数学研究与论文写作指导(第2版)

第1章写作基本原则与训练 　　本章的主要任务是进行数学写作基本训练，主要方法是通过例题示范和习题演练来增强写作技能。我们的重点不是在提高解难题能力，而是通过解题论证这个过程提高数学写作能力。本章的内容都是经过筛选、构思和精心安排编写而成的。首先我们来探讨数学写作的基本原则。 　　第1讲《数学写作指导》课程概述 　　1.1写作基本原则 　　谈到数学写作的基本原则，难以回避的问题是数学为什么要写作？为此我们需要了解什么是数学以及其特点。 　　根据《数学史概论》W，公元前4世纪希腊哲学家亚里士多德将数学定义为量的科学，19世纪恩格斯在论述数学的本质时，认为数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。数学大师陈省身在其文集間中精辟地指出，数学是一门演绎的学问：从一组公理出发，经过逻辑推理，获得结论。柯朗和罗宾在其著作中则明确指出，对有学问的人和对普通人一样，要回答“什么是数学”这个问题，只能通过在数学中的切身体验，而不靠什么大道理。 　　不论怎么来定义数学，科学家们都一致地认为（正如A.D.亚历山大洛夫等在其著作中所述的），数学的特点主要有三条：**是抽象性，第二是精确性，或者说是逻辑的严密性以及结论的确定性，*后是它应用的极端广泛性。英国哲学家、数学家伯特兰 罗素（1872—1970）则从哲学的层面认为，数学不但拥有真理，而且也具有至高无上的美。 　　于是，很自然地就产生这样一个问题：既然数学这么好，那么怎么体现、表达她的“好”呢？数学理论又是如何传承下去的呢？答案应当是通过数学的写作来完成这项任务，也就是说，数学的理论与方法全靠数学写作来体现出来。因此，作为传播和认识数学的手段，数学写作起着至关重要的作用。李大潜在文献问中明确总结了一个学习数学的“四字诀”，即“少、慢、精、深”，他解释说，我觉得，数学学习的好坏要看是否理解深入、运作熟练及表达简明这三个方面。我们看到所涉及三个方面之每一方面都与数学写作有关。他还强调“学好数学，要重视严格的数学训练，其中很重要的一环，是要认真做好习题。苏步青先生曾经做过一万道微积分题，他功底扎实，再烦再难的推导及计算都不在话下，绝不是偶然的”。因此，学好数学的重要一环是“做好习题”，这个要求比“会做习题”更高一层，高在什么地方呢？我认为有两点具体体现，一是解题方法，二是写作水平。 　　一般来说，数学写作是指论文或著作的写作，其实，写作的*基本训练是“做好习题”。大学基础课程的例题与习题有许多类型，但主要类型不外乎两种，即证明题和计算题。无论什么类型的题目，在解答论证的时候应该做到以下三条基本要求（基本原则）。 　　1.结构合理、条理清楚（框架构思 　　2.推导无误、论证严密（细节安排）； 　　3.叙述严谨、语句通顺（语言表达）。 　　这三条基本原则，大家一看都能明白，但真要做到则需要足够量的练习和较长时间的积累与实践。根据本人长期从事数学教学和研究的经验，对这三条基本原则做如下解读。 　　**条：结构合理、条理清楚。证明一个结论，往往有若干步骤，到底分几步完成、每一步的主要任务是什么、每一步出现在哪里等等一定要经过周密思考，并做到心中有数。同样，写作一篇论文往往分若干节内容，到底分几节完成、每一节的主要任务是什么、每一节出现在哪里也要认真思考。有时候某一部分内容可以出现在不同的地方，这时一定要想一想放在何处*合适。 　　如果是写一本书，就要好好构思一下全书分几章完成，每一章写什么内容，以及这一章内容分成几节来写。无论是一本书，还是一篇文章，甚至一个章节，都会涉及结构与条理问题，每一部分内容都要力求层次清晰、条理清楚、表述准确、语义连贯、衔接自然。