高等数学(第2版上下河南省十四五普通高等教育规划教材)/工科类大学数学公共课程教学丛书

序章 学好高等数学 0.1初识高等数学 序章学好高等数学 从今天开始，我们将学习高等数学课程.怎样才能学好高等数学呢？这必定是同学们*为关心的问题.要回答这个问题，先要对高等数学有一个初步的认识. 0.1.1高等数学的定义 数学是什么？已知的定义不下几十种，这是因为数学的内容是广泛的，而且伴随着客观世界的发展在不断创新.如果选取一个质朴的、适于写进辞典并易于理解的定义，那么恩格斯给出的定义*为贴切.恩格斯在《反杜林论》中提出：“数学是关于空间形式和数量关系的科学.” 高等数学是相对于初等数学而言的.初等数学研究的是常量与均匀变量，高等数学研究的是非均匀变量.简单地说，初等数学之外的数学都是高等数学.通常认为，高等数学是由微积分学、较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科. 0.1.2高等数学的主要内容 狭义的高等数学包括函数与极限、微分学、积分学、空间解析几何、无穷级数、常微分方程等内容；广义的高等数学包含狭义的高等数学、线性代数、概率论与数理统计、微分方程等课程.通常所说的高等数学是指狭义的高等数学.高等数学是高等院校工学、理学、农学、医学、经济学、管理学等六大学科门类各专业必修的一门公共基础课. 高等数学的主要内容是微积分，它是微分学和积分学的总称，是高等数学中研究函数的微分、积分及其应用的数学分支.微积分是一种思想，更是一种方法.“无限细分”就是微分，“无限求和”即为积分；微积分将“无限细分”与“无限求和”有机结合，既对立，又统一，为解决非均匀变量的问题提供一套行之有效的科学方法. 高等数学以极限思想为灵魂，以微积分方法为核心，其基本内容是几种不同类型的极限问题.连续是自变量增量趋于零时，函数相应增量的极限；导数是自变量增量趋于零时，函数的增量（偏增量）与自变量增量之比的极限；一元或多元积分都是和式的极限，而无穷级数则是序列极限的另一种表达形式. 0.1.3微积分的发展历史 公元1637年，法国数学家笛卡儿（René Descartes，1596—1650）的著作《几何学》的出版，宣告了解析几何学的诞生.解析几何学的诞生是数学历史上的一次伟大转折，正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生.”出自恩格斯《自然辩证法》所以人们习惯上以1637年笛卡儿创立解析几何学作为初等数学与高等数学的分界点，之前的数学属于初等数学范畴，以后创立或发展的数学称为高等数学.可见，高等数学的范畴无法用简单的几句话或列举其所含分支学科来说明.19世纪以前确立的几何学、代数学、分析学等三大数学分支中，前两个原是初等数学的分支，其后又发展了属于高等数学的部分，只有分析学从诞生之日起就属于高等数学. 微积分是高等数学的核心体系，其产生和发展，在经历了萌芽和酝酿之后，又经历了创立、完善、发展等三个阶段，而逐步走向成熟和完善. 1）微积分思想的萌芽 中国战国时期著名的思想家庄周（约前369—前286）所著的《庄子 天下》中有一句名言，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这是历史上较早出现的极限思想. 公元前4世纪左右，古希腊哲学家安提丰（Antiphon，前426—前373）在解决“化圆为方”的问题上，提出了一种颇有价值的方法：先作一圆内接正方形，再将边数加倍，得内接8边形；再加倍，得16边形 如此下去，*后用正多边形穷竭了圆，由此得出了正多边形的面积等于圆的面积即“圆化方”的结论.“圆化方”的结论虽然是错误的，但它向人们展示了“曲”与“直”的辩证关系和一种求圆面积的近似方法，启发了人们以“直”代“曲”解决问题的思想.后人称之为“穷竭法”，是极限理论的萌芽. 之后，伟大的古希腊哲学家、科学家阿基米德（Archimedes，前287—前212）借助穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积的计算问题.阿基米德所应用的穷竭法与现代积分思想基本一致，只是没有“求极限”这一关键步骤. 大约在公元3世纪，中国魏晋时期伟大的数学家、中国古典数学理论的奠基者刘徽创立的“割圆术”提出了明确的极限思想，开创了圆周率研究的新纪元.用他的话说，就是“割之弥细，所失弥少！割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”.割圆术与古希腊的穷竭法极为相似，但是割圆术展示了明确的求极限过程. 公元5世纪左右，中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之（429—500）运用割圆术推算出了圆周率π的值为3.1415926<> 2）微积分思想的酝酿 从15世纪初的欧洲文艺复兴时期开始，欧洲的工业、农业、航海业获得了大规模的发展，刺激着自然科学蓬勃发展，从而对数学提出了新的要求，而数学的局限性却愈加明显.到了17世纪，所有面临的数学困难，汇总成四类核心问题.**类问题是：已知物体移动的距离为时间的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度，求物体的速度和移动的距离；第二类问题是求曲线的切线；第三类问题是求函数的*大值与*小值；第四类问题是求曲线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心等. 17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，特别是描述运动与变化的无限小算法. 17世纪上半叶的一系列先驱性的工作，沿着不同的方向逐步逼近于微积分. 德国天文学家、数学家开普勒（J. Kepler，1571—1630）研究了各种旋转体的性质，他的无限小元法体现了微积分的思想.