线性代数(第三版)

第1章 n阶行列式 n阶行列式理论是线性代数中*基本的内容之一，它产生于线性方程组求解公式——克拉默（Cramer）法则，又自成体系，形成了自己的核心内容：定义、性质、计算方法。本章重点要讲解行列式定义和计算方法——化三角形法。学习的困难之处在于行列式的定义的理解和展开性质的应用。 1.1 二阶行列式与三阶行列式 在中学，大家学习了线性方程组的加减消元法和代入消元法求方程组的解。例如，解二元线性方程组 就可以这样解：①×6-②×4，得 ①×5-②×3，得 现在的问题是，怎样记住解x，y的分子、分母呢？ 首先，从x，y变形以后的分母看到3，6，5，4就是方程组中x，y的系数，因此，我们能想到规定记号 这样，我们就有了一种新的方法。例如， 其次，观察x，y的分子，我们看到x的分子 是用常数项“取代”了分母中的x的系数；y的分子 是用常数项“取代”了分母中的y的系数。显然，对于一般的二元一次方程组的解，规定公分母为（1.1） 则有如下求解公式： 同样，我们也可以运用消元法求出三元一次方程组的解，其公分母为 （1.2） 故可得到如下求解公式: 由以上线性方程组的求解已经看到了新的解法中，式（1.1）和式（1.2）中的记号的作用。我们分别把这种记号称为二阶行列式和三阶行列式。 大家可能很想继续再解出4元，5元， ，n元一次方程组的解的公分母而规定4阶，5阶， ，n阶行列式。那么，一方面，每次找公分母的工作量巨大；另一方面，由于消元法每一步只能消去一个未知量——1元，对于一般的n元一次方程组，消元法难以完成。 另外，我们规定的n阶行列式还必须满足如下要求：n个方程的n元一次方程组的解的公分母就是n阶系数行列式，而每个未知量的分子就是用常数项“取代”分母中它的系数而得到的n阶行列式。 练习1.1 1. 计算下列行列式: （1） （2） （3） （4） 2. 解线性方程组 1.2 排列及其对换 为了定义n阶行列式，我们先给出n级排列的概念。 定义1.1 由数字1，2，3， ，n排成的有序数组i1i2i3 in称为一个n级排列，简称为排列。特别地，n级排列123 n称为n级自然排列或n级标准排列。 对于一个n级排列中的两个数字，以它们在标准排列中的位置次序为“标准”给出它们在这个排列中的“序关系”如下： 定义1.2 在一个n级排列i1 is it in（sit，则称它们构成一个逆序。排列i1i2i3 in中全部逆序的总个数称为排列的逆序数，记作N（i1i2i3 in）。 例1.1 求排列514362的逆序数。 解该排列中，5后面有1，4，3，2，这4个数比5小；1后面有0个比1小；4后面有3，2，这2个数比4小；3后面有2，这1个数比3小；6后面有2，这1个数比6小，这是全部构成逆序的数字，共有4+0+2+1+1＝8对，因此N（514362）=8。 一般地，求排列的逆序数的方法如下： 对排列i1i2i3 in，数出每个数字it后面比it小的数字的个数Nt，t=1，2， ，n-1，则i1i2i3 in的逆序数 定义1.3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。 例如，1234的逆序数是偶数0，是偶排列；4123的逆序数是奇数3，是奇排列。 定义1.4 在排列i1 is it in中，如果对调其中两个数字is与it的位置，其他数字的位置不变，得到一个新排列i1 it is in，称这样的变换为对换，记作（is，it）。对换过程记作 如果对调的两个数字的位置是相邻的，称这样的对换为相邻对换。 例1.2 将排列52134经对换变成标准排列12345。 一般地，任何一个n级排列i1i2i3 in都可经过一系列这种“归位”对换：第1位置数字与1对换，再对新排列中的第2位置数字与2对换 逐步将数字k移到第k位置而变成标准排列。 关于对换与排列奇偶性之间的关系，有如下性质： 性质1.1 一次对换改变排列的奇偶性。 证 设旧排列 isj1 jpit 经过一次对换（is，it）变成新排列 itj1 jpis （p=0时表示相邻对换）。