水文随机分析

**章 绪论 【本章导语】本章着重介绍水文随机分析的研究对象、水文随机分析的模型和方法 (包括线性平稳随机模型、灰色系统模型、谱分析、小波分析、经验模态分解 )及其应用。 **节 水文随机分析的研究对象 水文现象是自然现象中的一种，有一定的时空变化特征，如河流某一断面的流量随时间变化的过程称为流量过程，对于河流断面水文站点的流量测验，一般都是离散时间点的流量值，这就构成了流量序列。径流是水文现象中的一种，具有确定性和不确定性变化规律，其中确定性变化规律较为突出的是年、月和日周期变化，如日、月平均流量序列明显存在以年为周期的变化规律(图 1-1)。图 1-1(a)是海河流域潮河干流下会水文站 1960～2016年的年平均流量序列，图 1-1(b)是下会水文站 2006～2017年的月平均流量序列，图 1-1(c)是下会水文站 2011～2017年的日平均流量序列，由图 1-1(a)可以看出年平均流量存在多年变化的周期性，而月平均流量和日平均流量序列存在明显的年周期变化特性。 图1-1 潮河干流下会水文站平均流量序列 一、时域和频域 平均流量随时间的变化过程(图 1-1)可以看作以时间 t为横坐标，以流量等水文要素为纵坐标的波动过程，以这种方式描述的坐标系称为时域，在此坐标系中平均流量是时间 t的函数(时间 t为自变量，流量等水文要素为因变量)，这种函数称为时域( time domain)函数，这里的时间 t可以是不同尺度的，图 1-1中的 t的尺度分别为年、月、日。 流量随时间的变化过程还可以转化为流量方差随频率的变化过程(图 1-2)，图 1-2是由图 1-1(b)月平均流量序列经过计算得到的方差谱密度图，即以频率为横坐标，流量方差为纵坐标，以这种方式描述的坐标系称为频域，其相应函数称为频域( frequency domain)函数。 图1-2 潮河干流下会水文站月平均流量序列的方差谱密度 某一水文要素的变化过程可从时域和频域的角度去分析，图 1-3展示了水文时间序列进行时域分析和频域分析的对应关系。在时域分析中，可以清楚地看到较为完整的水文时间序列的波动变化形式[图 1-3(a)]；在频域分析中，可以分辨出水文时间序列在时域波动中的主要简谐波[图 1-3(b)]。根据所需要研究解决的问题不同，可以在时域和频域中进行选择，如何将时域转变为频域或频域转变为时域将是研究的重中之重。本书中自回归滑动平均模型、灰色系统模型是时域模型，谱分析和经验模态分解是频域模型。 图1-3 时域分析和频域分析的对应关系 二、研究对象 水文过程的不确定性主要表现为随机性，水文时间序列的随机性也可以从图 1-1中看出，每一年的月平均流量并不相同，而且波动变化幅度很大；流量序列内前后的变化好像无序，时大时小，但彼此之间存在一定的相依(相关)关系，如2月平均流量与 1月平均流量有关，后一年的流量与前一年的流量有关，而且，同是枯水期的 2月，2008年 2月的月平均流量为1.21m3/s，而2009年2月的月平均流量却为 2.62m3/s，相差一倍多。每年月平均流量都有*大和*小月平均流量，但是出现的月份和大小也不一定相同，如 2015年*大月平均流量出现在9月，月平均流量是5.01m3/s，而2016年*大月平均流量出现在 8月，月平均流量是 12.8 m3/s，这就是流量序列(水文现象)的随机性，这种随机性变化特征是流量形成和演变中众多的影响因素所致，流量的形成受降水以及下垫面植被覆盖变化等因素的影响，每一年的流量序列的形状都可能不同。 因此，水文随机分析的研究对象就是水文过程或水文时间序列，通过随机分析的方法构建数学模型来研究水文时间序列的变化规律。利用建立的模型，既可以模拟大量水文时间序列，又可以做统计预测，以满足水利水电工程规划、设计、运行及水文水资源、水环境的各种分析、计算和研究的需要。