首次出现的记号或概念等都应当及时地给予解释。公式的编排要整齐美观，其中出现的较复杂的表达式可以引入新的记号来代替。段落安排、语句顺序甚至标点符号的使用等都要仔细琢磨。 　　第二条：推导无误、论证严密。数学推导难免出错，例如，正负号搞反了，系数算错了，有一项给漏掉了等等。因此，每一步的推导都要反复检查验算，直至确信正确无误。在证明过程中，目标是什么，用什么方法来实现*好有所交代，每一步成立的理由要写清楚。需要时要对公式进行编号，以便后面引用。论证过程要层次分明，要把自己心中明白的东西清清楚楚写出来，以使得别人看起来容易接受和理解，尽量不要出现跳跃。 　　第三条：叙述严谨、语句通顺。即使是数学论文写作，公式也不能一个接一个出现，而应该有足够多的语言文字的阐述和解释。这样做不但帮助读者理解，增加可读性，还能使内容具有趣味性，增加美感，令人赏心悦目。因此，所用语言一定要通顺优美，又要通俗易懂且简明扼要。此外，在引用已有的概念和结论时要注明*初的出处，若无法知道*初的出处，至少也要说明在哪里可以找到，以示对原创者和历史的尊重。否则，读者就分不清你引用的概念与结论是别人的还是你自己的。 　　在本章下面几节将通过一些例题和习题来进行写作基本训练。这些例题和习题都是与大学课程“数学分析”和“常微分方程”的基本内容有关的，也就是说利用这两门课的基本知识就可以理解和完成这些问题。我们强调的关键点不是问题的难度，而是写作技艺的训练，即如何依照上面给出的写作三条基本要求把给定的问题解决了。对于下面给出的例子，读者可以先看例题本身的要求，并尝试自己完成它（先分析思考解题思路，再比较详细认真地写出解答），然后再对照例题的解答过程。在每个例题之后，我们都给出了针对该例的评述与分析，内容或长或短，希望这样做有助于增强写作技艺的学习效果。 　　1.2—元微积分学 　　1.2.1范例详解与评注 　　这一节以及下面几节训练方式基本一样，即先给出三个例题，接着是三个习题演练。首先，我们给出涉及数列极限的例子。 　　例2.1证明：若，则 　　证明（i）利用极限定义来证明。不妨设a=0（这样可使证明有所简化），否则令bn=an-a即可。于是，使当时。要证 　　（1.1） 　　即知（1.1）式成立。 　　（ii）因为an>0，我们有a>0。下面的证明需要用到下述不等式（称其为均值不等式）： 　　（1.2） 　　其中等号成立当且仅当。 　　若a=0，则由结论（i），并对不等式（1.2）两边取极限（利用两边夹定理），即知结论成立。设a>0，此时不妨设a=1（否则，令bn=an/a）。我们要证 　　（1.3） 　　首先，与不等式（1.2）类似，成立 　　（1.4） 　　进一步，由（1.2）式和（1.4）式可得 　　（1.5） 　　注意到，利用结论（i），我们得到 　　（1.6） 　　因此，利用（1.6）式，对（1.5）式应用两边夹定理即得（1.3）式。 　　评注与分析　例2.1的结论出现于许多数学分析教材或辅导书中，例见文献网第二章。其结论（i）的证明可分为两步，**步，不妨设a=0。第二步，利用极限定义证明（1.1）。对结论（ii）的证明，分两种情况a=0与a#0来处理，而对后一情况，又不妨设a=1。证明的关键是利用结论（i）和均值不等式（1.2）。与文献[6]给出的证明相比，上面我们补充给出了（1.1）、（1.3）与（1.6）式，这样显得条理更加清楚，看起来也更容易一些。下面我们补充证明均值不等式（1.2）。用数学归纳法。 　　记 　　易知即当n=2时命题成立。假设当n=k时命题成立，即有 　　注意到 　　由归纳假设可知 　　故有 　　上式第三步利用了n=2时的命题之结论。于是