数学方法论

**章数学方法论简介 数学同其他各门学科一样，在其发展的过程中，形成了一系列适合于自身特点的思想方法。而数学是一门高度抽象又计算精巧的学科，学习数学必须讲究思想方法。在数学发展史中，数学思想方法不断为人们所掌握和运用，并创造出一个又一个成果。因此，《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》要求我们帮助学生“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”。 数学教学有两种不同的水平。低级水平是介绍数学概念，陈述数学定理和公式，指出解题的程式和套路，以便通过考试。高级水平是着眼于数学知识背后的数学思想方法，在解决数学问题的过程中进行深层次的数学思考，经过思维训练，获得数学美学的享受。我国从20世纪90年代以来，重视数学思想方法的教学已经成为中国数学教育的一大特色。继承和发扬这一优势，是21世纪数学教育工作者的一项重要任务。 然而，由于种种原因，当前的数学教学中，对数学思想方法渗透不够甚至缺失。而正因为对数学思想方法缺乏应有的重视，所以，在一定程度上影响了数学人才的培养。因此，把数学思想方法作为一个独立领域加以研究，从方法论的高度，探讨其对象、内容、功能以及孕育、形成与发展的规律，无疑对数学的发展与哲学的研究，都是有重要意义的。 **节数学方法论概述 一、什么是数学？ 数学具有高度的抽象性、严谨的逻辑性和广泛的使用性。这是关于数学学科特点的传统看法。近些年来，随着数学的发展与人们认识的深化，对数学学科特点又提出一些新的见解。比如，有人指出数学的基本特点是确切性、抽象性、严格性、应用的广泛性、数学美，还特别强调，数学美是数学诸特点中不可忽视的基本特点之一，人类进入以物质装置代替原来由人从事的信息加工处理工作的信息时代（或称信息加工时代、计算机时代）后，数学的上述诸特点进一步显示出来。也有人认为，从当前科学数学化的趋势看，高度的抽象性与广泛的适用性是数学昀根本的两个特点。还有人主张，数学的主要特点是它的高度抽象性、严谨逻辑性与数学美，而应用的广泛性是高度抽象性和严谨逻辑性的具体表现。数学作为一门基础科学到底有哪些特点？结合现代科学发展的实际对这一问题加以深入探讨，显然对充分发挥数学的功能、促进数学的发展是有积极作用的。 同时，数学具有多方面的功能，主要表现在三个方面：①科学功能，即数学在自然科学、社会科学和哲学等领域中所起的作用；②思维功能，即数学作为一种思维工具，它在日常思维活动中所起的作用，以及它对思维科学发展的意义等；③社会功能，即数学在社会生产、经济、文化、教育以及在精神文明建设中占有的地位与作用等。数学为什么会有上述功能？怎样才能更好地发挥它的功能？这些问题在科学技术高度发展的今天，都显得特别重要。 二、数学是什么科学？ 数学本质的另一个问题：数学究竟是什么科学？是演绎科学，还是经验科学呢？或是实验归纳科学呢？由于人们从不同的角度来认识，因而对这个问题有着不同的看法。 1.从数学所从属的工作领域来看 在17世纪以前，毕达哥拉斯学派的数学观占据了统治地位。他们认为“数是一切事物的本质，整个有规定的宇宙的组织，就是数以及数的关系的和谐系统”。伽利略说得更明白：“大自然乃至整个宇宙这本书都是用数学语言写出的”。依他们看来，科学的本质就是数学，世界是数学的描述形式。这一时期数学成了科学的“皇后”。 到了17世纪，这种观点发生了明显变化。数学家阿朗贝尔把数学划归在自然科学之内，确认它是自然科学的一个门类。数学不再被认为是科学的“皇后”，而是科学的“仆人”，是自然科学的工具。直到20世纪80年代末，我国杰出的科学家钱学森明确提出，“数学应该与自然科学和社会科学并列”，成为现代科学技术的自然科学、社会科学、数学科学、思维科学、系统科学、人体科学、军事科学、文艺理论、地理科学等十大门类的一大门类。他主张“数学应该称为‘数学科学’”。钱学森教授这一科学见解，不仅推动了数学自身的发展与繁荣，而且直接影响了人们的思维方式，影响了其他的科学进步。 科学技术飞速发展，越来越显示出“高新技术的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学”。现代高新技术越来越表现为是一种数学技术。正如美国科学院院士格利姆所说：“数学是一种关键的普遍适用的，并授予人以能力的技术”。这样一来，数学就有科学与技术两种品质。 2.从研究数学的方法来看 美籍匈牙利数学家、数学教育家乔治 波利亚认为“用欧几里得方法提出来的数学看来却像是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学”。可见，从数学真理（定理、法则、公式等）的发现或发明的无数事实来看，可以认为它是通过大量实验、归纳而得以发现，进而通过演绎推理而证明它的可靠性和真实性。从这种意义来讲，数学具有两重性。它既是一门系统的演绎科学（从昀后被确定的定型的数学来看），又是一门实验性的归纳科学（从创造过程中的数学来看）。 3.从数学对象来看 数学家笛卡尔把数学称作“序的科学”；物理学家温伯格把数学看作“模式与关系”的科学，如像生物是有机体的科学，物理是物和能的科学一样，“数学是模式的科学”。如果把数学看作一种语言，它又可认为“是描述模式的语言”。随着现代数学的创立与发展，人们对数学的本质的认识逐步深化。在当今数学哲学界流行一些新颖和较成熟的数学哲学观点。 《现代汉语词典》里，对于模式的解释是“某种事物的标准形式”。这种标准形式是通过抽象、概括而产生的。按照这种解释，数学的概念、理论、公式、定理和方法都可以看成一种模式。显然它们又是一种数学抽象思维活动的产物。这种抽象不同于其他科学中的抽象。首先，在抽象的内容上，它仅仅保留了事物的量的特性，而舍去了它的质的内容。其次，在抽象的度量上，数学中的概念，并非都是真实事物或现象的直接抽象的结果，而是在**次抽象的基础上，进行多次的再抽象。换句话说，由概念引出概念。