幻方与素数:娱乐数学两大经典名题(修订版)

**部分 百变幻方——娱乐数学**名题 本书分两大部分，**部分专门介绍幻方，第二部分介绍素数。把幻方作为一个专题着重加以介绍，并非完全是由于笔者的偏爱，更主要的是因为幻方在娱乐数学中的地位以及它的意义实在非同一般，也因为幻方是中国人的首创，是值得中国人骄傲的。赖塞（H.J.Ryser)的名著《组合数学》（Combinatorial Mathematics)(MAA，1962)开宗明义地写道：“组合数学，也称为组合分析或组合学，是一门起源于古代的数学学科。据传说，中国的大禹（约公元前2200年）在一只神龟的背上看到如下幻方，而大约公元前1100年，排列即已在中国开始萌芽 ” 幻方从中国传到世界其他地区以后，引起广泛的重视，一代又一代的学者对它进行不懈的研究，取得了许多成果，有关的文献资料多不胜举。数学家詹姆士 纽曼（JamesRoyNewman，1907～1966)在20世纪50年代编辑了一部数学文库性质的《数学世界》（The World of Mathematics， Tempus Books，1956)，收集了数学各个分支、各个年代的名家名篇133篇，分4大卷出版。在“数学游戏与数学谜语”这部分的开头，纽曼在介绍中提到幻方时说道：“单单是有关幻方的著作就足够办一个规模可观的图书馆了（The writings on magic squares alone suffice to make a fair-sized library)。读者在看过本书以后当会相信纽曼的这个说法是一点也不过分的，笔者专用一部分介绍幻方也是有道理的。 公元前2200年，也就是距今4300年左右，在我们中华民族祖先居住的大地上，发生了暴雨连绵、洪水泛滥、成千上万的人遭到没顶之灾的大悲剧。当时人类抵御自然灾害的能力十分有限。在拯救自身生命的强烈愿望驱使下，人们奋起抗灾，在斗争和失败中学习，涌现出了许多可歌可泣的故事，其中大家*熟悉的是大禹为治水三过家门而不人的事迹。在大禹治水的过程中，还有许多美丽、动人的传说。例如，相传大禹在治黄河的时候，黄河龙马献给大禹一张河图，从而帮助大禹制定了一套正确的治黄方案。另一则传说是大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹一本洛书，书中有如图0-1所示的一幅奇怪的图。这幅图用今天的数学符号翻译出来，就是一个3阶幻方，也就是在3×3的方阵中填人1～9，其每行、每列和2条对角线上3个数字之和都相等，等于15，并把它叫做幻方常数(magic square constant)或幻和(magic sum)。这就是中国人首先发现的世界**个幻方。别小看了这个小小的幻方，这是中国人在数学上的一个伟大创造，它奠定了数学中一个重要分支——组合学的基础。当然，由于当时还没有发明我们今天所使用的数字符号，所以我们的祖先就巧妙地用这个图来表达他们所知道的幻方。图中，奇数用若干个空心的圆圈表示，偶数用若干个实心的圆圈表示，这和中国古时的阴阳学说有关。 由于作为洛书3阶幻方基础的九宫数字“二九四，七五三，六一八”在公元80年出版的古书《大戴礼记》卷八《明堂篇》中就有清清楚楚的记载，因此，中国人首先发现了幻方，是国际数学界公认的。但是，幻方到底是什么时候出现的，有没有实物为证？这个问题却长期得不到解决，直到20世纪70年代的一个考古发现才*终给出了答案。 图0-1 洛书上的3阶幻方 1977年春，安徽省阜阳县（现改为“阜阳市”）城郊的农民在双古堆平整土地时，发现了两座古墓。文物工作者发掘后证明这是西汉汝阴侯的墓葬。汝阴侯是汉高帝刘邦对其同乡的功臣夏侯婴的封号。墓主人是第二代汝阴侯夏侯灶及其妻子。据史书记载，夏侯灶死于汉文帝15年，即公元前165年，距今已2170多年。出土文物中包括3件极为珍贵的中国古代天文仪器，其中一件叫“太乙九宫占盘”，是用来占卦的盘，分上盘和下盘两部分，上盘嵌入下盘的凹槽，可以随意转动，如图0-2(a)所示。将盘上的古汉字转写成现代汉字以后如图0-2(b)。