无穷维随机动力系统的动力学(第二版)

第1章 几类随机发展方程的吸引子 　　整体吸引子在研究非线性发展方程的渐近性态中起着重要的作用.粗略地说，自治发展方程的整体吸引子是某一函数空间中吸引所有有界集的连通紧集.关于自治发展方程整体吸引子的论文很多，参阅文献[2]，[8]，[38]，[39]，[42]，[45].将自治方程整体吸引子的概念推广到非自治、随机偏微分方程的情形，就是所谓的拉回吸引子.关于各类非自治、随机发展方程的拉回吸引子的研究论文很多，参阅文献[10]–[12]，[16]，[43]，[44]，[46].这一章研究非光滑区域上或初值非光滑的随机非线性抛物方程、动力学边界条件下的非牛顿-Boussinesq修正方程、随机部分耗散系统在有界区域上或无穷格点上的随机吸引子的存在性. 　　1.1 随机动力系统与随机吸引子 　　设(X，d)为完备的可分度量空间，(Ω，F，P)为一概率空间. 　　定义1.1.1 如果映射是可测的，其中，且对任意的(即)，则称为可测的度量动力系统. 　　定义1.1.2 (1)设(X，d)是Polish空间(具有可数基的局部紧的Hausdorff空间)，F是代数，是对应的保测变换，是度量动力系统.如果可测映射 　　在X上满足 　　(i)(即X上的恒同映射)， 　　(ii)对任意的及，则称Φ为 驱动的可测随机动力系统(RDS). 　　(2)若X为一拓扑空间，可测随机动力系统Φ满足:对任意的是连续的，则称Φ为驱动的连续随机动力系统. 　　(3)若X为一光滑流形，连续随机动力系统Φ满足:如果对某个，对任意的是Ck的，则称Φ为 驱动的Ck随机动力系统. 　　定义1.1.3 设(Ω，F，P)是一概率空间，(X，d)是Polish空间，集值映射表示X中的所有子集组成的集合).如果对任意的，映射关于F可测，则称为随机集，其中.如果对每个是闭的，则称是随机闭集.如果对每个都是紧集，则称是随机紧集.随机集称为是有界的，如果存在及随机变量r(!)>0，使得对所有的 　　定义1.1.4 (1)称X的非空子集簇是拉回吸引的，如果对任意的及X中的任意子集满足 　　(2)称X的非空子集簇是拉回吸收的，如果对任意的及X中的任意子集，都存在实数，使得当时， 　　称为X的拉回吸收子集簇，如果它是拉回吸收的，为吸收时刻. 　　(3)称X的非空子集簇是紧的，如果对任意的是紧的. 　　(4)称X的非空子集簇是可测的(关于F的完备化空间是可测的)，如果对任意的x2X，映射关于F可测(是指关于F的完备化空间可测). 　　定义1.1.5 设(Ω，F，P)是概率空间，(X，d)是Polish空间，Φ是随机动力系统，X的非空子集簇称为Φ的随机吸引子(也称随机拉回吸引子)，如果是随机紧集，吸引X中所有确定的集合，并且是不变的，即对所有t>0和. 　　定理1.1.1 [11]设Φ是定义在X上驱动的随机动力系统，如果存在一个随机紧集，吸引X中的任意有界集，则随机动力系统Φ存在随机吸引子，且是可测的.如果X是连通的，则是连通的，其中B是B的!极限集. 　　附注 由随机吸引子的定义可知，整体随机吸引子是唯一的.在实际应用中，通常把初始时刻移到 1，对固定的，考虑t=0时刻的值即可. 　　定理1.1.2 ([5]，命题10，命题12)(1)给定，如果是渐近紧的，则对每个是非空紧的，且在拉回意义下吸引给定，如果和都是渐近紧的，在拉回意义下吸收，则对每个 　　定理1.1.3 ([11]，命题2.1)假设是渐近紧的，且在拉回意义下是吸引的，则下面定义的集值映射，对任意的是随机动力系统的整体随机吸引子. 　　假设空间X是一个Hilbert空间，是空间X上关于度量动力系统的一个随机动力系统.假设是随机动力系统的随机吸引子. 　　