数组成的所有排列为123，132，213，231，312，321．我们知道，n阶排列的总数是n (n.1) (n.2) 2 1．我们记1 2 (n.1) n=n!． 显然12 n也是一个n阶排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排列起来的，其他的排列都或多或少地破坏了自然顺序． 定义1.2.2 在一个n阶排列i1i2 in中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，逆序的总数就称为排列i1i2 in的逆序数，记为． 例如 τ(123)=0，τ(132)=1，τ(213)=1，τ(231)=2，τ(312)=2，τ(321)=3．而τ(52341)=7． 定义1.2.3如果τ(i1i2 in)为偶数，则称排列i1i2 in为偶排列，否则称其为奇排列． 例如，4132是偶排列，52341是奇排列，12 n的逆序数是零，因此是偶排列． 应该指出，我们同样可以考虑由任意n个不同的自然数所组成的排列，一般也称为n阶排列，对这样一般的n阶排列，同样可以定义上面这些概念． 定义1.2.4 在一个排列中将某两个数的位置互换，而其余的数不动，这样一个变换称为一个对换． 例如，经过1，2对换，排列45132就变成了45231，排列21345就变成了12345．显然，如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了．由此得知，一个对换把全部n阶排列两两配对，使每两个配成对的n阶排列在这个对换下互变． 定理1.2.1 对换改变排列的奇偶性． 证明首先考虑对换排列中相邻的两个数j和k，即 (1.2.1) 经过对换j，k变成 (1.2.2) 这里“ ”表示在对换下保持不动的数．显然，在排列(1.2.1)中，如j，k与其他的数构成逆序，则在排列(1.2.2)中仍然构成逆序;如不构成逆序则在(1.2.2)中也不构成逆序，不同的只是j，k的次序．而由j，k引起的逆序个数，当j＜k时逆序数增加1，当j＞k时逆序数就减少1，因此排列的奇偶性改变了． 其次考虑排列中不相邻的两数j和k．设排列为 (1.2.3) 经过对换j，k，排列(1.2.3)变成 (1.2.4) 不难看出，这样一个对换可以通过一系列的相邻数的对换来实现．从排列(1.2.3)出发，把k与is对换，再与对换， ，也就是说，把k一位一位地向左移动．经过s+1次相邻位置的对换，排列(1.2.3)就变成 (1.2.5) 从排列(1.2.5)出发，再把j一位一位地向右移动，经过s次相邻位置的对换，排列(1.2.5)就变成了排列(1.2.4)，因此j，k对换可以通过2s+1次相邻位置的对换来实现．2s+1是奇数，相邻位置的对换改变排列的奇偶性，显然，奇数次这样的对换的*终结果还是改变奇偶性． 定理1.2.2 任意一个n阶排列i1i2 in与排列12 n都可以经过一系列对换互换，并且所作对换的个数与τ(i1i2 in)的奇偶性相同． 证明我们对排列的阶数n作数学归纳法，当n=1时，结论成立．假定对阶排列结论成立，现证对n阶排列的情形结论也成立． 设i1i2 in是任意一个n阶排列，如果in=n，那么根据归纳法假设，阶排列i1i2 in.1可以经过一系列对换变成12 n.1，于是这一系列对换也就把i1i2， in.1in变成12 n．如果in.=n，则在i1i2 in中，对换in和n，它就变成i′1i′2 i′n.1n，这就转化成上面的情形，因此结论普遍成立． 相仿地，12 n也可用一系列对换变成i1i2 in，因为12 n是偶排列，所以根据定理1.2.2，所作对换的个数与排列i1i2 in有相同的奇偶性． 习题1.2 1．写出第l，2个位置是2，4的全部五阶排列，并求它们的逆序数． 2．求下列排列的逆序数： 317428695;528497631;987654321． 3．求下列排列的逆序数，并判断其奇偶性： 4267351;l357246;5472l36;6147253． 4．确定i，j使 (1)215i7j946为奇排列;(2)3972i15j4为偶排列． 5．用对换将排列315694278变为自然顺序排列，写出所作的对换，并由此判断这个排列的奇偶性． 6．求排列n(n.1) 21的逆序数，并讨论它的奇偶性． 7．如果排列的逆序数为k，试计算的逆序数． 8．当时，试证明n个数的奇排列与偶排列的个数相等，各为个． 1.3 n阶行列式 1.3.1 n阶行列式的定义 从二阶和三阶行列式的定义(见式(1.1.2)和式(1.1.4))中可以发现下述规律： (1)它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成的． 在n=2时，式(1.1.2)中由不同行不同列的元素构成的乘积只有a11a22与a12a21这两项，均具有形式a1j1a2j2，这里j1j2是1，2的一个排列．而在n=3时，式(1.1.4)中共有6项，即3!项，它的任意项具有a1j1a2j2a3j3，这里j1j2j3是1，2，3的一个排列． (2)式(1.1.2)和式(1.1.4)中的每一项乘积都带有符号，这符号是按什么原则判断的呢？可以看出，当j1j2j3是偶排列时，对应的项在(1.1.4)中带有正号，当j1j2j3是奇排列时带有负号，这时，它的一般项可写为，而且式(1.1.4)可写为 (1.3.1) 这里表示对所有排列求和．此规律对二阶行列式也成立． 现在根据式(1.3.1)定义n阶行列式． 定义1.3.1 n阶行列式定义为一个数 (1.3.2) 这里Xj1j2 jn表示对所有n阶排列求和．这个数等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里j1j2 jn是1，2， ，n的一个排列，每一项(1.3.3)都按下列规则带有符号：当j1j2 jn是偶排列时，式(1.3.3)前面带有正号，当j1j2 jn是奇排列时，式(1.3.3)前面带有负号． 由定义立即看出，n阶行列式是由n!项组成的． (1.3.3) 例1.3.1 计算行列式 解 由定义，取自不同行和不同列的四个元素的乘积只有非零， 其余都是零，故行列式的值为．