具体而言，就是对水文时间序列建立适合的随机水文模型，模拟出水文时间序列(如年、月、日径流等)，供后续的分析使用。 从统计学上看，将某一个指标在不同时间上的数值按照时间的先后顺序排列而成的数列被称为时间序列；从系统的观点上看，时间序列就是某一系统在不同的时间(地点、条件等)的响应。时间序列作为研究历史行为的客观记录，包含了系统的结构特征和运行规律。所以，可以通过对时间序列的研究来认识系统的结构特征，揭示其变化规律，进而对其未来发展做出预测，控制其未来的行为，或者根据预测适当调整应对策略，更好地服务人类社会发展。 第二节 水文随机分析的模型和方法 水文随机分析的方法是一个开放的方法论体系，随着科学技术的发展，尤其是数学和计算机技术的发展，方法论体系在不断丰富、补充和扩展，本书所涉及的水文随机分析的模型和方法主要包括随机水文学中的线性平稳随机模型、研究小样本不确定性的灰色系统模型、研究时间序列周期性频域变化的谱分析和小波变换方法，以及经验模态分解方法等。 一、线性平稳随机模型 自回归滑动平均( autoregressive moving average，ARMA)模型，是线性平稳随机模型的代表性模型。该模型是针对水文时间序列内部的相依性通过自相关分析等方法构建而成，可以反映水文时间序列随时间变化的统计规律。 20世纪 20年代英国数学家尤尔( Yule)在分析和预测市场变化规律等问题中提出了自回归( autoregressive，AR)模型，英国科学家沃尔克 (Walker)爵士在研究气象问题时得到著名的 Yule-Walker方程。从哈曾(Hazen)和苏德伦 (Sudlen)早期的研究认为可以采用概率和统计理论来对径流序列进行分析，到巴尔内 (Barnes)于 1954年应用正态随机数进行径流模拟，随机水文学得到了逐步发展，然而随机水文学的真正迅速发展是从托马斯( Thomas)、费林( Fiering)和耶夫耶维奇( Yevjevich)考虑水文时间序列客观上存在相依性而引入自回归模型开始的。1970年，统计学家博克斯( Box)、詹金斯(Jenkins)和莱因泽尔( Reinsel)合作出版了 Time series analysis: Forecasting and Control一书，该书系统阐述了求和自回归滑动平均( autoregressive integrated moving average， ARIMA)模型的识别、估计、检验和预测的原理与方法，奠定了线性平稳随机模型的系统研究基础；后来，我国学者顾岚将这部英文著作翻译成《时间序列分析：预测与控制》，并于 1997年由中国统计出版社出版。1974年，章基嘉翻译了由苏联学者卡扎凯维奇的《随机函数论原理及其在水文气象学中的应用》，这是较早介绍随机理论在水文气象领域应用的著作；我国线性平稳随机模型的发展源于成都科技大学(现四川大学)的丁晶和邓育仁教授于1988年编写的《随机水文学》，这是我国进行系统研究随机水文学较早的学术专著。在1987年11月，我国学者金光炎翻译了英国学者科特戈达( Kottehoda)所著的《随机水资源技术》，并于 1993年出版学术专著《水文水资源随机分析》，该书较为系统地介绍了水文水资源学科中随机分析的理论和方法，2007年，我国学者王文圣等出版了《水文水资源随机模拟技术》学术专著，该书在重点介绍单变量线性参数随机模型、单变量非线性参数随机模型、多变量参数随机模型、非参数随机模型和基于计算智能的随机模型基础上，较为系统地阐述了水文水资源随机模拟技术的基本原理和分析方法。 二、灰色系统模型 灰色系统模型是灰色系统理论的核心内容之一，灰色系统理论( grey system theory)是由我国学者邓聚龙教授于20世纪80年代提出的，**篇灰色系统的论文“ Control problems of grey systems”发表于1982年(Deng，1982)，标志着灰色系统理论的诞生，灰色系统理论是研究小样本数据不确定性的理论，主要用于处理部分信息已知、部分信息未知的灰色系统的数据，对小样本时间序列模拟和预测的主要是 GM(1，1)模型。