数学分析学习指导(上)

第1章 实数 1.1 实数集的公理系统及它的某些一般性质 & 1.2 重要的实数类 一、知识点总结与补充 1.与确界相关的基本概念 (1)集合的上确界(*小上界) (2)集合的下确界(*大下界) (3)函数的上确界(值域的上确界)sup (4)函数的下确界(值域的下确界)inf 2.完备(连续)公理 如果X与Y是R的非空子集，且具有性质:有，则，使对有. 3.确界原理 实数集的任何非空有上界(下界)的子集有唯一的上确界(下确界). 注利用完备(连续)公理可证明确界原理. 4.数学归纳原理 如果E是自然数集N的子集，并且当时，x+1也属于E，那么E=N.用符号表示为. 5.算术基本定理 每个自然数能唯一地不计因数顺序的区别表示成乘积的形式 n=p1 pk， 其中p1， ，pk都是素数. 6.阿基米德原理 如果h是任意一个固定的正数，那么对于任何实数x，必能找到唯一的整数k，使得. 7.有理数和无理数的稠密性 有理数集Q和无理数集均在R中稠密. 8.实数集的位置记数法引理 如果固定实数q＞1，那么，对于任何正数x2R，必有唯一的整数，使得. 二、例题讲解 1.对于定义在集合D R上的函数f(x)和g(x)，证明: (1) (2) 证 这里只给出(1)的证明，(2)的证明是类似的. 先证(1)的**个不等式.首先，由下确界的定义，显然有 因此 再次由下确界的定义，可知 再证(1)的第二个不等式.由上、下确界的定义易见 这蕴含着 再由下确界的定义即得 移项即得所要证的不等式. 注 容易给出(1)和(2)中不等式取严格不等号的例子，此处从略. 2.设函数f(x)于集合上有界，记. 证明: 证 由上、下确界的定义可知，使得.且.若M=m，结论显然成立.若，则当时，又显然.再结合式，由上确界的定义即 得结论. 3.给出和的表达式. 解 容易验证 和 此外，也可以通过解如下方程组求得 注 (几何意义)为a和b的中点，为两点距离的一半. 4.函数(u=u(x))的正部与负部定义如下: 正部 负部 因此我们有如下的分解: 函数的分解. 绝对值的分解. 5.设为一个无限集，常数a＞0.如果且，都有成立.证明:数集A是无界集. 证 反证法.假设A是有界集，则，使得.取自然数n使得.将闭区间分成2n等份，得到2n个闭区间.因为A是无限集，所以在上面的2n个闭区间中至少有一个闭区间包含了A中两个不同的元素a1，a2，此时，矛盾. 6.(无理数的稠密性)证明:设，则，使得. 证1 由和有理数在R中的稠密性，可知，使得，所以.显然，所以取即可. 证2 由和有理数在R中的稠密性，可知，使得，所以.若，则，则取即可.若，则.同样由有理数的稠密性易知，使得，所以.显然，则取即可. 三、习题参考解答(1.2节) 1.依据归纳原理证明: (1)当且时，同时只有n=1或x=0时等号成立(伯努利不等式). (2). 证 (1)当n=1或x=0时等号显然成立.往证. 当n=1时， 因此.设，则. 故，因此据归纳原理可知E=N.至此，伯努利不等式得证. (2)牛顿二项式可改写为 这里是二项式系数.往证. 显然.设，则 这里利用了如下公式:当k=1，2， ，n时，故，因此据归纳原理可知E=N.至此，牛顿二项式得证. 2.设S为非空有下界数集.证明: 证 先证，所以. 再证，所以，所以ξ为下界.对S的任何下界m，由定义.又因为，所以也有，故ξ为*大下界，即. 3.设-A是形如-a的数的集合，这里，试证. 证 由下确界的定义，使得，所以.又显然，所以，故由上确界的定义可知. 4.设A+B是形如a+b的数的集合，A B是形如a b的数的集合，其中.试检查是否总有 (1)sup(A+B)=supA+supB. (2)sup(A B)=supA supB. 解 (1)显然，所以，故.另一方面，使得.所以.显然，因此由上确界的定义可知sup(A+B)=supA+supB. 另外一种证明:首先，容易看出.事实上，对于任意的，则z=a+b，其中，显然. 因此，这就证明了sup(A+B).supA+supB.如果sup(A+B)　　因此，这与矛盾.因此，我们得到sup(A+B)=supA+supB.