高等数学(上册)(第二版)

第1章 极限与连续 高等数学是变量数学，它的研究对象、研究方法与初等数学相比都有相当大的差异：它的主要研究对象是函数；它的主要内容是微积分学，即微分学与积分学．而微积分的主要课题在于研究变量的变化性态．为了利用变量的变化趋势、变化速度以及变化的累积效应等要素刻画变化过程的特征，人们提出并发展了极限的理论和方法．实际上，微分学中的重要概念——导数就是一类特殊的极限，而积分学中的重要概念——定积分又是另一类特殊的极限，极限的理论和方法构成了整个微积分的基础．本章主要介绍极限的基本概念、基本性质、基本运算，并且利用极限描述函数的连续性．连续函数是*常见的一类函数，它具有一系列很好的性质，便于研究和应用．本章内容是学习微积分必须具备的理论基础． 1.1 函数 1.1.1 预备知识 1.1.1.1 常量与变量 在日常生活或生产实践中，观察某一个事件的结果往往是用一个量的形式来表现的，在某一个观察的过程中始终保持不变的量称为常量，有的量在观察过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，这样的量称为变量．例如圆周率π是永远不变的量，它是一个常量；某商品的价格在一定的时间段内是不变的，所以在这段时间内它也是常量；又如一天中的气温、工厂在生产过程中的产量都是不断变化的量，这些量都是变量． 必须注意，常量和变量的概念是相对的，它们依赖于所考察的过程．在不同的过程中常量和变量是可以转化的，如商品的价格某段时间是常量，另一段时间就有可能是变量了. 1.1.1.2 集合、区间和邻域 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些具有同一种属性的元素组成的总体称为集合（简称集）．例如，某班的全体学生组成一个集合；某工厂在一定时间内生产的所有产品组成一个集合；所有正有理数组成一个集合；等等． 集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）．比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的． 如无特别声明，可用如下符号表示一些常用数集： R—实数集；Q—有理数集；Z—整数集；N—自然数集． 有关集合的表示、集合的运算符、集合的运算等方面的基本知识，中学数学已有介绍，这里就不一一赘述了． 如果变量的变化是连续的，则用区间来表示其变化范围．在数轴上，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体．常用的区间有以下几种： 闭区间 开区间 半开区间 以上这些区间都是有限区间，其中，a，b称为区间的端点，b－a称为区间的长度．除此之外，还有无限区间，例如： 表示大于a的实数的全体； 表示不小于a的实数的全体； 表示小于b的实数的全体； 表示不大于b的实数的全体； 表示全体实数， 其中-∞和+∞分别读作“负无穷大”和“正无穷大”，它们不是数，仅仅是记号． 为了方便讨论数轴上某点附近的性质，我们引入邻域的概念． 定义1 设a是一个实数，δ是正数，数轴上到点a的距离小于δ的点的全体，称为点a的δ邻域，记作，即， 其中，点a称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径．若不需要指明半径时，可记作U(a)． 有时用到的邻域需要把中心去掉，称为点的去心邻域，记作，即 为了方便，我们可以引入下面的记号： 称为点a的δ右邻域； 称为点a的去心δ右邻域； 称为点a的δ左邻域； 称为点a的去心δ左邻域． 1.1.2 函数概念 变量、运动与曲线的数学描述，催生了函数的思想，并把函数概念和方法置于整个数学的中心地位．微积分的研究对象是函数，几何图形则成为函数的图像．世界万物之间的联系与变化都有可能以各种不同的函数作为它们的数学模型． 函数的概念在历史上经过多次的扩展演化，其间经历了漫长的过程．在16世纪，变化着的量之间的依赖关系成为科学研究的重要方面，反映到数学里，就产生了变量和函数的概念．在科学史上意大利物理学家伽利略 伽利雷(Galileo Galilei，1564～1642)首先研究了变量间相互依存的关系，在他的名著《两门新科学》中就指出诸如“从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用的时间成正比”，即渗透着函数的思想．“变量”的概念*先是由法国数学家笛卡儿(Descartes Rene，1596～1650)提出的，他在《几何学》中引入坐标概念的同时也引入了变量概念，他在指出x，y是变量的同时，还注意到数y依赖于x的变化而变化，这正是函数思想的萌芽，从此数学就由只研究常量进而开始研究了变量．英国科学家牛顿(Sir Isaac Newton， 1643～1727)在伽利略、笛卡儿的研究背景下，意识到“曲线是由于点的连续运动”，即曲线是动点的轨迹，动点的位置（x，y）是时间的函数．牛顿创立微积分时以流数(fluent)一词表示变量间的关系． *早提出函数概念是莱布尼茨(Gottfried Wilhelm von Leibnitz，1646～1716)．1673年莱布尼茨使用函数(function)一词，用来表示一个随着曲线上的点变动而变动的量，他把变动的量称x，与x同时变动的变数称为x的函数．其后，他的学生瑞士数学家约翰 伯努利(Johann Bernoulli，1667～1748)又把函数看作一个变量和一些常数组成的表达式．