数学真好玩

为什么富士山给人以美的享受 指数函数会“爆炸”吗？ “黄金比例”和“白银比例”都是人类觉得美和协调的 比例。黄金比例是 1: 约 1.6。比如，国旗和名片的横竖都是这个比例。而白银比例是 1: 2（约 1.4），A 版和 B 版复印纸横竖都是这个比例。 有时翻看富士山的写真集，我的目光就会被钉在某张照片上无法移开。因为富士山和倒映在湖面的倒过来的富士山，上下左右都完美地对称着。那山脊的弧线似乎在对我深情地倾诉——仔细观察，就会觉得那弧线似乎跟指数函数“y ＝ ex ”的 图像有一部分是重合的。 指数函数可以用来说明各种各样的自然现象。其图像特征是从与 x 轴无限接近平行的状态开始，之后发生急剧变化，*后无限接近与 x 轴垂直的形状。 指数函数的缩写是“exp”，是取了“exponentia（指数）”的前三个字母。看到这个缩写，我不由得想起以同样三个字母开头的一个单词“explosion”（爆炸）。因为“从某一个点开始数值发生爆炸性的变化”正是指数函数的特征。详细内容会在第 109 页介绍，现在请大家思考一下发生在我们身边关于洗澡水变冷的现象。热茶和肉包子也是如此，接触到外面空气的瞬间，温度开始急剧下降，可当接近室温时，这种变化就放缓了。如果将温度变化的样子 画成图表，就会画出先前指数函数的曲线（见第 028 页）。 发现富士山山脊和指数函数的曲线相重合后，我又将目光投向了葛饰北斋画的《富岳三十六景》。其中的《神奈川冲浪里》是人们谈起黄金比例时屡屡言及的作品，北斋画中描绘的波浪形状跟“斐波纳奇数列（黄金分割数列）” （1，1，2，3，5，8，13，…，像这样相邻两项的和等于下一项的数列）中衍生出来的“螺旋”非常接近，因此画面整体呈现出黄金比例。 我并不认为北斋懂得数学知识，只是这位艺术家能画出从数学角度欣赏也很美的画作，那么在这个画着富士山的系列作品中，出现指数函数的曲线也就不是什么奇怪的事了。 仔细一看，还真有了发现。《凯风快晴》这幅作品中描绘的山脊就跟“y ＝ ex ”的图像展现出完美的一致。 想必有人会认为，既然山脊本身就是指数函数的曲线，描绘它的画呈现出同样的曲线可不就是理所当然的嘛。 但是北斋不可能拍下照片去临摹。归根结底，他还是根据自己的感性这面滤镜去把握富士山的美，然后再亲手一点点描绘出来。画作居然与数学意义上的曲线完全一致，这真让人惊叹不已。 联结富士山与数学的神秘数字“e” 那么，创造出如此美妙曲线的“e”究竟是个什么样的数字？“e”被称作“纳皮尔常数”，源自微积分。 简单来说，微分表示“瞬间的变化”，积分表示“*终的结果”。比如说，汽车的速度就是微分，而累计距离数值则用积分表示。想要表示时刻发生变化的样子就不得不用 到“e”这个数字。 这个“e”等于 2.71828182845904523536…，是一个无限不循环小数。这样的数字称为“无理数”。 顺便告诉大家，无理数的伙伴中还有一位很著名的朋友，那就是圆周率“π”。“π”和“e”是数学和物理学领域里非常重要的基本定数。有这两个数字登场的*有名的算式要数欧拉等式——“eiπ ＝ -1”。 算式中的“i”（虚数单位）也是一个不可思议的数字，它的平方等于 -1。两个无限的无理数和虚数组合，得到的却是“-1”这样一个简单的答案。 诺贝尔奖得主、美国物理学家理查德·费曼（1918—1988）称赞这个算式为“人类的至宝”。 为什么富士山的山脊呈现出这个算式的样子？ 让我们将话题转回富士山。 几乎在日本列岛中心位置的火山，为什么有着可以用包含神奇的纳皮尔常数的算式“ y ＝ ex ”来表示的山脊？ 这意味着，富士山从某种意义上讲，是在比较理想的环境下诞生的。 如果**次喷发是在一个完全水平的地面上，同时岩 浆垂直向上喷出，会变成什么样？ 我们单纯考虑的话，离喷火口越近的地方就会沉积越 多的岩浆，离得越远的地方沉积的量会越少。如果火山喷 发能始终保持相同的态势，岩石也均一地分散到四面八方， 那么岩浆体积和距喷火口的距离之间的关系就可以用微分 方程式来表示。解开微分方程式后，得到的富士山山脊的曲线正是指数函数的图像。 虽说指数函数跟温度变化等自然现象有着很深的关系， 但现实中的火山喷发不可能完全按照设定的理想状况进行，想要得到科学实验中那样的形状更是不可想象的。 但是，富士山正是在这种与理想状态极其接近的情况 下形成的，所以富士山山脊能与纯粹的数学曲线相吻合。 像这样的火山，就算纵观全世界也找不出第二个。这样的 山存在于我的祖国，这令我非常高兴。 不过，富士山山脊的弧线只是指数函数的一部分。如 果无法准确地想象出“y ＝ ex ”图像所描绘的曲线，无论 怎么盯着富士山不放，也不会知道它们是一致的。数学 老师经常会徒手在黑板上画出指数函数的图像，但看着 这种大略画出的曲线是不会产生正确的想象的。 就我自身而言，以前就对“y ＝ ex ”正确的曲线形状怎么也看不够。那个图像已经深深沁入了我的身体，正因如此，当我看到富士山的照片时，一下就发现了它们在数学范畴内的一致。 另外，像北斋这种感觉敏锐的人可能在下意识中就融合了数学的感觉。虽然他没有专门学习过数学，不过正因为对数学有着一种感觉，所以能感受到数学图形的美和协调，才能在其作品中再现《神奈川冲浪里》中的黄金比例和《凯风快晴》中的指数函数曲线。 如此说来，我们人类可能天生就有一种本能，可以感受到数学的美和协调等带来的快乐。学校里强行灌输的数学知识可能是很多人的心头之痛，但其实数学本来就是一种游戏。实际上从很久以前就有一大批数学家，他们不受谁的命令，自己想出数学问题，然后专心解答。他们就是在这个过程中寻找乐趣的。 而这种感觉并不是数学家的特权。 日本人也好，外国人也罢，不管谁看见富士山都会感受到它秀美的姿态吧。每个人对美的感受各不相同，让成千上万人都觉得美的东西并不多见。但是，拥有“y ＝ ex ”形山脊的富士山大体是个例外，它似乎拥有让人神魂颠倒的魅力。我认为这是因为我们生下来就有着一颗感受数学之美的心。 这座讲述数学之美的山正屹立在日本。我希望越来越多的日本人能够仰望富士山，唤醒自己那颗沉睡的“数学之心”。