海洋数值模拟

第1章 绪论 海洋学是一门十分年轻的科学，发展至今不足100年的时间。人类认识海洋是从沿海地区和在海上从事生产活动开始的。1942年，由著名的海洋学家Sverdrup、Johnson和Fleming合著的The Oceans一书标志着海洋学成为一门独立的学科。20世纪50～60年代以后，海洋学的研究取得了较大进展并使海洋学成为一门综合性较强的学科，发展出许多学科分支，主要包括物理海洋学、海洋化学、海洋生物学、海洋地质学等。 海洋学研究包括多种研究手段：理论分析、现场观测、卫星遥感观测、实验室实验和数值模拟等。理论分析主要是通过总结海洋相关现象的物理特征，结合已有的物理定律，构建出宏观的海洋物理模型或者理论模型。对海洋进行现场观测是获取海洋数据资料的重要手段，目前主要的现场观测手段包括：浮标、走航观测、高持久的漂流船和滑翔机及小型的水下自动机器人等。卫星遥感观测利用卫星测高仪、红外传感器、微波传感器及海洋水色传感器等对海洋物理场进行大面积的持续观测。实验室实验主要是通过水槽或旋转水池模拟海洋中的各种现象，并通过测量分析得出海洋现象的规律。数值模拟是利用计算机把流场分为许多小网格或者区域，构建一维、二维或者三维的数值模型，利用数值计算方法如有限差分法（finite difference method，FDM）、有限体积法（finite volume method，FVM）等求解流体运动方程组，海洋数值模拟是目前研究海洋各种现象不可或缺的研究手段。相比其他的研究方法，海洋数值模拟研究发展相对较晚，**个综合的海洋数值模型在20世纪60年代晚期才由Bryan（1969）构建完成。近一二十年，随着高性能计算机的出现，海洋数值模拟研究得到了显著发展，出现了一批开源共享的数值模式系统，对海洋学的发展起了非常重要的作用。 掌握并在实际研究工作中熟练应用海洋数值模拟技术，要求使用者在充分理解海洋数值模拟的基础概念和模式中使用的参数化方案的基础上，了解不同类型的海洋模式，如海流模式、波浪模式、海气耦合模式、大洋环流模式及其他模式等，根据每个模式具体的要求特征，结合实际课题的需求，进行针对性的应用。 1.1 海洋数值模拟基础概念和参数化方案 利用数值模拟方法实现对海洋科学问题的研究，需要建立能够反映问题本质的数学模型（即反映问题中各变量之间关系的微分方程及对应的定解条件），这就需要掌握基本的海洋动力学知识；建立起数学模型后，还需要了解对这些微分方程进行离散和求解的方法，并寻求高准确度和高效率的计算方法，这就需要掌握基本的计算流体力学知识。 海洋动力学基于牛顿第二定律研究海水的运动。流体运动遵循动量守恒、质量守恒、盐度守恒、能量守恒和角动量守恒定律，海洋运动的控制方程建立在这些守恒定律的基础上，包括三维动量（纳维-斯托克斯方程，Navier-Stokes equations，简称N-S方程）（三个方程）、海水连续性方程、盐度平流扩散方程、温度平流扩散方程和海水状态方程。该方程组理论上涵盖了海浪、潮汐、风生大洋环流和深层环流等物理海洋学中所有的海水运动过程。这七个方程包含了七个变量，并且构成一个闭合的方程组，给定初始条件和边界条件便可求解该方程组。在不同坐标系下，如笛卡儿直角坐标系、球坐标系和垂向坐标σ坐标系等，海水运动控制方程又呈现不同的形式，以适应不同的研究情况。 海水运动控制方程由七个非线性方程（微分方程）组成，现有的数学和物理理论无法求出其解析解，只能依靠离散手段求出数值近似解。常用的数值模拟离散方法包括有限差分法、有限体积法和有限元法等。离散后的方程组（差分方程）还需要进行相容性（差分方程是否逼近微分方程）、收敛性（步长取多少，才能使差分方程的截断误差达到指定的精度要求）和稳定性（差分方程的误差是否随时间的增长被无限放大）的验证。Lax等价定理则揭示了差分方程相容性、稳定性和收敛性三者之间的关系。 