伯努利的学生瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler，1707～1783)则把这一定义又推进一步，在1748年他指出：一个变量的函数，是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析式．欧拉使伯努利所强调的函数要用公式表示变得更加的明朗化，他将解析式定义为函数．清代数学家李善兰(1811～1882)与英国传教士伟列亚历山大合译的《代微积拾级》中，将“function”译作了“函数”，意即“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数”．瑞士数学家欧拉于1724年首先使用函数的记号f(x)，一直沿用至今． 函数概念的发展演进是社会的需求和数学内部发展的需要共同促进的结果，它伴随着数学的发展在不断的改进和完善，其历程充分体现出了人们对真理孜孜不倦的追求．下面我们给出函数的定义． 定义2 设D是实数集R上的一个非空子集，对D中的每一个数x，按某一确定的法则f，均有**确定的实数y与之对应，则称f是以D为定义域的（一元）函数（也称为定义在D上的函数），记作 简记作， 其中x称为自变量，y称为因变量（或x的函数），x的取值范围称为函数的定义域（就是本定义中的D），通常用表示．数集称为函数的值域，通常用Rf表示． 需要指出的是： (1)以上函数定义基本上是按照初等数学中所描述的方式给出的，它指的是单值函数； (2)当一个函数没有指出自变量的范围时，该函数的定义域就是使该函数有意义的点的全体，即该函数的自然定义域； (3)函数之间可以定义加、减、乘、除等运算，但是运算必须在所有函数公共定义域内进行． 函数定义的精髓是“确定的对应法则及函数的定义域”，即函数的两大要素，至于自变量与因变量各用什么字母并不重要．如函数，与函数，有相同的对应法则f和相同的定义域D，因而这两个函数相同，可以看作是同一个函数．而函数与函数，前者定义域为，后者为R，定义域不同，因此不是同一个函数． 不同的对应法则可用不同的符号表示，如或，有时也用表示y是x的函数． 下面我们来看几个具体的例子． 例1 由关系式能确定两个变量x与y之间的一种对应关系，可以说是一个函数关系，但它不是我们通常所指的单值函数．比如x=0时，相应的y可以等于1，也可以等于-1．其实它们是，这样两段函数，这类函数我们称为多值函数． 例2 函数 的定义域为R，值域为，称它为绝对值函数，其图像如图1-1所示．通常这类函数称为分段函数． 所谓分段函数是指：函数在定义域的不同范围内的函数表达式不同，它实质上是一个函数，不能理解为两个或多个函数． 图1-1 y=|x|的图像图1-2的图像 例3 函数 称为符号函数，这也是分段函数，它的定义域为R，值域，它的图形如图1-2所示． 对任何实数x都有关系式，所以符号函数起着一个符号的作用． 例4 狄利克雷（Dirichlet）函数， 为有理数， 为无理数， 它的定义域，值域． 例5 取整函数，其中是不超过x的*大整数，如图1-3所示． 图1-3 取整函数的图像 例6 求函数的定义域． 解该函数的定义域，就是使函数有意义的点的全体，即要满足 由此可解得及，即该函数的定义域为． 例7 判断下列每组的两个函数是否表示同一个函数． (1) (2) 解 (1)的定义域为R的定义域为，因此不是同一个函数． (2)的定义域为R，，其定义域也为R，因此两个函数定义域和对应关系完全相同，尽管两个函数的自变量所用字母不同，但两个函数表示的是同一个函数． 1.1.3 函数的表示法 我们在日常生活中，可以根据需要，将函数用不同的方法来表示： (1)解析法（公式法）把两个变量之间的关系直接用数学式子表示出来，必要的时候还可以注明函数的定义域、值域，这种表示函数的方法称为解析法，如例2，例3，例4，例5，例6，例7等都是用解析法表示了函数关系．这在高等数学中是*常见的函数表示法，它便于我们进行理论研究． (2)表格法把自变量和因变量的对应值用表格形式列出，如三角函数表、常用对数表等．这种表示法有较强的实用价值． (3)图示法是用坐标系下的一条曲线反映自变量与因变量的对应关系．比如，气象台自动温度计记录了某地区的一昼夜气温的变化情况，这条曲线在直角坐标系下反映出来的就是一个函数关系．这种方法，几何直观性强，函数的基本性态一目了然，看图就基本上知道了变量间的依赖关系和变化态势，但它不利于理论研究． 1.1.4 函数的初等性质 微积分学的主要研究对象是函数，既然要对函数进行研究，自然要对函数有哪些基本几何性质要有一定的了解，下面我们将逐一进行介绍． 定义3 （函数的单调性）设f(x)在区间I上有定义，若对任意的，当时，恒有，则称f(x)在区间I上为单调增加函数（或单调减少函数）；若对任意的，当时，恒有或，则称f(x)在区间I上为严格单调增加函数（或严格单调减少函数）． 单调增加函数（或单调减少函数）、严格单调增加函数（或严格单调减少函数）统称为单调函数（也称函数具有单调性）． 在几何上，单调增加（减少）函数的图形是沿x轴的正向渐升的（渐降的）．单调函数的图形如图1-4和图1-5所示． 图1-4 单调增加函数图像图1-5单调减少函数图像 例8 证明函数在区间，上严格单调递减，在区间上严格单调递增．证对任意，设，则 即， 所以函数在区间上严格单调递减．同理可证在区间上严格单调递增． 图1-6 的图像 函数的单调性是函数在定义区间内的几何特征，在不同的区间上可能有不同的单调性．即便在各个不同的区间内单调性相同，但在整个定义域内仍有可能不单调．比如，函数