大学数学教程

前言 **篇微积分 第1章预备知识与函数2 1.1预备知识2 1.1.1实数与数轴2 1.1.2实数的绝对值2 1.1.3区间3 1.2函数3 1.2.1函数的定义3 1.2.2函数的性质5 1.2.3反函数7 1.2.4基本初等函数8 1.2.5复合函数10 第1章习题12 第2章极限与连续17 2.1极限的概念17 2.1.1数列极限的定义17 2.1.2函数极限的定义18 2.2无穷大量与无穷小量20 2.2.1无穷大量20 2.2.2无穷小量20 2.2.3无穷大量与无穷小量的关系21 2.2.4无穷小量阶的比较21 2.3极限计算21 2.3.1利用极限的四则运算法则21 2.3.2直接代入法22 2.3.3利用有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量的性质法22 2.3.4倒数法22 2.3.5约去零因式法23 2.3.6无穷小量分出法23 2.3.7通分法24 2.3.8有理化法24 2.3.9变量代换法25 2.3.10利用limx→0sinxx=1计算相关极限25 2.3.11利用limx→∞1+1xx=e计算相关极限26 2.3.12利用等价无穷小替换求极限27 2.4函数的连续性28 2.4.1函数的改变量28 2.4.2函数在一点连续的定义28 2.4.3连续函数与连续区间30 2.4.4初等函数的连续性30 2.4.5分段函数的连续性30 *2.4.6闭区间上连续函数的性质31 *2.5应用实例33 2.5.1存贷款利息计算33 2.5.2自然增长模型34 第2章习题35 第3章导数与微分40 3.1导数概念40 3.1.1实例40 3.1.2导数的定义41 3.1.3导数的几何意义42 3.1.4左导数与右导数43 3.1.5可导与连续的关系44 3.2求导数的方法44 3.2.1基本初等函数求导公式45 3.2.2导数运算法则45 3.2.3反函数求导法则46 3.2.4复合函数求导法则(链式求导法则)47 3.2.5隐函数求导法49 *3.2.6对数求导法50 3.2.7高阶导数51 3.3微分52 3.3.1微分的定义52 3.3.2导数与微分的关系53 3.3.3微分的几何意义54 3.3.4微分计算54 3.3.5微分的应用——近似计算55 第3章习题56 第4章导数应用59 4.1导数应用——洛必达法则59 4.1.100型未定式59 4.1.2∞∞型未定式60 4.1.3其他类型的未定式61 4.2函数的单调性和极值63 4.2.1函数单调性63 4.2.2函数的极值65 4.3*值及其应用68 4.3.1闭区间上函数的*值68 4.3.2*值的应用69 *4.4函数图形的描绘74 4.4.1曲线的凹向和拐点74 4.4.2曲线的渐近线76 4.4.3函数图形的描绘78 4.5导数在经济学中的应用79 4.5.1边际分析79 4.5.2弹性分析81 *4.5.3相关变化率84 *4.5.4*小二乘法84 第4章习题88 第5章不定积分93 5.1不定积分的概念93 5.1.1原函数93 5.1.2不定积分的概念94 5.1.3不定积分的几何意义94 5.2不定积分的性质95 5.3基本积分公式96 5.4换元积分法98 5.4.1**类换元法(复合函数凑微分法)98 5.4.2第二类换元法102 5.5分部积分法107 第5章习题109 第6章定积分112 6.1定积分的概念和性质112 6.1.1从阿基米德的穷竭法谈起112 6.1.2曲边梯形的面积计算112 6.1.3定积分的概念113 *6.1.4定积分的存在定理115 6.1.5定积分的性质115 6.2微积分基本定理117 6.2.1积分上限函数及其导数118 6.2.2微积分基本定理及其应用119 6.3定积分的计算方法120 6.3.1定积分的凑微分法120 6.3.2定积分的换元法121 6.3.3定积分的分部积分法123 *6.4广义积分124 6.4.1无穷区间的广义积分124 6.4.2无界函数的广义积分126 6.5积分的应用128 6.5.1求原函数128 6.5.2求平面图形的面积129 6.5.3求旋转体的体积130 6.5.4求总量131 *6.5.5求资产的未来价值与现行价值132 第6章习题135 第7章微分方程初步142 7.1微分方程的基本概念142 7.2可分离变量的一阶微分方程144 7.3一阶线性微分方程146 7.3.1一阶线性微分方程的概念146 7.3.2一阶线性齐次方程的解法146 7.3.3一阶线性非齐次微分方程的解法147 *7.4可降阶的二阶微分方程149 7.4.1y″=f(x)型的二阶微分方程149 7.4.2y″=f(x,y')(不显含未知函数y)型的二阶微分方程150 7.4.3y″=f(y,y')(不显含自变量x)型的二阶微分方程150 7.5微分方程的应用151 第7章习题155 第二篇线性代数 第8章行列式160 8.1行列式的定义160 8.1.1二阶行列式160 8.1.2三阶行列式161 8.1.3n阶行列式163 8.2行列式的性质及计算164 8.2.1行列式的基本性质164 8.2.2行列式按行(列)展开定理166 8.2.3行列式的计算168 第8章习题171 第9章矩阵174 9.1矩阵的定义174 9.1.1引例174 9.1.2矩阵的概念175 9.1.3几种特殊矩阵175 9.2矩阵的运算176 9.2.1矩阵的加法运算176 9.2.2矩阵的数乘运算177 9.2.3矩阵的乘法运算177 9.2.4矩阵的逆180 9.3矩阵的初等变换181 9.3.1矩阵的初等行变换181 9.3.2求逆矩阵的初等变换法183 9.4案例184 第9章习题188 第10章线性方程组191 10.1克拉默法则解线性方程组191 10.2消元法解线性方程组193 10.3案例198 第10章习题201 第三篇概率论与数理统计 第11章随机事件及概率204 11.1随机事件204 11.1.1随机现象204 11.1.2随机试验204 11.1.3样本空间205 11.1.4随机事件205 11.1.5事件的集合表示206 11.1.6事件的关系及其运算206 11.1.7事件的运算律208 11.2随机事件的概率210 11.2.1概率的统计定义210 11.2.2概率的古典定义211 11.2.3概率的公理化定义212 11.3条件概率213 11.3.1条件概率213 11.3.2乘法公式214 11.4事件的独立性215 第11章习题216 第12章随机变量及其分布218 12.1随机变量218 12.2离散型随机变量及其分布219 12.3随机变量的分布函数221 12.3.1随机变量的分布函数221 12.3.2离散型随机变量的分布函数222 12.4连续型随机变量及其分布223 第12章习题230 第13章随机变量的数字特征232 13.1随机变量的数学期望232 13.1.1数学期望的定义232 13.1.2随机变量函数的数学期望235 13.1.3随机变量的数学期望的性质236 13.2方差237 13.2.1方差的概念237 13.2.2随机变量的方差的性质239 13.2.3常见分布的期望和方差239 第13章习题241 第14章数理统计初步243 14.1总体与样本243 14.2统计量及其分布244 14.2.1统计量244 14.2.2几种常用统计量的分布245 14.2.3几个重要的抽样分布定理246 14.3统计推断246 14.3.1点估计方法247 14.3.2区间估计249 14.4假设检验252 第14章习题259 习题参考答案261