经济数学(二)(线性代数、概率论与数理统计)

第1章 行列式 行列式是线性代数中的重要概念之一，它来源于解线性方程组的问题，并且广泛应用于数学、工程技术及经济学等众多领域，本章主要介绍行列式的概念、性质及计算方法，并介绍用行列式解一类特殊线性方程组的克拉默(Cramer)法则。*后，利用克拉默法则给出方程个数与未知量个数相等的线性齐次方程组有非零解的充要条件。 1.1 行列式的定义及其展开定理 1.1.1 二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式 定义1.1 由个数aij（i，j=1，2）排成的2行2列的正方形数表，并在它的两旁各加一条竖线所得到的式子称为二阶行列式，它表示一个数，其值为，即以其中aij（i，j=1，2）称为行列式D2的元素，且**个下标i称为行标，表示元素aij位于行列式中的第i行，第二个下标j称为列标，表示元素aij位于行列式中的第j列，由此知，元素aij位于行列式D2中第i行与第j列的交叉点处。 从式(1.2)看出：a11a22是实线（称为主对角线）上两数之积，a12a21是虚线（称为次对角线）上两数之积，困此，按式(1.2)计算二阶行列式的方法（或法则）称为对角线展开法（或对角线法则）。 例1.1 例1.2 2. 三阶行列式 定义1.2 由9=32个数aij（i，j=1，2，3）排成的3行3列的正方形数表，并在它的两旁各加一条竖线所得到的式子称为三阶行列式，它表示一个数，其值为(1.4)其中ai（i，j=1，2，3）称为行列式D3的元素，且位于D3中第i行与第j列的交叉点处，同时可将式(1.4)按下面规律性较强的莎路展开法（仍可称为对角线展开法）来进行记忆，即有(1.5)。 另外，可规定一阶行列式，并注意和绝对值的差别，不要混淆。 例1.3 计算三阶行列式： 解 原式。解毕 例1.4 的充分必要条件是什么？ 解 因。故解毕 1.1.2 n阶行列式 在给出n阶行列式的概念及行列式的展开定理之前，先介绍余子式和代数余子式的概念。 1. 二阶、三阶行列式的余子式和代数余子式 定义1.3 从二阶或三阶行列式中划去元素aij所在的第i行和第j列的元素后，剩下的元素不改变原来的顺序所构成的一阶或二阶行列式称为元素“i的余子式，记为Mij，而称为元素的代数余子式。 例1.5 在二阶行列式中，它的各元素的余子式和代数余子式分别为。 例1.6 在三阶行列式中，元素和元素的余子式和代数余子式分别为。 有了代数余子式的概念之后，便可将二阶或三阶行列式表示为它们的**行各元素与其所对应代数余子式的乘积之和式，并称该和式为所给行列式按**行的展开式（其实可按任何一行或任何一列展开，该结论将在1.1.3节中给出），如 2. n阶行列式及其余子式和代数余子式 归纳二阶、三阶行列式及其余子式和代数余子式的概念，以及二阶、三阶行列式的展开规律，便可推广出一般n阶行列式及其余子式和代数余子式的定义如下。 定义1.4 由n2个数aij（i，j=1，2， ，n）（也称其为元素）排成的n行n列的正方形数表，并在它的两旁各加一条竖线所得到的式子称为n阶行列式，它表示一个数，其值为其中Mij是从阶行列式Dn中划去元素aij所在的第i行和第j列元素后，剩下的元素不改变原来的顺序所构成的n-1价行列式，即并分别称Mij和Ai是元素aij（i，j=1，2. ，n）的余子式和代数余子式。 由n阶行列式Dn的定义看出：要计算Dn的值，可通过计算n个n-1阶行列式Mij，(j=1，2， ，n)的值而得到，以此类推，对每个n-1阶行列式Mij，又可通过计算n-1个n-2阶行列式的值而得到，继续下去，*终便可得到Dn的值。 例1.7 在四阶行列式中，元素a32的余子式和代数余子式分别为 1.1.3 n阶行列式的展开定理 为后面计算行列式的需要，也限于本书的篇幅，下面不加证明地给出行列式展开定理，对后面类似的情形也如此处理，不再赘述。 定理1.1 （行列式展开定理）n阶行列式的值等于它的任一行（或任一列）的各元素与其所对应代数余子式乘积之和，即 从行列式的定义和展开定理可以看出，根据定义或展开定理计算高阶行列式时，其实质是将高阶行列式降低一阶来进行计算，这是计算行列式的重要方法（称为降阶计算法）之一，应熟练掌握。同时还需指出：对阶数n≥4的行列式Dn来说，不存在对角线展开法。另外，由展开定理立知：当一个行列式中的某一行（或某一列）中的元素全为零时，该行列式的值必为零。 例1.8 计算4阶下三角形行列式 解 反复应用行列式的定义和展开定理并结合二阶行列式的对角线展开法有解毕。 上、下三角形行列式的概念还可推广到n阶的情形，即有以下定义。 定义1.5 形如的n阶行列式分别称为n阶上三角形行列式和n阶下三角形行列式，统称为三角形行列式。 反复应用行列式的定义和展开定理，同理可得到三角形行列式的值如下：且该结果是今后计算行列式的一个重要依据，必须熟练掌握。 例1.9 计算四阶行列式的值。 解 因第2列含有三个零，故根据展开定理和上三角形行列式的特点，按第2列展开有解毕。