对于离散后的差分方程，可以通过二阶偏微分方程的数值求解方法求出差分方程的数值解。根据二阶偏微分方程的一般形式，二阶偏微分方程可分为双曲型、抛物型和椭圆型，给定边界条件和初始条件就可通过迭代法、追赶法等手段求出数值解。 海洋数值模式的核心问题之一是模式的参数化方案。现实中宏观物理过程通常是连续发生的，根据现实所归纳出的方程也是连续的。而在数值模式中，为了使计算机能够处理连续的方程，当前采用的数值化方案都是建立在微积分的理论上，使用离散网格点进行的，旨在求解网格分辨的速度、温度、盐度等控制方程。然而，使用离散网格会使得一些物理过程无法被模式分辨，同时一些模式自身由于客观条件的限制也无法将一些过程包含进来，这些不能被分辨、识别的过程统称为次网格过程。尽管这些次网格过程无法被识别，但是它们对模拟结果的影响依然不能被忽略。通过参数化的方式对这些过程进行有效的表达是目前对次网格过程的主要处理方式。参数化方案本身并不是针对次网格尺度的过程而设计出来的，自然界中仍然存在着一些物理过程，如湍流运动，其机制尚未得到科学的解释。参数化方案可以根据其特征进行数学上的归纳表达，从而达到在未知物理机制的前提下较为准确地使用函数代表这些物理过程的目的。 海洋数值模式在发展的过程中产生了多种次网格模式参数化方案。目前，海洋模式中常用的参数化方案主要包括：湍流参数化方案、中尺度过程参数化方案、次网格参数化方案、海气界面交换参数化方案、底边界层参数化方案等。在某些特定情况下，湍流参数化方案也会在次网格参数化方案中体现。 湍流参数化方案是针对海洋中的湍流过程所提出的参数化方案，在海洋数值模式中得到了广泛的运用。常见的湍流参数化方案有Prandtl混合长湍流闭合方案、标准k-ε参数化方案、Mellor-Yamada参数化方案、混合型参数化方案及KPP（K-profile parameterization）参数化方案等。其中需要注意的是，使用者应当首先学习湍流的基本概念，如分子黏性与扩散、雷诺应力及湍流二阶矩等，以便于理解湍流参数化方案的内容。 中尺度过程参数化方案是针对次网格过程的，其中常见的方案有Redi 82（Redi，1982）方案及GM 90（Gent and McWilliams，1990）参数化方案。次网格过程是数值计算上的概念，与现实存在的湍流过程有着本质区别，但是，湍流理论常常作为中尺度过程参数化的参照，有时这两个概念容易发生混用。中尺度过程至关重要。观察表明，中尺度过程是海洋多尺度运动过程中*活跃的部分，海洋中大部分的动能都储存在中尺度涡旋中。 随着计算机软硬件技术的飞速发展，许多以前在气候模式中不能分辨的次中尺度过程也逐渐成为海洋数值模拟的工作重心。相较于中尺度涡旋，次中尺度过程除了时空特征更小，它还是非地转的运动，能够引起海水在水平方向上强烈的辐聚辐散，从而诱发海水的垂向运动。研究次中尺度过程对于进一步研究海洋不同尺度运动的能量传递过程十分重要。它们可以由海洋中尺度涡旋、海洋锋面或者强流的剪切产生，为海洋湍流尺度的耗散及跨等密度面的混合提供了能量级串的通道，是海洋能量级串中的重要组成部分。目前，次中尺度参数化方案的研发已经成为当今物理海洋学领域的前沿热点问题之一。 海洋边界往往存在海洋与周围环境的能量交换过程，如海气界面的热辐射、海底边界的摩擦拖曳。这些物理过程同样需要参数化的处理。边界过程参数化方案一般包括：海气界面热量辐射的两种参数化方案、海气界面动量交换的两种参数化方案、海气界面飞沫过程的参数化方案及海底边界应力参数化方案。而海洋中的水平混合过程往往会受不同海域的不同海况影响，因此该类参数化方案具有尺度选择性，如Laplacian方案、Biharmonic方案、Smagorinsky方案等。 此外，海洋中的对流不稳定及浪致混合过程的参数化也同样重要。海洋表面的对流不稳定过程被认为是大西洋经向翻转流和深层海水形成的主要机制，浪致垂向混合是海洋波浪对海洋物理过程的主要影响方式之一。