定义1.1.6 给定，称是随机吸引子的Hausdroff维数，如果， 　　其中， 　　这里的下确界是关于A(!)的所有的X中的覆盖取的，其中.对每个如果对每个，映射可测的，则称是X上的随机映射. 　　定义1.1.7 称一个随机映射在上是一致可微的，如果存在一个常数和一个随机变量，对于任意及任意的，存在一个线性算子使得，如果，则 　　(1.1.1) 　　假设在上是一致可微的，线性算子满足方程(1.1.1). 　　令 　　(1.1.2) 　　及 　　(1.1.3) 　　定理1.1.4 [16]假设在上一致可微的，线性算子满足方程(1.1.1).进一步，如果存在一个可积的随机变量，及随机变量，使得对任意的及，都满足 (1.1.4) 　　(1.1.5) 　　那么，随机吸引子的Hausdorff维数不大于d，即对所有的，都有成立. 　　1.2非光滑区域上非自治抛物方程的拉回吸引子 　　这一节先研究一般的非自治抛物型偏微分方程 　　(1.2.1) 　　其中是有界的Lipschitz区域，a关于u可微的，关于是Borel可测的，并且满足某些耗散性假设，B是Dirichlet(Neumann或Robin)边界算子，即表示边界上指向D的外侧的单位法线方向，(1.2.2)式中的和与式(1.2.1)中的相同. 　　(1.2.2) 　　下面将主要研究一般随机抛物方程 　　(1.2.3) 　　的拉回吸引子，其中D与(1.2.1)中的一致，是一个度量动力系统，是(F B(D)，B(R))可测，关于u可微，关于是可测的，并满足某些耗散性假设条件.B是Dirichlet(Neumann或Robin)边界算子，即B( t!)是形如(1.2.2)中的B(t)算子，其中是可测的． 　　对各种类型的非自治发展方程(1.2.1)和随机发展方程(1.2.3)的整体吸引子的研究很多，见文献[2]，[8]，[38]，[42]—[46].在这些研究非自治发展方程(1.2.1)和随机发展方程(1.2.3)解存在唯一性的文献中，常用的两种方法是Galerkin近似方法和半群方法．Galerkin近似方法常用来研究在某个Hilbert空间(例如L2(D))中发展方程的解的性质，而半群方法则用于某个Banach空间中的发展方程的解的性质．例如，Marion等[38]研究了反应扩散方程 　　(1.2.4) 　　在L2(D)中的整体吸引子，其中Bu=u或者关于x可测，关于u是C1的，并且满足下面的假设条件： 　　(H0)存在常数使得， 　　其表示g关于u的偏导数.Marion等[38]利用Galerkin近似方法证明了对任意的初值函数，方程(1.2.4)存在唯一满足初值条件的弱解，并且映射[是连续的，方程(1.2.4)在L2(D)中存在整体吸引子A，而且当中是有界的．在文献[43]中，作者在中研究了下面的非自治抛物方程 　　(1.2.5) 　　的拉回吸引子，其中g满足适当的光滑性假设，并且存在可积函数C(t，x)及D(t，x)满足利用半群方法可以证明对任意的，方程(1.3.8)存在唯一的Mild解u(t，s，u0)，满足初值，并且(1.3.8)在空间中存在拉回吸引子． 　　尽管有很多论文研究了各种特殊形式的非自治发展方程和随机发展方程的整体吸引子，但是，对一般形式的非自治发展方程(1.2.1)和一般形式的随机发展方程(1.2.3)的拉回整体吸引子的论文较少，甚至关于一般形式的方程(1.2.1)和(1.2.3)解的基本性质的研究结论也很少.因此，这一节先研究一般的非自治发展方程(1.2.1)和随机发展方程(1.2.3)在中的解的动力学性质，在适当的耗散条件下，一般的非自治发展方程(1.2.1)和随机发展方程(1.2.3)在Lq(D)(1　　为了研究非光滑区域上一般非自治抛物方程的性质，先把光滑区域上的线性抛物方程