例如正方形是由长方形引出的概念。再次，在抽象的方法上，它是一种“建构”的活动。也就是说，数学的对象是借助于明确的定义得到构造的，数学理论又是建立在逻辑演绎之上来展开的。我们不妨通过几个例子的研究来说明这点。 例1关于数学概念的模式。 我们知道“1”这个数，是对一个人、一棵树、一间房等一类事物的量的特性的刻画，是抽象思维的产物。实际上，在现实世界里并不存在作为数学研究对象的真正的“1”。又如，现实世界中，我们只看到圆形的十五的月亮、圆形的水池、圆形的车轮，而数学概念中的“圆”，则是这类事物的标准形式，反映了这类事物都具有的“到一个定点的距离等于定长”的量的特性。 在高等数学中，我们知道瞬时速度v可以看成是距离s对时间t的导数，即；同样，电流强度I是电量Q对时间t的导数，表示为；切线斜率是曲线的纵坐标y对横坐标x的导数，记为 我们如果将距离、电量、曲线等一类事物都抽象成关于x的函数f（x），那么刻画函数的变化率这一普遍意义的现象，可以用导数这一标准形式——模式来表示。这样，我们把数学概念都可以看成量化模式。 例2关于数学问题的模式。 下面的两个问题，我们如果从质的方面来看，显然是两个不同的问题，但若从量的属性角度来看，却是同一个标准形式。 （1）某人有两套不同的西装和三条不同颜色的领带，问共有多少种搭配方法？ （2）有两个军官和三个士兵，现由一个军官和一个士兵组成巡逻队，问共有多少种组成方法？ 这类问题，如果我们都舍去各自的质的内容。那么它们就可以抽象成如图1-1的形式。 图1-1 从方框图的推演可以看到，实际问题化归成了数的组合问题。这个过程就是关于量化模式的一种建构和研究。 三、方法与数学方法 什么是方法？有人认为“方法是一个元概念，不能逻辑地定义”；《哲学百科全书》（美）：“按给定程序达到既定成果必须采取的步骤”；《苏联大百科全书》：“方法表示研究或认识的途径、理论或学说，即从实践上或理论上把握现实的、为解决具体课题而采用的手段或操作的总和。”概而言之，方法是人们在认识和改造客观世界中所采用的方式、手段的统称。 数学方法是人们从事数学活动时所使用的方法。人们通过长期的实践，发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序，同一手段、门路或程序被重复使用了多次，并且达到了预期的目的，便成为数学方法。 因此，确切地说，数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算和分析，以形成解释、判断和预言的方法。 数学方法就是提出、分析、处理和解决数学问题所采用的思路、方式、逻辑手段等概括性的策略，也就是从数学角度提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中采用的各种方式、手段、途径等，其中包括变换数学形式。 数学方法具有以下三个基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性；三是应用的普遍性和可操作性。 数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：一是提供简洁精确的形式化语言；二是提供数量分析及计算的方法；三是提供逻辑推理的工具。现代科学技术特别是计算机的发展，与数学方法的地位和作用的强化正好是相辅相成。 宏观的数学方法包括模型方法、变换方法、对称方法、无穷小方法、公理化方法、结构方法、实验方法。微观的且在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下三类： （1）逻辑学中的方法。例如，分析法（包括逆证法）、综合法、反证法、归纳法、穷举法（要求分类讨论）等。这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色。 （2）数学中的一般方法。例如，建模法、消元法、降次法、代入法、图象法（也称坐标法。代数中常用图象法，解析几何中常用坐标法）、向量法、比较法（数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同）、放缩法、同一法、数学归纳法（这与逻辑学中的不完全归纳法不同）等。这些方法极为重要，应用也很广泛。 （3）数学中的特殊方法。例如，配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法（也称为中间变量法）、拆项补项法（含有添加辅助元素实现化归的数学思想）、因式分解方法，以及平行移动法、翻折法等。这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用，不可等闲视之。 例3求和： 思考与分析可以考虑分解组合的方法，变换问题的数学形式。 联想正切的差角公式 解令，则有 我们可以把数学方法分成四个层次。 1.基本的和重大的数学方法 这是一些哲学范畴的数量侧面，如模型化方法、概率统计方法、拓扑方法等。 （1）运动与静止。这是一对哲学范畴，它的数量化就是常量数学和变量数学。函数思想反映物质运动时的变量之间的依赖关系，微积分思想则是跨越无限成为研究函数变化率的锐利工具。中学里学习变量、函数，研究函数的性质，把函数作为一种模型，就是为了从数量上把握运动。 （2）偶然与必然。这对哲学范畴的数量化，形成了确定性数学和随机性数学。概率论是研究随机现象的数学，数理统计方法则是通过分析数据的随机性产生的学科。今天，我们重视概率与统计方法，正因为世界上充满着偶然性，而且偶然性后面具有一种必然性。掷硬币可以随机地出现两种情况，但是在大数量的投掷下，昀后呈现各为1/2的概率。人们设法用背后存在着的必然规律把握偶然、认识偶然。 （3）现象与本质。任何事物都有现象和本质两个方面，在数量关系上也是如此。给定一个情景，其中有各种量，以及各种量之间的关系。那么，哪些量是重要的本质？哪些量是无关的，可以