2000年武汉大学夏军教授将灰色系统理论引入到水文学研究中，撰写了**部灰色水文学的专著《灰色系统水文学——理论、方法及应用》，为灰色系统理论在水文学领域的研究和应用奠定了基础。 三、谱分析 谱分析(spectrum analysis)是频域分析的基本方法，也称为频谱分析。早期的频域分析方法假设任何一种无趋势的时间序列都可以分解成若干不同频率的周期波动，借助傅里叶 (Fourier)分析从频率的角度揭示时间序列的规律。傅里叶变换是法国数学家傅里叶于 1807年*早提出的，傅里叶变换为频域分析提供了基础， 1965年，快速傅里叶变换( fast Fourier transform，FFT)的出现扩展了频域分析使用的空间。 20世纪 60年代，伯格( Burg)在分析地震信号时提出*大熵谱( maximum entropy)估计理论，该理论克服了传统谱分析所固有的分辨率不高和频率泄露等问题，使谱分析进入了一个新的发展阶段，称为现代谱分析。谱分析方法是一种非常有用的纵向数据分析方法，其*大的缺点就是需要研究者有较强的数学基础，而且分析结果较为抽象，并较难解释。 1983年，国内学者黄忠恕将波谱分析方法应用于水文气象的研究，编著了波谱分析方面的著作《波谱分析方法及其在水文气象学中的应用》，该书较为系统地阐述了波谱分析原理、计算方法及其在水文气象学中的应用。 1984年，黄嘉佑和李黄共同编著了《气象中的谱分析》，该书从气象要素时间序列、大气运动、时-空角度分别介绍了谱分析方法的原理和计算方法， 2004年，黄嘉佑又修订出版了《气象统计分析与预报方法(第三版)》，该书专门列了谱分析一章，着重介绍了功率谱和交叉谱等有关谱分析方法，这为谱分析方法在水文气象时间序列分析中的应用奠定了基础。 四、小波分析 小波变换是小波分析( wavelet analysis)的核心内容，小波分析由法国地质学家莫莱特 (Morlet)于1974年首先提出，是处理非线性和非平稳时间序列的一种有效方法。1992年，迈耶(Meyer)出版了《小波与算子》，这标志着小波分析理论的诞生。由于小波变换的多分辨率可以通过对母小波在时域上的伸缩和平移而获得不同尺度的时间序列分解分量序列，这些分解分量序列反映了原时间序列的局部时频特征。小波变换在时域和频域上同时局部化从而克服了傅里叶变换的缺点，因此，小波变换也被称为“数字显微镜”。1993年，库马尔( Kumar)等运用正交小波变换分析了空间降水的尺度和振荡特征，这是*早将小波变换引入水文学领域中的研究，我国学者王文圣教授于 2005年出版了国内**部有关小波分析在水文领域研究的专著《水文小波分析》，开启了小波分析在水文水资源等相关领域的应用研究。2013年，桑燕芳等在《地理科学进展》上发表了一篇较为全面的小波分析的综述性文章“小波分析方法在水文学研究中的应用现状及展望”(桑燕芳等， 2013)，该文较为详细介绍了小波函数、小波变换和小波消噪等小波分析的基本方法，从基于连续小波变换的水文时间序列多时间尺度变化特性分析、基于离散小波变换的水文时间序列分解和重构、水文过程复杂性定量描述、水文时间序列小波消噪、水文时间序列小波互相关分析和基于小波方法的水文时间序列模拟预报技术等六方面综述了小波分析方法在水文学各领域的应用现状和主要不足，以及存在的关键和难点问题。*后，对小波分析方法在今后的水文学研究中的应用进行了展望，并就小波函数选择、小波阈值消噪、小波分解、小波互相关分析、水文时间序列小波预报等具体问题提出了建议，是小波分析在水文领域研究较为全面和详细的文献资料。2017年，桑燕芳出版了《水文过程复杂