数学桥:对高等数学的一次观赏之旅

目 录

**章 数/1

1.1 计数/3

1.1.1 自然数/3

1.1.1.1 自然数的构造/3

1.1.1.2算术/5 1.1.2 整数/6

1.1.2.1 零和负整数的性质/7

1.1.3 有理数/8 1.1.4 序/9

1.1.4.1 使N，Z和Q有序/10

1.1.5 从一到无穷大/11

1.1.5.1 无穷集的比较/11

1.1.6 无穷算术/12

1.1.7 超越~/16 1.2 实数/19

1.2.1 怎样产生无理数/20

1.2.2 有多少个实数/24

1.2.3 代数数和超越数/25

1.2.3.1 超越数的例子/27

1.2.4 连续统假设和更大的无穷大/28

1.3 复数及其高维同伴/31

1.3.1 复数i的发现/31

1.3.2 复平面/32

1.3.2.1 复数在几何中的应用/34

1.3.3 棣莫弗定理/35

1.3.4 多项式和代数基本定理/36

1.3.4.1 多项式方程的求解/37

1.3.5 还有其他的数吗/40

1.3.5.1 四元数/41

1.3.5.2 凯莱数/43 1.4 素数/44

1.4.1计算机、算法和数学/45

1.4.2 素数的性质/46

1.4.3 素数有多少个/48

1.4.3.1素数的分布/48

1.4.4 欧几里得算法/49

1.4.4.1 欧几里得算法的速度/50

1.4.4.2 连分数/51

1.4.5 贝祖引理和算术基本定理/53

1.5 模整数/57

1.5.1 模为素数的算术/57

1.5.1.1 一个关于素数的公式/58

1.5.1.2 费马小定理/59

1.5.2 RSA密码 /60

1.5.2.1 建立 RSA体制/62

1.5.2.2 一种RSA密码体制/64

第2章 分析 /66

2.1 无穷极限/68

2.1.1 三个例子/68

2.1.1.1 阿基里斯和乌龟 /68

2.1.1.2 连续复合利率/70

2.1.1.3 方程的迭代解法/72

2.1.2 极限的数学描述/75

2.1.2.1 收敛的一般准则/78

2.1.3 极限应用于无穷和/79

2.1.3.1 一个例子∶几何级数/79

2.2 无穷和的收敛与发散/81

2.2.1 调和级数/81

2.2.2 收敛判别法/82

2.2.2.1 比较判别法/82

2.2.2.2 交错级数判别法/84

2.2.2.3 绝对收敛/85

2.2.2.4 比率判别法/85

2.2.3 幂级数及其收敛半径/87

2.2.3.1 确定收敛半径/89

2.2.4 无穷级数的重新排列/89

2.3 实函数/92

2.3.1 实值函数的极限/92

2.3.2 连续函数/94 2.3.3 微分/97

2.3.3.1 例子/99

2.3.3.2 微分中值定理/102

2.3.3.3 洛必达法则/105

2.3.4 面积与积分/106

2.3.5 微积分基本定理/108

2.4 对数函数和指数函数以及 e/111

2.4.1 Inx的定义/111

2.4.2 expx的定义/114

2.4.3 欧拉数e/116

2.4.3.1 e的无理性/119

2.5 幂级数/121

2.5.1 泰勒级数/123

2.5.1.1 作为警示的例子/126

2.5.1.2 实函数的复扩张/126

2.6 T与分析学观点下的三角学/128

2.6.1 角度与扇形面积/128

2.6.1.1 π的一个级数展开式/131

2.6.2 正切、正弦和余弦/132

2.6.2.1 用幂级数定义 sinx和cosx/134

2.6.3 傅里叶级数/136

2.7 复函数/140

2.7.1 指数函数和三角函数/140

2.7.2 复函数的几个基本性质/141

2.7.3 对数函数及多值函数/142

2.7.4 复数器/143