数学分析(全三册)

第1章 基础知识 　　从远古时代，人们就用结绳等方法计数.后来，因为农业生产的需要，人们开始计算一些图形的面积.因此，从数学的萌芽时期开始，数学研究的对象就是“数”与“形”.到了现代，数学研究的对象扩大到广义的“数”(如函数)和“形”(如空间).而当人们需要分类研究数学对象时，集合的概念就被抽象出来.系统研究集合概念始于德国数学家 Cantor (康托尔)，他于19世纪创立了集合论.后来经过很多数学家的努力，诞生了现代集合论，并逐步确立了它在现代数学中的基础性地位.有了集合的概念以后，函数概念就自然地推广为一般映射的概念.本章主要介绍数学分析课程中用到的*基本的一些数学知识，包括集合与映射、一元函数以及实数系等. 　　§1.1 集合与映射 　　§1.1.1 集合 　　我们在中学已经学过集合的概念.将具有某种特征或满足一定性质的所有对象或事物视为一个整体时，这一整体就称为集合(set)，而这些事物或对象就称为属于该集合的元素(element).数学分析课程主要用到数集以及空间点集. 　　为了叙述方便起见，下面首先引入几个记号. 　　“8”表示任给;“9”表示存在;表示条件A蕴含结论 B;“表示“A 成立当且仅当B成立”;表示用B定义 A.再列举一些常用数集的记号. 　　表示由自然数全体构成的集合; 　　表示所有正整数的集合; 　　Z 表示整数集， Z+也表示正整数集 N+;q表示有理数集; 　　R 表示实数集， R+=(0，+1)表示正实数集. 　　显然，它们都是无限集，或称无穷集，即集合中元素的个数是无穷多.而若集合的元素个数是有限的，则称之为有限集.由 Cantor 在19世纪70年代创立的集合概念是现代数学的基本概念，但有关这一概念的深入讨论却不是一件简单的事情.本教材中不展开有关集合论的深入讨论，只在中学已知的有关集合的基本性质及运算的基础上，讨论一下任意多个集合的交、并运算以及 Descartes (笛卡儿)乘积的概念. 　　1.集合的并与交 　　给定集合 A，B，称集合，或为集合A和B的并，而称集合，且为集合A和B的交. 　　一般地，设为一族集合，其中Λ称为指标集，它可以为有限集，也可以为无限集.则集合，使称为该集族的并，而集合，都有称为该集族的交. 　　按照定义可以验证:集合的并与交运算满足下面的交换律、结合律和分配律. 　　性质1.1.1(1)交换律; 　　(2)结合律 　　(3)分配律. 　　例1.1.1 记，分别表示两族区间，则易证. 　　2.差集与余集 　　给定集合 A，B.集合称为A关于B的差集，记为. 　　在我们讨论某些集合时，这些集合往往都是某一个给定集合的子集，这个给定的*大的集合称为全集.设 I 为全集的余集是指由属于 I 但不属于A的那些元素构成的集合，记为 CI (A)，简记为 C(A)或 AC. 　　关于余集成立下面的De Morgan公式(证明留给读者). 　　性质1.1.2 对 I 的任意一族子集合成立.集合的 Descartes 乘积给定集合 A，B，称集合为集合A和B的 Descartes 乘积(Descartes product)，其中(x， y)表示有序组，规定两个有序组(x， y)和(x′， y′)相等，当且仅当X= x′，且 y = y′. 　　例如，是两直线的 Descartes 乘积，恰好表示平面，而集合是两个区间的 Descartes 乘积，表示平面上的正方形.类似地，给定N个集合可定义它们的 Descartes 乘积. 　　例如，是3条直线的 Descartes 乘积，恰好表示通常的三维空间.由此可见， Descartes 乘积是我们表示和构造集合的重要工具. 　　§1.1.2 映射 　　1.映射的概念 　　我们先罗列一下映射的基本概念. 　　定义1.1.1(1)设 X， Y 是两个给定的集合，若按照某种规则 f，使得对集合X中的每个元素 x，都可以找到集合 Y 中的唯一确定的元素 y 与之对应，则称这个对应规则 f 是集合X到 Y 的一个映射(mapping)，记为. 　　其中， y 称为元素X在映射 f 之下的像(image)，X称为 y 关于映射 f 的一个原像(inverse image).X称为 f 的定义域(domain)，记为 Df = X，像的全体称为映射 f 的值域(range)，记为 Rf . 　　(2)对每个记表示 y 关于映射 f 的原像的全体，如果对每个 y 2是单点集，即存在唯一的使 f(x)= y，则称 f 是单射(injective mapping). 　　如果即每个都有原像，则称 f 是满射(surjective mapping)，或到上的. 　　如果映射 f 既是单射又是满射则称之为双射(bijective mapping)，或一一对应. 　　(3)设单射，则是一一对应，因此，对每个，存在唯一的原像.由此我们得到新的映射记为，并称该映射为 f 的逆映射(inverse mapping). 　　(4)又设如果，则可得新映射，即复合映射(composite mapping).其中， g 称为内映射， f 称为外映射. 　　注1.1.1 为方便起见，在不致误解的情况下，集 Y 可以不写出来;而若定义域X没写出来，则理解为使映射表达式 y = f(x)有意义的X的*大范围，称为映射的存在域.例如，的定义域是(0，+1). 　　