由图可见，太乙九宫占盘正面是按八卦位置和金、木、水、火、土五行属性排列的，其九宫名称和各宫节气的天数与古书《灵枢经》（这是《黄帝内经》的重要组成部分，是中国*早研究天气变化与人体关系，以占风候，治疾病的古书）完全一致。这个占盘就是用来测算立春、春分、立夏、夏至、立秋、秋分、立冬、冬至这个节气的，说明我们的祖先很早就掌握了季节变化的规律，这里我们不加详述，感兴趣的读者可参阅《考古》1978年5月号上殷非的文章“西汉汝阴侯墓出土的占盘和天文仪器”。我们感兴趣的是盘上圆圈中8个方位上的数字如果补上中心因安装转轴而无法刻上的“5”的话，恰为九宫数字“四九二，三五七，八一六”！因此，我国数学史专家梁宗巨先生在其遗作《世界数学通史》（辽宁教育出版社，2005)中认定这是一个3阶幻方的实物。根据盘上刻的该盘的制作年代“第三七年辛酉目中冬至”的字样，专家已确切地考证出这是汉文帝7年（也就是公元前173年），因此幻方在中国的出现已有2180年以上的历史，比根据《大戴礼记》的推算提前了两个半世纪（但不知什么原因，梁先生书上只说提前了一个半世纪）。幻方后来陆续传播到日本、朝鲜、印度、泰国、阿拉伯等地，引起广泛兴趣和重视。但根据史料记载，国外*早研究幻方的学者当推阿拉伯的塔比 伊本 夸儿拉（Thabitibn Qurrah，826～901)，那已是公元9世纪了。至于欧洲人知道幻方就更晚了，*早是生于康斯坦丁诺普尔(Constantinople)的印度人穆晓普鲁斯（Manuel Moschopulus)首先在15世纪把幻方介绍到欧洲去的。 图0-2 太乙九宫占盘 在中国古代，洛书3阶幻方被蒙上了一层厚厚的神秘色彩。周朝的易学家把它同“九宫说”等同起来（九宫指乾、坎、艮、震、巽、离、坤、兑八卦之宫，外加中央之宫，合称九宫），或者把它同他们所主张的“天地生成数说”联系起来（天数指奇数1、3、5、7、9，表阳、乾、天等；地数指2、4、6、8，表阴、坤、地等）。而两汉时的巫师或方士则把它用作占卜吉凶的图谶。在我国西藏地区，过去藏民普遍携带的一种护身符如图0-3所示，除了有黄道十二宫和八卦以外，中央就是一个用藏文数字表示的3阶幻方。此外，初版于1923年的《数学史》(D. E. Smith： History of Mathematics)中，转载了拉萨出版物中一*幅名为“生命之轮”（Wheel of Life)的画，如图0-4所示，也有类似的，但宗教色彩更浓厚，内容更丰富的图案，其中央也是一个3阶幻方。另一方面，由于洛书3阶幻方配置9个数字的均衡性和完美性，产生了极大的审美效果"使古人认为其中包含了某种至高无上的原则，也把它作为治国安民九类大法的模式，或把它视为举行国事大典的明堂的格局，因此使中国古人的这一数学杰作，具有哲学意义的创造。 图0-3 藏民的护身符 图0-4 “生命之轮” 事实上，隐藏在洛书3阶幻方背后，还可能有许多奥秘有待人们去挖掘。我国著名的科普作家兼娱乐数学专家谈祥柏先生就曾在他的著作中介绍了有关对洛书3阶幻方的新发现。首先是把幻方想象为画在汽车轮胎上，于是，*左一列与*右一列相邻，*上一行与*下一行也相邻。这时，9个2X2方阵中的4数之和恰好从16到24，既不重复也不遗漏，如图0-5所示。你说奇不奇？ 其次，把每列数字看成一个3位数，则此3个3位数之和与其3个逆转3位数之和相等，而且取它们的平方和也相等，即276+951+438=672+159+834=16652762+9512+4382=6722+1592+8342=1172421不仅如此，这种性质对行来说也成立，即 492+357+816=294+753+618=1665 4922+3572+8162=2942+7532+6182=1035369 图0-5洛书3阶幻方9个2 X 2方阵形成连续数列 更有甚者，如果我们把对角线也分成两族，自左上角到右下角的主对角线及与它平行的两条折对角线称为主族，反方向的对角线称为副族，则上述奇妙性质依然成立，即 主对角线族：654+798+213=456+897+312=1665 6542+7982+2132=4562+8972+3122=1109889 副对角线族：258+714+693=852+417+396=1665