新编高等数学

第1章 函数、极限与连续 1 1.1 函数及其性质 1 一、函数的概念 1 二、函数的几种特性 6 三、初等函数 7 能力训练题1.1 10 1.2 极限的概念 11 一、数列的极限 11 二、函数的极限 12 三、极限的性质 14 能力训练题1.2 15 1.3 无穷小与无穷大 15 一、无穷小 15 二、无穷大 16 三、无穷大与无穷小的关系 17 能力训练题1.3 17 1.4 极限的四则运算法则 18 能力训练题1.4 21 1.5 两个重要极限 22 一、limx→0sinxx=1 22 二、limx→∞1+1xx=e 23 能力训练题1.5 25 1.6 无穷小的比较 26 一、等价无穷小的定义 26 二、等价无穷小的应用 26 能力训练题1.6 27 1.7 函数的连续性 27 一、函数的连续性定义 27 二、函数间断点 28 三、初等函数的连续性 29 四、闭区间上连续函数的性质 30 能力训练题1.7 32 能力测试题一 33 第2章 一元函数微分学 35 2.1 导数概念 35 一、引例 35 二、导数的定义 36 三、由定义求导举例 37 四、左导数和右导数 38 五、导数的几何意义 38 六、可导与连续的关系 39 能力训练题2.1 40 2.2 导数的基本公式及运算法则 41 一、基本初等函数及常数的导数 41 二、导数的四则运算法则 42 三、反函数求导法则 43 四、复合函数的求导法则 43 五、隐函数的导数 45 六、对数求导法 46 能力训练题2.2 47 2.3 函数的微分 49 一、微分的定义 49 二、微分的几何意义 50 三、微分的计算 50 四、由参数方程确定的函数的导数 52 五、微分在近似计算中的应用 52 能力训练题2.3 53 2.4 高阶导数 54 能力训练题2.4 56 2.5 微分中值定理与洛必达法则 57 一、微分中值定理 57 二、洛必达法则 60 能力训练题2.5 63 2.6 函数的单调性及其极值 64 一、函数单调性的判别 64 二、函数的极值及其求法 66 能力训练题2.6 70 2.7 函数的*值 71 一、闭区间上连续函数的*值 71 二、*值应用题 72 能力训练题2.7 74 2.8 曲线的凹凸性、拐点与 函数图形的描绘 75 一、曲线的凹凸性与拐点 75 二、曲线的水平渐近线和垂直渐近线 77 三、函数图形的描绘 78 能力训练题2.8 79 能力测试题二 80 第3章 一元函数积分学 82 3.1 不定积分的概念与性质 82 一、原函数 82 二、不定积分的概念及几何意义 82 三、不定积分的积分公式 84 能力训练题3.1 86 3.2 换元积分法 86 一、**类换元积分法(凑微分法) 87 二、第二类换元积分法 92 能力训练题 3.2 94 3.3 分部积分法 95 能力训练题3.3 100 3.4 定积分的概念及性质 100 一、引例 100 二、定积分的概念 102 三、定积分的几何意义 104 四、定积分的性质 105 能力训练题3.4 107 3.5 微积分基本公式 108 一、变上限的定积分 108 二、牛顿-莱布尼茨公式 110 能力训练题3.5 112 3.6 定积分的积分方法 113 一、定积分的换元积分法 113 二、定积分的分部积分法 115 三、无穷区间上的广义积分 116 能力训练题3.6 118 3.7 定积分的应用 119 一、定积分的微元法 119 二、平面图形的面积 120 三、立体的体积 122 四、物理应用 125 能力训练题3.7 127 能力测试题三 128 第4章 微分方程 131 4.1 微分方程的基本概念 131 一、引例 131 二、微分方程的定义 132 能力训练题4.1 133 4.2 一阶微分方程 134 一、可分离变量的一阶微分方程 134 二、一阶线性微分方程 136 能力训练题4.2 139 4.3 特殊的可降阶的微分方程 140 一、用降阶法解y(n)=f(x)类型的 方程 140 二、用降阶法解 y″=f(x,y′)类型的 方程 140 能力训练题4.3 141 4.4 