注1.1.2(1)若可逆，则或写成. 　　(2)由定义1.1.1(2)知道，即使 f 不可逆，记号也是有意义的.并且我们还有记号，它表示像在集合中的那些原像的全体所组成的集合，即. 　　2.可数集与不可数集 　　自然数起源于计数，是人类*早认识的数，也是我们*为熟悉的数.自然数集N不是一个有限集，而是一个无限集. 　　“无限”概念的引入表明由初等数学进入了高等数学.无限与有限有本质不同的性质:一个无限集可以与它的真子集一一对应.例如，正偶数集是正整数集 N+的一个真子集，但它们是一一对应的. 　　我们把与正整数集一一对应的集合称为可数集(denumerable set)，或可列集，有限集或可数集称为至多可数集. 　　易见，自然数集 N、偶数集、奇数集都是可数集.进一步，可以证明，自然数集的每一个无穷子集都是可数集. 　　设A是可数集，则正整数集 N+与A之间存在一一对应 f，即A中每个元素都是唯一的某个N的像 f(n)，或改用下标记法，记为 xn.因此可数集总可以记为.反之，若集合A可以写成，则A必是可数集. 　　定理1.1.1 [0，1]内的有理数集是可列集. 　　证明按照下列方式排列[0，1]内的有理数. 　　即先排0，1，再对(0，1)内既约分数pq ，先按照q由小到大排列，而q相同时，再按照 p 由小到大排列.由此可知[0，1]内的有理数集是可列集.例1.1.2(0，1)与[0，1]是一一对应的.事实上，可定义一一对应. 　　定理1.1.2 可列个可列集之并是可列集. 　　证明 设是一列可列集，且不妨设它们彼此互不相交，则可按下列“对角线”顺序排列它们的并集:因此，Ai 是可列集. 　　注1.1.3 并非所有无限集都是可数的.例如，[0，1]、(0，1)以及 R 都是不可数集.该问题的证明需要用到实数的连续性理论，参见第三册例17.2.2，或《数学分析讲义(第二册)》定理7.1.2(张福保等，2019)，此处略. 　　命题1.1.1 若 A，B 都是可列的，则也可列. 　　证法与上面定理1.1.2类似，请自证. 　　由定理1.1.1、定理1.1.2及命题1.1.1立得下面的推论. 　　推论1.1.1 有理数集q是可列集;平面上整点的集合，有理点集都是可列集. 　　3.数学归纳法 　　逻辑推理的常用方法包括演绎推理(又称演绎法)和归纳推理(又称归纳法).由一般到特殊的推理，称之演绎推理;反之，由特殊到一般的推理，称之归纳推理. 　　归纳推理有两种常见的形式:完全归纳法和不完全归纳法.把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳推理称为完全归纳法，从一个或几个(但不是全部)特殊情况作出一般性结论的归纳推理称为不完全归纳法.应用不完全归纳法得出的一般性结论，未必正确.不完全归纳法的可靠性虽不是很高，但它在科学研究中有着重要作用，许多数学猜想，如Goldbach(哥德巴赫)猜想，都来源于不完全归纳法.“归纳–猜想–证明”，这是人们发现新的结论的重要途径. 　　数学中有许多与自然数有关的命题，用不完全归纳法证明是不可靠的，但我们又不可能对所有的自然数都一一加以验证，为此数学归纳法(mathematical induction)应运而生，它是人们通过有限认识无限的重要方法，是数学证明的重要工具. 　　一般说来，对于一些可以递推的与自然数有关的命题 P(n)，可以用数学归纳法来证明.用数学归纳法证明一个命题包括两步: 　　(1)证明 P(n)当N=1时成立; 　　(2)假设成立，证明 P(k +1)成立. 　　完成这两步，就可以断言， P(n)对任意自然数N都成立. 　　数学归纳法的原理是基于自然数很基本的 Peano (佩亚诺)性质:正自然数集 N+的一个子集，如果包含数1，并且由假设包含数 k 能导出也一定包含 k的后继数 k +1，那么这个子集就是 N+. 　　因此，数学归纳法是一种完全归纳法. 　　运用数学归纳法证题时，以上两个步骤缺一不可.事实上，有(1)无(2)，那就是不完全归纳法，故而论断的普遍性是不可靠的;反之，有(2)无(1)，则归纳假设就失去了初始依据，从而使归纳证明成了“无本之木，无源之水”. 　　数学归纳法有着广泛的应用，这里仅举例说明. 　　例1.1.3应用数学归纳法容易证明，对一切正整数 n，以下结论成立:以上形式的归纳法称为**归纳法.与之等价的还有第二归纳法，有时它显得更方便，其形式是:设 P(n)是一个关于正整数N的命题， 　　(1)证明 P(n)当N=1时成立; 　　(2)假设对一切，命题 P(k)成立，则可证明 P(n +1)成立. 　　那么， P(n)对任意正整数N都成立. 　　注意，有些命题可能只对从某个自然数N= n0开始的自然数成立，因此**归纳法与第二归纳法的**步也只要从某个自然数N= n0开始验证. 　　例1.1.4 设 fang 是 Fabinacci (斐波那契)数列，即，证明通项公式. 　　证明易见，N=1，2时成立.归纳假设对一切命题 P(k)成立，则代入可得，经过整理上式右端恰为，因此命题获证. 　　显然，该命题若用**归纳法则有些困难，因为它不仅用到 k =N的归纳假设，而且还用到的归纳假设. 　　另外，还有其他多种形式的数学归纳法，例如，倒向数学归纳法，参见《数学分析讲义(**册)》(张福保等，2019).