针对这些过程的参数化方案有对流调整参数化方案、热液羽流参数化方案、海浪直接作用与间接作用的参数化方案。 1.2 常见的海洋数值模式 随着海洋数值模拟技术的发展，海洋模式形成了许多不同的类型，如海流模式、波浪模式、海气耦合模式、大洋环流模式及其他模式等。研究者根据每个模式具体的要求特征，结合实际课题的需求，选择适合的海洋数值模式进行针对性的应用。目前，研究者较广泛使用的、常见的海洋数值模式有以下5类。 1.2.1 海流模式 海流又称为洋流，是海水因热辐射、蒸发、降水、冷缩等而形成密度不同的水团，再加上风应力、地转偏向力、引潮力等作用的大规模相对稳定的非周期性海水流动，是海水的普遍运动形式之一。海流一般为三维结构，通常将海流的水平运动分量狭义地称为海流，而铅直分量则单独命名为升降流，且水平方向的流动远强于铅直方向的流动。海域中的海流首尾相接可形成相对独立的环流系统，其将整个世界大洋联系起来，使大洋得以保持各水文、化学要素的长期相对稳定。海流的形成原因可归纳为两种，一为海表面的风力驱动，形成风生海流；二为海水的温盐变化，形成热盐环流。根据海水受力情况和发生区域的不同，海流还可以分为地转流、惯性流、陆架流、赤道流、东西边界流等。为了获得海洋流动的时空变化规律，海洋学家以一定的初始条件和边界条件将N-S方程（描述黏性不可压缩流体动量守恒的运动方程）进行离散差分变为差分方程，并利用计算机数值求解差分方程组以获得区域和海盆尺度的海洋三维环流结构。 随着实测数据的增加、数据质量的优化及模式自身的快速发展，海洋数值模式如今已能较好地应用于海洋各个领域的基础研究，如海洋锋面、中尺度涡旋、黑潮等，并向精确预测方向发展，实现海流较为准确的预报。经过多年的探索和研究，海流模式发展出了多个通用开源模式，按照模式研究区域可将其划分为区域海流模式和全球海流模式，可用于模拟从中小尺度到大尺度的多种海洋流动现象。目前比较常用的区域海流模式包括：ROMS（Regional Ocean Modeling System）、FVCOM（Finite-Volume Coastal Ocean Model）、POM（Princeton Ocean Model）。全球海流模式包括：MITgcm（Massachusetts Institute of Technology General Circulation Model）、HYCOM（the HYbrid Coordinate Ocean Model）、OFES（Ocean General Circulation Model for the Earth Simulator）、LICOM（LASG/IAP Climate System Ocean Model）等。学习区域海流模式，应当重点针对各模式发展历程、基本概况、模式特点、模式原理、模式模拟流程及模式应用等几个方面进行，详细理解各模式所包含的模拟功能模块、采用的坐标系及方程组、嵌套和网格、输入条件、模式结果处理等，并结合典型实例在不同海域的各模式中进行应用。 1.2.2 波浪模式 海洋波动是海洋水体运动的主要形式之一，以多种形式存在，如风生浪、海洋内部密度跃层上的波动（内波）、物体（如海岸滑坡及海冰）溅入海水中引起的波浪（飞溅浪）、海啸、潮汐等。波浪模式是主要针对海洋波浪进行数值模拟和预报的模式。目前，国内外研究波浪的数学模式主要基于三类方程：缓坡方程、Boussinesq方程和动谱平衡方程。基于不同方程的模式在模拟和预报时对波浪的机理各有侧重又各有特色。缓坡方程（椭圆型、抛物型和双曲型）基于线性波浪理论研究波浪在近岸的传播变形（折射和绕射），可以模拟波浪浅化、摩擦、折射、绕射等过程，但难于合理模拟风能输入、白帽和波-波非线性效应，尤其在非线性作用剧烈的水域不适用；Boussinesq方程是一个含有孤