意大利数学家、天文学家和物理学家伽利略（G. Galileo，1564—1642）更加清楚地研究了有限和无限的本质区别，更加关注无限集合之间的对应关系，为19世纪微积分的*终明确表达奠定了基础.法国数学家费马（P. de Fermat，1601—1665）于1637年在其手稿《求*大值和*小值的方法》中给出了一个统一的无穷小方法，用以解决*大值和*小值问题和作曲线的切线问题，并具体给出了求切线的方法.法国数学家笛卡儿的代数方法推动了微积分的早期发展，为后人的工作奠定了坚实基础. 1629年，意大利数学家卡瓦列里（B. Cavalieri，1598—1647）在其著作《用新方法推进连续体的不可分量的几何学》中发展了系统的不可分量方法.卡瓦列里认为，线是由无限多个点组成的，面是由无限多条平行直线组成的，立体则是由无限多个平行平面组成的.他把这些元素分别叫做线、面和体的“不可分量”.卡瓦列里建立了关于这些不可分量的普遍原理，这是古希腊穷竭法向牛顿、莱布尼茨现代微积分理论的过渡. 1669年，英国数学家巴罗（I. Barrow，1630—1677）发表了《几何讲义》，首次以几何语言表达了“求切线”和“求面积”的互逆关系，更加接近于微积分基本定理. 3）微积分的创立 17世纪下半叶，英国大科学家牛顿（I. Newton，1642—1727）和德国数学家莱布尼茨（G. W. Leibniz，1646—1716）在前人工作的基础上，分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作.牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科在早期也称为“无穷小分析”，这正是现在数学中“分析学”名称的来源.牛顿研究微积分侧重于运动学，莱布尼茨却是偏重几何学.微积分诞生的标志是“牛顿-莱布尼茨公式”的创立，数学上称之为“微积分基本定理”： “∫baf(x)dx=F(b)-F(a)，其中F′(x)=f(x)，x∈［a，b］”. 牛顿自1664年起开始研究微积分，他钻研了伽利略、开普勒、沃利斯（J.Wallis，英国数学家，1616—1703），尤其是笛卡儿的著作. 据牛顿自述，1665年11月，他发明“正流数术”（微分法），1666年5月，发明“反流数术”（积分法），1666年10月将此整理成文，名为《流数简论》，当时虽未正式出版，但在同事中传阅，因此《流数简论》是历史上**部系统的微积分文献.牛顿将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术，亦即微分与积分，证明了二者的互逆关系并将这两类运算进一步统一为一体.正是在这样的意义下，牛顿发明了微积分. 1673年，莱布尼茨借助于特征三角形，认识到曲线的切线依赖于曲线纵坐标的差值与横坐标的差值（都变成无穷小时）的比，而求曲线下的面积则依赖于横坐标的无穷小区间上的无限窄矩形面积之和，并且这种求差与求和的运算是互逆的.这一思想的产生是莱布尼茨创立微积分的标志. 1677年，莱布尼茨给出了微积分基本定理. 此外，莱布尼茨还十分重视微积分符号的选取，积分符号∫，微分符号dx和dy，以及导数符号dydx都是莱布尼茨的贡献. 4）微积分的发展和完善 牛顿和莱布尼茨创立微积分之后，微积分得到了突飞猛进的发展，人们将微积分应用到自然科学的各个方面，建立了不少以微积分方法为主的分支学科，如微分方程、无穷级数、微分几何、变分法、复变函数等等，形成了继代数学、几何学之后数学的第三大分支——“分析学”.但是，初创时期的微积分还缺乏清晰、严谨的逻辑基础，一些概念不够严谨，引起了人们对微积分理论的怀疑与批评. 从17世纪末到19世纪后半叶，许多著名的数学家如达朗贝尔（J.L.R.d’Alembert，法国数学家，1717—1783）、拉格朗日(J.L.Lagrange，法国数学家，1736—1813)、柯西（A.L.Cauchy，法国数学家，1789—1857）等人致力于微积分理论的严谨化工作，并取得了卓越的成就. 1754年，达朗贝尔指出，必须用可靠的理论去代替粗糙的极限理论；拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒展开式的基础上；1816年，捷克数学家波尔查诺（B.Bolzano，1781—1848）在二项展开式的证明中，明确地提出了级数收敛的概念，首次给出了连续和导数的合理定义，提出了著名的“波尔查诺—柯西收敛原理”；法国数学家柯西建立了接近现代形式的极限定义，把无穷小定义为趋近于0的变量，从而结束了百余年关于无穷小概念的争论.他在他的三大著作《工科大学分析教程》、《无穷小计算教程概论》和《微积分学讲义》中赋予了今天大学教科书中的微积分模型以及“变量”和“函数”的正确定义，正确地表述并严格地证明了微积分基本定理、中值定理等一系列重要定理，为微积分走向严谨化迈出了极为关键的一步. 微积分是在实数域上进行讨论的，但是在过去，对于什么是实数，一直是用直观的方式来理解.1861年，德国数学家魏尔斯特拉斯（K. T. W. Weierstrass，1815—1897）提出，实数是分析之源，要使微积分严谨化，必须使实数的定义严格化.他创造了极限定义的ε-N和ε-δ语言，并且用这套语言重新建立了微积分体系，基本上实现了分析的算术化，使分析从几何直观的极限中得到了解放，消除了微积分中的错误与混乱.在此基础上，德国数学家黎曼（G. F. B. Riemann，1826—1866）和法国数学家达布（J. G. Darboux，1842—1917）对有界函数建立了严密的积分理论；19世纪后半叶，德国数学家戴德金（J. W. R. Dedekind，1831—1916）给出了著名的戴德金基本定理.形象地讲，就是在数轴上随便砍一刀，不会落在空隙中，一定会落在某一实数上，而且数轴是连绵不断的.这样，数轴上的点与实数集合建立了一一对应关系，实现了几何与代数的完全统一.这个定理是实数理论的**个重要定理，后来的确界存在定理、闭区间套定理、有限覆盖定理