数学分析学习辅导Ⅱ——微分与积分(第二版)

第1章 一元函数微分学 1.1 疑难解析 1.对于函数y=f(x)，什么叫可微?什么叫微分? 答：设函数y=f(x)在某个内有定义.如果存在与Δx无关的常数A，使Δy=f(x0+Δx).f(x0)能表示成 (1.1.1) 则称函数f在点x0可微，并称AΔx为f在点x0的微分，记作 2.对于函数y=f(x)，什么叫可导?什么叫导数? 答：设函数y=f(x)在某个内有定义.如果极限 (1.1.2) 存在，则称函数f在点x0可导，并称这个极限值为f在点x0的导数，记作f′(x0)， 即 3.可微、可导、微分、导数都是一回事吗?它们之间有什么关系? 答：不是一回事.可微与可导是指函数在一点的状态，而微分与导数是与函数在一点的可微与可导性相关的两个量.对于一元函数来说，可微与可导是等价的. 如果函数y=f(x)在点x0附近满足式(1.1.1)，那么称函数y=f(x)在点x0可微，此时函数y=f(x)在点x0也可导，反之亦然.A就等于函数y=f(x)在点x0的导数f′(x0)，而AΔx就是函数y=f(x)在点x0的微分.即函数y=f(x)在点x0可导与可微是等价的，当函数y=f(x)在点x0可导或者可微时，函数在这点肯定有微分和导数，但是函数y=f(x)在点x0的微分与导数一般不相等. 4.若函数y=f(x)在点x0存在左导数和右导数，问f(x)在点x0是否可导?它们之间有什么关系? 答：如果函数y=f(x)在点x0存在左导数和右导数，f(x)在点x0不一定可导.例如，函数f(x)=|x|在点x=0存在左导数和右导数，但是f(x)=|x|在点x=0不可导. 函数f(x)在点x0可导当且仅当f(x)在点x0存在左导数和右导数，且左导数等于右导数. 5.若函数y=f(x)在点x0存在左导数和右导数，问f(x)在点x0是否连续?它们之间有什么关系？ 答：函数f(x)在点x0连续，因为函数y=f(x)在点x0存在左导数和右导数，所以函数f(x)在点x0左连续和右连续，因此f(x)在点x0连续. 反过来，如果函数f(x)在点x0连续，不能推出f(x)在点x0存在左导数或者右导数.例如，函数在点x=0连续，但是f(x)在点x=0不存在左导数，也不存在右导数. 6.微分、导数的几何意义是什么? 答：微分与导数的几何意义是：函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0)是曲线y=f(x)在(x0，f(x0))处的切线的斜率，函数y=f(x)在x0处的微分是曲线y=f(x)在(x0，f(x0))处的切线方程在(x0，f(x0))处的增量f′(x0)(x.x0). 7.若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))有切线，问函数y=f(x)在x0处是否可导? 答：若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))有切线，函数y=f(x)在x0处不一定可导.例如，函数在x=0处有切线x=0，但是它在x=0处不可导. 如果曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))有不垂直于x轴的切线，那么函数y=f(x)在x0处是可导的. 8.如果函数f(x)在x0处可导，能否推知f(x)在x0的某个邻域内处处可导?能否推知f(x)在x0的某个邻域内处处连续?能否推知f(x)在x0的某个邻域内有定义? 答：如果函数f(x)在x0处可导，那么由可导的定义知，f(x)必然在x0的某个邻域内有定义.但是，不能由此推出f(x)在x0的某个邻域内处处连续，更不能推出f(x)在x0的某个邻域内处处可导.例如，对于函数为有理数，为无理数，易证f′(0)=0.但是f(x)在所有x.=0处都不连续，更不可导. 9.设当时下面关于f′(0)不存在的两种证明是否正确? (1)在等式中，令x=0，显然没有意义，所以f′(0)不存在; (2)因为不存在，所以f′(0)不存在. 