二阶线性微分方程 141 一、二阶线性微分方程解的结构 141 二、二阶常系数齐次线性微分方程的 解法 143 三、二阶常系数非齐次线性微分方程的 解法 146 能力训练题 4.4 150 能力测试题四 150 第5章 空间解析几何与向量代数 152 5.1 空间直角坐标系 152 一、空间直角坐标系概念 152 二、空间点的直角坐标 153 三、空间两点间的距离 153 四、二、三阶行列式 154 能力训练题5.1 157 5.2 向量及其运算 158 一、向量的概念 158 二、向量的线性运算 159 三、向量的坐标 160 四、向量运算的坐标表达 162 五、向量的位置关系 166 能力训练题5.2 166 5.3 空间平面与直线 167 一、平面的点法式方程及一般式方程 167 二、点到平面的距离、两平面的 位置关系 168 三、空间直线的方程 170 四、两直线的位置关系 172 五、直线与平面的位置关系 172 能力训练题5.3 173 5.4 空间曲面与曲线 174 一、曲面及其方程 174 二、常见的二次曲面及其方程 176 三、空间曲线方程 178 能力训练题5.4 181 能力测试题五 182 第6章 多元函数微分学 183 6.1 多元函数的基本概念 183 一、多元函数概论 183 二、二元函数的极限 185 三、二元函数的连续性 186 能力训练题6.1 187 6.2 偏导数 187 一、偏导数的概念 187 二、高阶偏导数 190 三、多元复合函数的偏导数 191 四、多元隐函数求偏导 193 能力训练题6.2 194 6.3 全微分 194 一、全微分的概念 194 二、全微分在近似计算中的应用 196 能力训练题6.3 196 6.4 偏导数的几何应用 197 一、空间曲线的切线和法平面 197 二、曲面的切平面与法线 198 能力训练题6.4 199 6.5 多元函数极值问题 199 一、二元函数极值 199 二、*大值与*小值 201 三、条件极值 201 能力训练题6.5 203 能力测试题六 203 第7章 多元函数积分学 205 7.1 二重积分 205 一、二重积分的概念 205 二、二重积分的性质 206 三、二重积分在直角坐标系中的 累次积分法 207 四、二重积分在极坐标系中的 累次积分法 211 能力训练题7.1 213 7.2 二重积分的应用 214 一、几何应用 215 二、物理应用 216 能力训练题7.2 218 7.3 曲线积分 218 一、对坐标的曲线积分的概念 218 二、对坐标的曲线积分的计算 219 能力训练题7.3 221 7.4 格林公式 222 一、格林公式 222 二、曲线积分与路径无关的条件 223 能力训练题7.4 225 能力测试题七 226 第8章 无穷级数 227 8.1 常数项级数 227 一、无穷级数的概念和基本性质 227 二、正项级数 230 三、任意项级数 233 能力训练题8.1 235 8.2 幂级数 236 一、幂级数及其收敛性 236 二、幂级数的运算 239 三、函数展开成幂级数 240 四、和函数 244 能力训练题8.2 245 能力测试题八 245 第9章 线性代数初步 247 9.1 行列式 247 一、 n阶行列式的定义 247 二、行列式的性质 249 三、克莱姆法则 254 能力训练题9.1 256 9.2 矩阵 258 一、矩阵的概念 258 二、矩阵的运算 261 三、矩阵的初等变换与矩阵的秩 266 四、逆矩阵 270 能力训练题9.2 276 9.3 向量及其线性关系 279 一、n维向量的概念及运算 279 二、向量的线性关系 281 三、向量组的秩 284 能力训练题9.3 285 9.4 线性方程组 286 一、线性方程组解的判定 287 二、齐次线性方程组解的结构 291 三、非齐次线性方程组解的结构 295 能力训练题9.4 299 能力测试题九 301 综合能力测试题 303 附录Ⅰ 基本初等函数表 305 附录Ⅱ 初等数学中的常用公式 308 附录Ⅲ 几种常用的平面曲线方程及其图形 311