线性代数(第二版)

第1章 矩阵 数学家西尔维斯特 西尔维斯特(Sylvester，1814～1897)是英国著名数学家，生于伦敦，曾就读于剑桥大学圣约翰学院，1841年在都柏林大学三一学院取得硕士学位，1846年进入内殿法学协会，1850年取得律师资格，1876年任美国约翰 霍普金斯大学数学教授，1883年返回英国，任牛津大学几何学教授. 西尔维斯特的主要贡献在代数学方面.他同凯莱一起，发展了行列式理论，共同奠定了关于代数不变量的理论基础；在数论方面做出了突出的贡献，特别是在整数分拆和丢番图分析方面；创造了许多数学名词，如不变量、不变因子和初等因子等.西尔维斯特是《美国数学杂志》的创始人，为发展美国的数学研究做出了贡献.1901年，英国为纪念西尔维斯特设立西尔维斯特奖章，用于奖励数学上取得成就的研究者. “矩阵”一词是数学家西尔维斯特于1850年首先使用的. 基本概念 矩阵、特殊矩阵、分块矩阵. 基本运算 矩阵的加法和减法、数乘、乘法、转置. 基本要求 熟悉矩阵的基本概念和几类常用的特殊矩阵；掌握矩阵运算和运算规律；熟悉分块矩阵的概念及分块矩阵的运算等. 矩阵是数学中一个重要的基本概念，也是代数学的主要研究对象之一.在自然科学、社会科学、经济管理等领域中，矩阵是被广泛应用的数学工具，也是贯穿本书的重要概念.本章主要介绍矩阵的概念、运算和分块矩阵等内容. 1.1 矩阵的概念 在实际问题中，人们经常会遇到各种各样的数字表格，它们所代表的实际意义千差万别，但是它们在形式和性质方面却有着某些共同点.本节从实际问题中的表格引入矩阵的概念，然后介绍几种常见的特殊矩阵等. 1.1.1 几个产生矩阵概念的实例 实例1.1某学校的校友为感恩母校的培养，其中第A1，A2，A3届校友分别于B1，B2，B3，B4年向母校捐赠建设校园基金，捐赠数量用“建设校园基金表”表示，见表1.1． 表1.1 建设校园基金表(单位：万元) 其中表示第Ai届校友于Bj年向母校捐赠建设校园基金的数量． 实例1.2 5支球队Ai(i=1，2，3，4，5)的循环比赛问题，他们的比赛结果用表格形式表示，见表1.2. 表1.2 5支球队的比赛结果表 表1.2中第i行(横排称为行)、第j列(纵排称为列)的数表示第i支球队Ai赢第j支球队Aj的分数. 实例1.1和实例1.2都用表格的形式给出所需要的信息.这些表格有一个共同特点：表格中的数字排列有序，且不能随意交换表格中数字的位置.人们关心的是这些数字以及它们之间的顺序关系，或者更深层的含义.从这些表格中抽象出排列有序的简化矩形数表，以便用数学方法进行深入研究，从而产生了矩阵的概念. 1.1.2 矩阵的定义 定义1.1由m×n个数aij(i=1，2， ，m；j=1，2， ，n)按一定的次序排成m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵，记作，或. 矩阵中的m×n个数称为矩阵的元素，第i行与第j列交叉处的元素aij称为矩阵的(i，j)元.i称为元素aij的行标，j称为元素aij的列标. 通常用大写英文字母等表示矩阵.以aij为(i，j)(i=1，2， ，m；j=1，2， ，n)元的矩阵记作A或(aij).当需要说明矩阵的行数m和列数n时，可以用符号或表示. 元素全是实数的矩阵称为实矩阵，否则称为复矩阵.除特别说明外，本书介绍的矩阵都是实矩阵.实际上，在没有特别说明的情况下，本书所涉及的内容都是实数问题. 例如，表1.1用矩阵表示为，其中表示第Ai届校友于Bj年向母校捐赠建设校园基金的数量. 例如，四个城市间的空运航线如图1.1所示，用单箭头表示有一条单向航线，否则表示没有单向航线.图1.1的信息也可以用矩阵表示. 图1.1 四个城市间的单向航线信息 设aij表示第i个城市到第j个城市的直达单向航线信息，即有一条单向航线用1表示，没有单向航线用0表示，则图1.1用矩阵表示为. 第i个城市到第j个城市只经过1次中转(即坐两次飞机)方能到达的信息也可以用矩阵表示为，其中bij表示第i个城市到第j个城市只经过1次中转(即坐两次飞机)方能到达的信息，即有一条单向航线用1表示，没有单向航线用0表示，有两条单向航线用2表示. 例如，设矩阵，其中，则. 如果两个矩阵的行数和列数都分别相等，称它们是同型矩阵. 定义1.2如果矩阵与是同型矩阵，并且对应位置上的元素相等，即aij=bij，称矩阵A与B相等，记作 例如，设矩阵， 则a=2，b=0，c=1. 1.1.3 几类常用的特殊矩阵 只有1行的矩阵称为行矩阵或n维行向量.为避免行矩阵的元素之间混淆，行矩阵可以写为. 只有1列的矩阵称为列矩阵或m维列向量. 行数m和列数n相等的矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵. 规定1阶方阵.显然，中学阶段所研究的数字是矩阵的特殊情况. 在n阶方阵中，从左上角至右下角的元素构成的对角线称为该方阵的主对角线.从右上角至左下角的元素构成的对角线称为该方阵的副对角线. 主对角线以下或以上的元素全为零的n阶方阵， 分别称为n阶上三角矩阵或n阶下三角矩阵. 上述矩阵可以简写为， 例如，矩阵， 分别是4阶上三角矩阵和4阶下三角矩阵. 主对角线以外的元素全为零的n阶方阵称为n阶对角矩阵. 上述对角矩阵可以简写为，或. 主对角线上的元素都是1的n阶对角矩阵称为n阶单位矩阵，记作E或I. 上述n阶单位矩阵可以简写为. 每个元素都是零的矩阵称为零矩阵.本书中用大写英文字母O表示零矩阵. 根据定义1.2，不同型的单位矩阵不相等；不同型的零矩阵也不相等. 在矩阵的运算中，单位矩阵和零矩阵具有特殊的作用. 矩阵中元素全为零的行，称为矩阵的零行；元素不全为零的行，称为矩阵的非零行.矩阵的非零行的**个非零元素(从左至右**个不为零的元素)称为主元素. 如果矩阵的零行(若存在零行的话)都位于非零行下方，每一个非零行的主元素(即非零行的**个非零元素)所在列以下的元素皆为零，并且每个主元素所在列位于前一行(若存在前一行的话)的主元素所在列的右侧，这样的矩阵称为行阶梯形矩阵. 例如，矩阵，都是行阶梯形矩阵. 如果行阶梯形矩阵的每一个非零行的主元素都是1，并且1所在列的其余元