答：这两种分析都不正确.(1)中的错误是：只有当时，等式才正确.(2)中的错误是：不能由极限的存在性推出f′(0)的存在性，因为只有当f′(x)在x=0处连续时，才有. 正确的方法是按照导数的定义求f′(0).事实上，因为所以f′(0)存在，且f′(0)=0. 一般地，对于分段函数在分段点的导数都要用导数的定义或者左右导数来求. 10.判断下列命题的真假，并说明理由： 1)设f在x=0处可导，若f(0)=0，则f′(0)=0，反之也成立; 2)若f在x0处可导，且在U(x0)内f(x)>0，则f′(x0)>0; 3)若f为[-a，a]上偶函数，且f′(0)存在，则f′(0)=0; 4)设.若f在x0处可导，则φ，ψ至少有一个在点x0可导; 5)设.若f在x0处可导，则φ，ψ至少有一个在点x0可导; 6)若f在x0可导，则|f|也在x0可导，反之也成立. 答：1)是假命题.例如，f(x)=x在x=0处可导，且满足f(0)=0，但是.反之，对于1在x=0处可导，且f′(0)=0，但是. 2)是假命题.例如，f(x)=x2+1在x=0处可导，且在U(0)内f(x)>0，但是f′(0)=0. 3)是真命题.因为f为上偶函数，且f′(0)存在，所以 因此. 4)是假命题.例如，设φ在x0处不可导，则在x=0处可导，但是φ，ψ都在点x0不可导. 5)是假命题.例如，φ(x)=|x|与都在x=0处不可导，但是在点x=0可导. 6)是假命题.例如，f(x)=x在x=0处可导，但是在x=0处不可导.又如，对于，有在x=0处可导，但g(x)在x=0处不可导.即反之不成立. 11.如何正确理解高阶微分不具备微分形式的不变性? 答：以二阶微分为例，当x是自变量时， (1.1.3) 当x是中间变量时，考虑两个可导函数复合而成的函数，于是 (1.1.4) 式(1.1.3)和式(1.1.4)表明，二阶微分不具有微分形式的不变性.其原因是当x是自变量时;当是中间变量时. 1.2 典型例题 1.2.1 微分与导数的概念 例1 设f(x)=x|x|，试讨论函数f(x)的可微性，并求其微分. 分析可以用可微的定义验证. 解 由于 所以函数f(x)在x=0处可微，且. 又因为当x>0时，对于任意，有 所以f(x)在(0，+∞)内可微，且. 同理可得，函数f(x)在内可微，且 综上所述，函数f(x)在内可微，且. 例2 设f′(x0)存在，a，b为两个非零常数，求极限lim 若存在，能否推出f′(x0)存在 分析所求极限与函数在一点的导数定义类似，可以通过恒等变形，设法利用导数定义计算. 解由于f′(x0)存在，及a，b为两个非零常数，所以存在，不能推出f′(x0)存在.例如，设，则， 但是f(x)=|x|在x=0处没有导数. 例3 讨论下列函数的连续性与可导性: 解先考虑函数f的连续性与可导性.事实上，对任意给定的x0.=0，取数列，使满足则 于是根据归结原则得， f(x)不存在，因此f(x)在x0处不连续，当然也不可导. 对于x0=0，由于，所以，因此根据连续的定义得，f(x)在x=0处连续.但因为为无理数，为有理数 当x→0时极限不存在，所以根据可导的定义得，f(x)在x=0处不可导. 再考虑函数g的连续性与可导性.事实上，对任意给定的x0.=0，同理可得，g(x)在x0处不连续，也不可导. 对于x0=0，由于所以g(x)在x=0处可导，当然也连续，且g′(0)=0. 注函数f(x)是在内有定义，但是处处不可导的例子;函数g(x)是在内有定义，但是仅在一点可导的例子. 例4求曲线在点x=1的切线与法线方程. 分析注意函数f(x)的导数f′(x0)是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率. 解由于，所以曲线在点x=1的切线方程为 即y=x+1. 又因为法线的斜率为-1，所以所求的法线方程为 即 1.2.2 微分与导数的计算 1.利用定义求函数的导数 例1 设求