我们来考察两个排列中数字之间的序关系：仅is与it之间和is，it分别与j1， ，jp的每一个之间的序关系发生了改变，共2p+1次。设其中有q1次是由逆序变成不是逆序，有q2次是从不是逆序变成逆序，则 因此，新排列的逆序比旧排列的逆序增加了q2-q1个（当q2　　q2-q1=q2+q1-2q1=2（p-q1）+1［q1-q2=q1+q2-2q2=2（p-q2）+1］ 为奇数，故新旧两个排列的逆序数的奇偶性相反，从而对换改变了排列的奇偶性。 练习1.2 1. 计算下列排列的逆序数，并判断排列的奇偶性： （1） 32514； （2） 31524； （3） 135 （2n-1）246 （2n）。 1.3 n阶行列式的定义 利用排列的理论，我们可以给出n阶行列式的定义如下： 定义1.5 由n2个数aij（i=1，2， ，n；j=1，2， ，n）排成n行n列的记号 称为n阶行列式。其中aij表示第i行第j列位置上的数字，称为第i行第j列元素。 n阶行列式表示所有取自不同行、不同列的n个数的乘积并按照如下方法带上正号或负号的代数和：每项乘积中的n个数按行号排成标准排列时，其列号排列的奇偶性决定该项的符号，奇排列时为负号，偶排列时为正号，即 （1.3） 其中，求和取遍所有n级排列j1j2 jn；而（-1）N（j1j2 jn）a1j1a2j2 anjn称为行列式的一般项。特别地，当n=1时，规定一阶行列式|a11|=a11。 行列式有时也简记作|aij|，其值是一个数。 当n=2，3时，按照定义1。5计算的2，3阶行列式的值与前面规定的2，3阶行列式值式（1.1）和 式（1.2）正好吻合一致。其实，n阶行列式的定义就是从分析2，3阶行列式的共同规律，由特殊到一般地推广得到的。 根据n阶行列式的定义计算行列式将要计算n!项，n=4时，4!=24；n=5时，5!=120。如此多项的计算很麻烦，但当这些项中很多都等于0，仅有少量的项不等于0，特别仅有1，2项不等于0时，我们只需要把这些不等于0的项计算出来就可以了。 行列式的一般项是取自不同行、不同列的n个数的乘积的代数和，故只有当这n个数都不等于0时，该项才不等于0。 例1.3 计算4阶行列式 （在行列式中，某些位置数字0不写更能反映其分布时，就不写）。 解 这个行列式按定义计算时第4行只能取a44，从而第3行只能取a33，进而第2行只能取a22，*后就知道第1行只能取a11，于是，这个行列式的不等于0的项只能是这4个数字的乘积，其前显然带正号，故原行列式=a11a22a33a44。 行列式中从左上角到右下角的对角线称为主对角线。主对角线下（上）方数字全为0的行列式称为上（下）三角形行列式，统称为三角形行列式。主对角线以外的数字全为0的行列式称为对角形行列式。 仿上例可证：三角形行列式和对角形行列式的值都等于主对角线上的数字的乘积。 行列式|aij|的一般项还可以写成 这是因为n个数ai1j1，ai2j2， ，ainjn是取自不同行不同列的，从而i1i2 in和j1j2 jn分别是行号排列和列号排列。交换乘积ai1j1ai2j2 ainjn中因子数字之间的次序，相当于对两个排列同时作相同位置上数字的对换，即对i1i2 in作（is，it）对换时，就对j1j2 jn作（js，jt）对换。 这样，若经过T次对换，将i1i2 in变成了标准排列12 n，则这T次对换相应地把j1j2 jn变成了排列k1k2 kn；根据性质1.1，于是有 （-1）N（j1j2 jn）（-1）T=（-1）N（k1k2 kn）。 又由于12 n为偶排列，则T的奇偶性与排列i1i2 in的奇偶性相同，于是有 进而 就是行列式的一般项。 于是，我们有如下行列式的等价定义： 定义1.5'定义1.5中的n阶行列式|aij|可定义为 这是一个将各项乘积中的n个数按列号排成标准排列，其行号排列的奇偶性确定该项的符号的定义。 于是，我们有了行列式的如下一种变形：把行列式的行与列互换，即把原来在第i行第j列位置的元素换到第j行第i列位置上去，所得到的行列式称为原来行列式的转置行列式，记D的转置行列式为DT。例如时，有